沪科版数学九年级下册完整版全册教案教学设计及教学反思

沪科版数学九年级下册完整版全册教案教学设计及教学反思第24章圆24.1旋转课时1图形的旋转【知识与技能】1.了解图形旋转的有关概念并理解它的基本性质.2.了解旋转对称图形的概念并能顺利找出旋转中心及旋转角.【过程与方法】通过举例说明客观世界存在的现象，让学生讨论分析现像的本质，从而总结出旋转的概念和性质。【情感态度与价值观】通过旋转的学习，体验数学与现实生活的密切联系，感受旋转变换的数学美，初步领会数学图形变换思想.了解图形旋转的有关概念并理解它的基本性质.图形旋转的基本性质的归纳与运用.多媒体课件.教师出示多媒体课件，展示下图，提出问题：这三幅图有哪些共同特征？【教学说明】学生感受生活中的旋转实例，一是进一步体会旋转来源于实践，二是从中抽象出旋转的定义.一、思考探究，获取新知由学生根据上面的实例，尝试归纳抽象出旋转的定义，先小组内交流，形成共识后，再班内交流.探究1旋转的定义和性质【教学说明】针对上述问题可给予3~5分钟时间让学生讨论，教师出示下图,指出△A′B′C′是由△ABC绕点O逆时针旋转θ后得到的.定点O叫做旋转中心,θ叫做旋转角.原图形上一点A旋转后成为点A′,这样的两个点叫做对应点.【讨论结果】我们把每一片风叶当成一个图形,那么这个图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度.像这样,在平面内,一个图形绕着一个定点,旋转一定的角度,得到另一个图形的变换叫做旋转；对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；旋转不改变图形的大小和形状，所以旋转前后的图形是全等的.探究2旋转对称图形【教学说明】教学过程中，教师可设置如下问题：（1）画出正方形绕对角线的交点顺时针旋转90°后的图形.观察旋转后的图形与原正方形有何关系？（2）如图2所示,电扇的叶片转动120°、螺旋桨转动180°后会怎么样？（3）用一张半透明的薄纸,覆盖在如图3的图形上,在薄纸上画这个图形,使它与下面的图形重合.然后用一枚图钉在圆心处穿过,将薄纸绕着图钉旋转,观察旋转多少度(小于周角)后,薄纸上的图形能与原图形再一次重合.【讨论结果】在平面内,一个图形绕着一个定点旋转一定的角度θ(0°＜θ°＜360°)后,能够与原图形重合,这样的图形叫做旋转对称图形；二、典例精析，掌握新知例1下列事件中，属于旋转运动的是()A．小明向北走了4米；B．小朋友们在荡秋千时做的运动；C．电梯从1楼上升到12楼；D．一物体从高空坠下．【分析】A.是平移运动；B.是旋转运动；C.是平移运动；D.是平移运动．【解】选B例2如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B＝100°，∠F＝50°，则∠α的度数是()A．40°B．50°C．60°D．70°【解】∵△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，∴△ABC≌△AEF，∠C＝∠F＝50°，∠BAE＝80°.又∵∠B＝100°，∴∠BAC＝30°，∴∠α＝∠BAE－∠BAC＝50°.故选B.例3下图中不是旋转对称图形的是()【分析】A.360°÷5＝72°，图形旋转72°的整数倍即可与原图形重合，是旋转对称图形，故本选项错误；B.不是旋转对称图形，故本选项正确；C.360°÷8＝45°，图形旋转45°的整数倍即可与原图形重合，是旋转对称图形，故本选项错误；D.360°÷4＝90°，图形旋转90°的整数倍即可与原图形重合，是旋转对称图形，故本选项错误．【解】选B【教学说明】以上三例均可让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.三、运用新知，深化理解1.下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是()2.如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D.若∠A′DC＝90°，则∠A＝____．3.将等边三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，已知其边长为2，现将该三角形绕点C按顺时针方向旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标为()A.(1＋eq\r(3)，1)B．(－1，1－eq\r(3))C.(－1，eq\r(3)－1)D．(2，eq\r(3))4.在图中，将大写字母A绕它上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，作出旋转后的图案，同时作出字母A向左平移5个单位的图案．【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后全班同学核对答案即可.1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.1.旋转的定义图形的旋转三要素：中心点、角度、方向2.旋转的性质3.旋转对称图形：在平面内,一个图形绕着一个定点旋转一定的角度θ(0°＜θ°＜360°)后,能够与原图形重合,这样的图形叫做旋转对称图形布置作业：从教材“习题26.1”中选取.1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.4.对于旋转问题，要让结合实际情况多举例说明，经过思考、讨论、总结的过程，让学生在交流中体会成功.第24章圆24.1旋转课时2中心对称【知识与技能】1.理解认识中心对称的概念.2.掌握中心对称的性质.【过程与方法】举例说明中心对称现象，通过图形让学生理解中心对称的定义,掌握中心对称的性质.【情感态度与价值观】通过学习感受中心对称的数学美，初步领会数学图形变换思想.理解中心对称的概念.中心对称性质的归纳与应用.多媒体课件，三角板，圆规.剪纸，又叫刻纸，是中国汉族最古老的民间艺术之一，它的历史可追溯到公元6世纪．如图剪纸中两个金鱼之间有什么关系呢？【教学说明】学生感受生活中的中心对称实例，通过分析抽象出的中心对称的定义.一、思考探究，获取新知由学生根据上面的实例，尝试归纳出中心对称的定义.探究1中心对称的定义【教学说明】请同学们把△ABC剪下,将其绕点A旋转180°,观察△ABC与△ADE是否能够互相重合？并提出如下问题：△ABC与△ADE是成中心对称的两个三角形,点A是对称中心.点B关于对称中心A的对应点为_______,点C关于对称中心A的对应点为_______,点A关于对称中心A的对应点为_______,AD＝________，AC＝________,ED＝________.【讨论结果】△ABC与△ADE通过旋转后能够重合，点B关于对称中心A的对应点为点D,点C关于对称中心A的对应点为点E,点A关于对称中心A的对应点为点A,AD＝AB，AC＝AE,ED＝BC.探究2中心对称图形【教学说明】教师提问：（1）△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称吗？（2）你能从图中找到哪些等量关系？（3）找出图中平行的线段.【讨论结果】△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称.在同一直线上的三点分别有A,O,A′,B,O,B′,C,O,C′.AO＝AO′，BO＝BO′，CO＝CO′，AB=A′B′，AC=A′C′,BC=B′C′，AB∥A′B′，AC∥A′C′,BC∥B′C′.二、典例精析，掌握新知例1如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是()A.(3，－1)B．(0，0)C.(2，－1)D．(－1，3)【分析】连接AA1，CC1，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点E，在坐标系内确定出其坐标．【解】选A例2如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是()A．3B．6C．8D．12【分析】设AB边上的高为h，因为△AOB的面积是12，AB＝3，所以eq\f(1,2)×3×h＝12，所以h＝8.又因为△AOB与△DOC成中心对称，△COD≌△AOB，所以△DOC中CD边上的高是8.【解】选C【教学说明】以上两例均让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.三、运用新知，深化理解1.已知：如图，E(－4，2)，F(－1，－1)，以O为中心，作△EFO的中心对称图形，则点E的对应点E′的坐标为________．2已知点A(a，2)与点B(－1，b)关于原点O对称，则eq\f(a,b)的值为____.3.如图,已知四边形ABCD和点O,试画出四边形ABCD关于点O的对称图形A′B′C′D′.【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后全班同学核对答案即可.【答案】1.(4，-2)2.－eq\f(1,2)3.1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.定义：旋转角为180定义：旋转角为180°的特殊旋转。旋转点是对称中心.中心对称中心对称性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.布置作业：从教材“习题26.1”中选取.1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.4.在教学过程中，应该鼓励学生进行自主探究，自己动手去探索中心对称的特点，加深对新知识的认识和理解．教师在课堂上起辅助作用，引导学生自己解决问题，注重培养学生的独立意识.第24章圆24.2圆的基本性质课时1圆【知识与技能】探索圆的两种定义，理解掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，并能够从图形中识别；理解并掌握点和圆的三种位置关系及数量关系．【过程与方法】从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴.【情感态度与价值观】.在解决问题的过程中，使学生体会数学知识在生活中的普遍性．掌握圆各部分的名称及圆的特征.点与圆的各种位置关系,点到圆心的距离与半径r的关系.多媒体课件，圆规，三角板.在我们日常生活中常常可以看到有许多圆形物体，例如茶碗的碗口、锅盖、太阳、车轮、射击用的靶子等都是圆的，怎样画出一个圆呢？木工师傅是用一根黑线来画圆的，给你一根细绳、一个图钉和一支铅笔，你能画出一个圆吗？【教学说明】利用实际生活场景，不仅能够顺利引入圆的定义，而且提高学生的学习兴趣.一、思考探究，获取新知通过动手尝试画圆，培养学生动手动脑的习惯，同时通过画圆使学生经历圆的形成过程，在操作中感受定点与动点的关系，进一步认识圆.探究1圆的描述性定义【教学说明】教师展示画圆的方法：一端固定，另一端固定在标枪上．类比得到，用细绳和钢笔在纸上画圆.提出问题：（1）观察画圆的过程，总结出圆的形成过程.（2）圆的两个要素是什么？（3）圆的表示方法是什么？【讨论结果】在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，则另一个端点A所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA的长为图中r叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.探究2圆的集合性定义【教学说明】教师设置如下问题：体育课上，体育老师让全班50名同学沿着界线站成一排做套圈游戏，如图，你认为老师这样设计游戏公平吗？若不公平，你认为怎样设计才更加公平呢？【讨论结果】总结圆的集合性定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合．探究3点和圆的位置关系【教学说明】教师设置如下问题：问题1：观察图中点P1，点P2，点P3与圆的位置关系．问题2：设⊙O的半径为r，说出点P1、点P2、点P3与圆心O的距离d与半径r的关系；问题3：反过来，已知点P到圆心O的距离d和圆的半径r，能否判断点和圆的位置关系？【讨论结果】1.点与圆的三种位置关系：点在圆上、点在圆外、点在圆内.2.点到圆心的距离d与半径r之间的数量关系有三种：d＞r，d＝r，d＜r.3.d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内.二、典例精析，掌握新知例1有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是()A．1B．2C．3D．4【分析】根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；圆的对称轴是一条直线，每一条直径所在的直线是圆的对称轴，所以①③⑤的说法是错误的．【解】选C 例2如图所示，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD＝BC.【分析】先挖掘隐含的“同圆的半径相等”“公共角”两个条件，再探求证明△AOD≌△BOC的第三个条件，从而可证出△AOD≌△BOC，根据全等三角形对应边相等得出结论．【解】∵OA、OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∵点C、D分别为OA、OB的中点，∴OC＝eq\f(1,2)OA，OD＝eq\f(1,2)OB，∴OC＝OD.又∵∠O＝∠O，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴BC＝AD.例3如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．【分析】要求∠AOC的度数，由图可知∠AOC＝∠C＋∠E，故只需求出∠C的度数，而由AB＝2DE知DE与⊙O的半径相等，从而想到连接OD构造等腰△ODE和等腰△OCD．【解】连接OD，∵AB是⊙O的直径，OC，OD是⊙O的半径，AB＝2DE，∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E＝18°，∴∠ODC＝∠DOE＋∠E＝36°.∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝36°，∠AOC＝∠C＋∠E＝36°＋18°＝54°.例4如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm.（1）以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何？（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？【解】(1)∵AB＝3cm＜4cm，∴点B在⊙A内．∵AD＝4cm，∴点D在⊙A上．∵AC＝eq\r(32＋42)＝5cm＞4cm，∴点C在⊙A外；(2)由题意得，点B一定在圆内，点C一定在圆外，∴3cm＜r＜5cm.【教学说明】以上四例均可让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.三、运用新知，深化理解1.下列说法中，错误的是()A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能相等2.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CP，CM分别是AB边上的高和中线，如果⊙A是以点A为圆心，半径为2的圆，那么下列判断正确的是()A．点P，M均在⊙A内B．点P，M均在⊙A外C．点P在⊙A内，点M在⊙A外D．点P在⊙A外，点M在⊙A内3.⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为()A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定【教学说明】让学生当堂完成上述练习，加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，使学生思维得到拓展、能力得以提升.最后全班同学核对答案即可.【答案】1. B2.如图所示．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5.∵CP，CM分别是AB边上的高和中线，∴AB•CP＝AC•BC，AM＝AB＝2.5，∴CP＝2.4.∴AP＝1.8.∵AP＝1.8＜2，AM＝2.5＞2，∴点P在⊙A内，点M在⊙A外．故选C3.B1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.描述性定义：在平面内，线段绕固定一个端点旋转一周，则另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆.1.圆的定义集合性定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合．2.点和圆的位置关系：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内.布置作业：从教材“习题26.1”中选取.1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.4.教学过程中，应鼓励学生自己动手画圆，探究圆形成的过程，同时小组讨论、交流各自发现的圆的有关性质，使学生成为课堂的主人，进一步提升学生独立思考问题的能力及探究能力.第24章圆24.2圆的基本性质课时2垂径分弦【知识与技能】1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理．2.能够利用径定理解决相关的实际问题．【过程与方法】在探索问题的过程中培养学生动手操作的能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程.【情感态度与价值观】使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的精神．垂径定理的及其证明.利用垂径定理解决实际问题.多媒体课件，三角板，圆规.你知道赵州桥吗？它是1400多年前我国建造的,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出桥拱所在圆的半径吗？【教学说明】结合赵州桥资料向学生进行爱国主义教育和美育渗透,并引入新知识.一、思考探究，获取新知通过上面问题引导学生探究、发现垂径定理,初步感知.探究1垂径定理【教学说明】如果⊙O的直径CD垂直于弦AA′，垂足为M，那么点A和点A′是对称点，把⊙O沿着直径CD折叠时，点A与点A′重合，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？【讨论结果】归纳总结垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．几何语言：∵CD⊥AA′，CD是⊙O的直径，∴AM＝MA′，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(A′C,\s\up8(︵))，eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(A′D,\s\up8(︵)).探究2垂径定理的推论【教学说明】教师针对垂径定理提出问题：1.垂径定理是由几个条件得到几个结论？2.把垂径定理条件中的“垂直”和“平分”互换，是否仍然成立呢？【讨论结果】1.①直径；②直径垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分优弧；⑤平分劣弧，垂径定理由①②推出③④⑤.2.成立.得出垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．二、典例精析，掌握新知例11．下列命题中错误的有()①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的对称轴是直径．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】圆的对称轴是直径所在的直线.【解】选A例2如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是()A．2eq\r(3)cmB．3eq\r(2)cmC．4eq\r(2)cmD．4eq\r(3)cm【分析】∵直径AB⊥DC，CD＝6cm，∴DP＝3cm.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝eq\r(3).∴OD＝2eq\r(3)cm，∴AB＝4eq\r(3)cm.【解】选D例3如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的eq\o(AB,\s\up8(︵)))，点O是这段弧的圆心，C是eq\o(AB,\s\up8(︵))上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.【分析】本题考查垂径定理的应用，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，在Rt△ADO中，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.【解】250例4如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，则∠MON的度数是()A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】已知M、N分别是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.【解】D【教学说明】以上四例均让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.三、运用新知，深化理解1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（）．A．CE=DEB．C．∠BAC=∠BADD．AC>AD(1)(2)(3)2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4B．6C．7D．83．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）A．AB⊥CDB．∠AOB=4∠ACDC．D．PO=PD4.绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为()A．4mB．5mC．6mD．8m【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后全班同学核对答案即可.【答案】1．D2．D3．D4.D1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.定义：垂直于弦的直径平分这条弦，定义：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．垂径定理垂径定理推论：推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．布置作业：从教材“习题26.1”中选取.1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.4.在教学过程中，引导学生探究垂径定理及其推论时，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在练习过程中，引导学生结合实际运用垂径定理，使学生养成良好的思维习惯.第24章圆24.2圆的基本性质课时3圆心角、弧、弦、弦心距间的关系【知识与技能】1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性．2.掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理，并能运用其解答问题．【过程与方法】1.通过观察、分析圆心角、弧、弦、弦心距的关系，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力．2.通过教具的演示，使学生感受圆的旋转不变性，发展学生观察、分析的能力．【情感态度与价值观】引导学生对图形进行观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心．圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理及灵活运用．“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明.多媒体课件，圆规，三角板.（1）在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；（2）在⊙O和⊙O′上分别作相等的角∠AOB和∠A′O′B′，作OM⊥AB于M，O′M′⊥A′B′于M′，如图①所示．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．（3）把⊙O与⊙O′重合，用图钉钉住圆心．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系？同学们互相交流一下，说一说你的理由．【教学说明】通过试验操作，探索如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧、弦、弦心距是不是相等，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望.一、思考探究，获取新知探究1圆心角的概念【教学说明】将⊙O绕圆心O旋转任意角度以后,出现一个角∠AOB,请同学们观察一下这个角有什么特点？如图：【讨论结果】圆心角的概念：顶点在圆心的角叫做圆心角.探究2圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系【教学说明】教师出示问题：图1图2图3问题1：在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的弧相等吗？图2中∠AOB＝∠A′OB′，那么eq\o(AB,\s\up8(︵))与eq\o(A′B′,\s\up8(︵))相等吗？为什么？AB与A′B′呢？OM与OM′呢？问题2：若问题1中，缺少“在同圆或等圆中”这一条件，结论还成立吗？问题3：若在同圆或等圆中，当两条弦相等时，则它们所对的圆心角或弧或弦心距相等吗？【讨论结果】1.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；当∠AOB＝∠A′OB′时，eq\o(AB,\s\up8(︵))与eq\o(A′B′,\s\up8(︵))重合，弦AB与A′B′重合，OM与OM′，即eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(A′B′,\s\up8(︵))，AB＝A′B′，OM＝OM′.2.缺少“在同圆或等圆中”这一结论不成立，如图3；3.在同圆或等圆中，当两条弦相等时，则它们所对的圆心角或弧或弦心距相等归纳关系定理：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．简单地说：知一得三．二、典例精析，掌握新知例1已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于P点，PO平分∠APC。求证：AB＝CD【分析】要证明两弦相等，可利用弧、圆心角、弦心距之中的一种相等来证，由于已知角平分线PO过圆心，利用弦心距相等可以解决.【解】证明：过O点作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N∵PO平分∠APC∴OM＝ON∴AB＝CD（在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等）例2如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么（）【分析】【解】故选A。【教学说明】以上两例均让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.三、运用新知，深化理解1.如果两条弦相等，那么()A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上都不对2．在⊙O中，如果eq\o(AB,\s\up8(︵))＝2eq\o(BC,\s\up8(︵))，那么下列各式正确的是()A．AB＝BCB．AB＝2BCC．AB>2BCD．AB<2BC3.如图24－2－92，AB是⊙O的直径，eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))，∠COD＝35°，则∠AOE的度数为____．4.求证：OE＝OF【教学说明】学生进行当堂练习，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案【答案】1.D2.D3.75°4.连结OC、OD1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.1.圆心角的概念：顶点在圆心的角叫做圆心角2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．简单地说：知一得三．布置作业：从教材“习题26.1”中选取.1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.4.在探究新知的过程中，让学生通过观察、猜想、证明、归纳的学习过程，轻松直观地学习圆心角的概念以及圆心角、弧、弦、弦心距间的关系，在应用提高的过程中，让数学充满趣味，提高课堂效率.第24章圆24.2圆的基本性质课时4圆的确定【知识与技能】1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法.2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.【过程与方法】1.经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力。2.通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略.【情感态度与价值观】形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论.2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.多媒体课件.你有办法使得“破镜重圆”吗？教师启发：要想做出“破镜”所在的圆，就需要找到它的圆心(这是关键)，再随之确定半径，即可画出它所在的圆．怎样找到它所在圆的圆心呢？又怎样确定圆的半径呢？【教学说明】创设问题情景，激发学生的求知欲望，通过实际问题，使同学们感受到实际的生产和生活中需要数学，数学来源于实践，反过来又为实践服务，为同学们运用数学知识解决实际问题提供了情景．培养学生对问题的钻研精神，培养学生分析问题、解决问题的能力以及归纳总结的能力.一、思考探究，获取新知.探究1确定圆的条件【教学说明】教师提出如下问题：1.经过一个已知点A能确定一个圆吗?这时圆心和半径都是确定的吗？2.经过两个已知点A，B能确定一个圆吗?如何确定圆心才能使圆心到两个点的距离相等？这时圆心和半径都是确定的吗？3.经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗?如何确定圆心才能使圆心到三个点的距离相等？能否受到上一个探究的启发呢？这时圆心和半径都是确定的吗？【讨论结果】1.得出结论：经过一个已知点能作无数个圆.（圆心、半径均不确定）2.得出结论：经过两个已知点能作无数个圆（圆心在两点所连线段的垂直平分线上，半径不确定）3.作法：（1）作线段AB、BC的垂直平分线,其交点O即为圆心。（2）以点O为圆心，OC长为半径作圆则⊙O即为所求也有小部分同学有不同的结论：得出结论：不在同一直线上的三点确定一个圆。归纳总结：1.经过三角形的三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个圆；经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做圆的内接三角形.2.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.探究2反证法【教学说明】经过同一直线上的三点能作出一个圆吗？教师出示问题,引导、点拨、分析.学生在教师的引导下,小组合作交流完成证明过程.【讨论结果】反证法的一般步骤先假设命题不成立——从假设出发——矛盾——得出假设命题不成立是错误的——即所求证的命题正确.二、典例精析，掌握新知例1如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是（）A.1B.2C.3D.4【分析】过不在同一条直线上的三个点确定一个圆，在A，B，C，D四个点中取三个点的组数为：点A，B，C；点A，B，D；点B，C，D；点A，C，D，共四组，而A，B，C三个点在同一条直线上，因此过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是3.【解】选C例2如图，△ABC的外接圆的圆心坐标是________．【分析】由图可知△ABC外接圆的圆心在BC的垂直平分线上，即外接圆圆心在直线y＝－1上，也在线段AB的垂直平分线上，即外接圆圆心在直线y＝x＋1上，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－1，,y＝x＋1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1，))则两线交点坐标为(－2，－1)，故填(－2，－1)．【解】(－2，－1)例3用反证法证明：一个圆只有一个圆心．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此得出假设与已知定理矛盾，进而得出答案．【解】证明：假设⊙O有两个圆心O及O′，在圆内任作一弦AB，设弦AB的中点为P，连结OP，O′P，则OP⊥AB，O′P⊥AB，过直线AB上一点P，同时有两条直线OP，O′P都垂直于AB，与垂线的性质矛盾，故一个圆只有一个圆心．【教学说明】以上三例均让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.运用新知，深化理解1.下列语句中，正确的是()A.三个点确定一个圆B.一个圆中可以有无数条弦，但只有一条直径C.弦相等则所对的弧相等D.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则其外接圆的半径为____.3.如图24－2－148，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是____.4.用反证法证明两直线平行，同位角相等时，第一步应假设____.【教学说明】为了加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，使学生思维得到拓展、能力得以提升.【答案】1.D2.53.eq\r(10)4.同位角不相等1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.确定圆的条件过一点作圆，可作无数个过两点作圆，可作无数个过不在同一直线上三点作圆，只可作一个布置作业：从教材“习题26.1”中选取.1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.4.教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三边垂直平分线的交点．在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.第24章圆24.3圆周角课时1圆周角定理及推论【知识与技能】1.了解圆周角的概念，理解圆周角定理．2．熟练掌握圆周角定理及推论，并灵活运用．【过程与方法】1.通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理和演绎推理的能力．2.通过观察图形，提高学生的识图能力．3.通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力．【情感态度与价值观】引导学生对图形进行观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．圆周角的概念；圆周角定理及其推论的应用．运用分类思想证明圆周角定理．多媒体课件，圆规，三角板.你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？【教学说明】从实际生活入手，创设问题情境，激发学生的求知欲和学习兴趣，并在运用数学知识解答问题的过程中获得成功的体验.一、思考探究，获取新知探究1圆心角与圆心角的大小【教学说明】教师引导学生观察发现：∠AOB、∠ACB、∠ADB它们的大小之间有何关系,得出结论.【讨论结果】通过测量知道∠AOB＞∠ACB，∠AOB＞∠ADB并且∠ACB=∠ACB=∠AOB.得出结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.探究2圆周角定理【教学说明】教师出示问题：1.（1）当圆心O在圆周角∠ABC的一边BC上时，如图1所示，那么∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOC吗？（2）当圆心O在圆周角∠ABC的内部时，如图2所示，那么∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOC吗？（3）当圆心O在圆周角∠ABC的外部时，如图3所示，∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOC吗？图1图2图3【讨论结果】同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.探究3圆周角定理推论【教学说明】教师出示问题：如图所示，半圆所对的圆周角是多少度？90°的圆周角所对的弦是哪条？【讨论结果】半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．二、典例精析，掌握新知例1如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于()A．25°B．30°C．35°D．50°【分析】本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.【解】选A例2如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.【分析】连接BE构造Rt△ABE，由AD是△ABC的高得Rt△ACD，要证∠BAE＝∠CAD，只要证出它们的余角∠E与∠C相等，而∠E与∠C是同弧AB所对的圆周角．【解】连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E＝90°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°.∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AB,\s\up8(︵))，∴∠E＝∠C.∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CAD.【教学说明】以上两例均让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.三、运用新知，深化理解1．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF＝____．2．下列命题：①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④同弧所对的圆周角相等．其中正确的是____（填序号）．3．已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A∶∠C＝1∶2，则∠BOD＝____．4.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，则BC＝____.【教学说明】学生进行当堂练习，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案【答案】1.20°2.③④3.120°4.61.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.圆周角定义定理推论例题布置作业：从教材“习题26.1”中选取.1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.4.教学过程中，经历圆周角定理及其推论的探究，使学生掌握圆周角的相关性质；配合练习，巩固所学知识，结合实际应用来提升学生的思维能力.第24章圆24.3圆周角课时2圆内接四边形【知识与技能】1.了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；2.掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；3.熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明【过程与方法】1.通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；2.通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；3.通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．【情感态度与价值观】1.充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；2.渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．圆内接四边形的性质定理.定理的灵活运用．多媒体课件，圆规，三角板.如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？【教学说明】创设问题情景，激发学生的求知欲望，通过实际问题，使同学们感受到实际的生产和生活中需要数学.一、思考探究，获取新知.探究1圆内接四边形定义【教学说明】教师展示课件，提出问题：下列图中哪个是圆的内接四边形？【讨论结果】图4.得出结论：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.探究2圆内接四边形的性质【教学说明】在圆的内边四边形ABCD中，对角∠A与∠BCD有什么关系？A与∠DCE呢？ 【讨论结果】解：∵弧BAD与弧BCD所对的圆心角之和是360°∴∠A＋∠BCD＝180°.同理∠B＋∠D＝180°.如果延长BC到点E,那么∠BCD＋∠DCE＝180°,∴∠A＝∠DCE.由于∠A是∠DCE的补角，∠BCD的对角（简称为∠DCE的内对角）,于是我们得到圆内接四边形的性质：圆内接四形的对角互补,且任何一个外角都等于它的内对角.二、典例精析，掌握新知例1如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．【分析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B.又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC＝180°÷3＝60°.连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.【解】60例2如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．【分析】由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E＝∠A.【解】∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE，∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ADE是等腰三角形．运用新知，深化理解1.如图24－3－6，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为()A．40°B．45°C．50°D．55°2．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝35°，则∠ADC＝____．3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D为eq\o(AC,\s\up8(︵))上一点，∠ABC＝∠BDC＝60°，AC＝3cm，求△ABC的周长.【教学说明】为了加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，使学生思维得到拓展、能力得以提升.【答案】1.D2.55°3.解：∵∠BDC与∠BAC都是eq\o(BC,\s\up8(︵))所对的圆周角，∴∠BDC＝∠BAC.∵∠ABC＝∠BDC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形．∵AC＝3cm，∴△ABC的周长为3×3＝9(cm)．1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.1.圆的内接四边形定义：一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆．2.圆的内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角．布置作业：从教材“习题26.1”中选取.1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.4.教学过程中，以学生为主体，让学生自己探究圆内接四边形的性质，在探究的过程中体会转化思想．在解决问题时能通过联想进行转化，提升学生的逻辑思维能力.第24章圆24.4直线与圆的位置关系课时1切线的性质与判定【知识与技能】1.理解直线和圆的三种位置关系的定义．2.掌握用数量关系判定直线和圆的位置关系的方法．3.使学生掌握圆的切线的判定方法和切线的性质；能够运用切线的判定方法证明直线是圆的切线．4.综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力．【过程与方法】1.通过运动的观点探究直线和圆的三种位置关系，培养学生观察、发现和分析问题的能力．2.以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据，探究切线的判定定理和性质定理，让学生体验“观察—猜想—论证—归纳”的数学研究方法.3.了解转化、分类讨论的数学思想方法，提高解决实际问题的能力．【情感态度与价值观】1.指导学生从图形运动中揭示直线与圆的不同位置关系，培养学生的辩证唯物主义观点.2.通过本节课学习,使学生进一步感受直线与圆的位置关系中表现的距离美和对称美．同时认识到数学美在自然生活中的体现.圆的切线的判定方法和圆的切线的性质．直线与圆的三种位置关系的研究及运用.多媒体课件，圆规，三角板.“大漠孤烟直，长河落日圆”这是唐代大诗人王维写下的千古流传的名句．从数学的角度看，将太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那么你能根据直线和圆的公共点的个数，探索直线和圆有哪几种位置关系吗？【教学说明】通过“大漠孤烟直，长河落日圆”的意境的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，建立几何模型．思考探究，获取新知探究1直线与圆的位置关系【教学说明】在纸上画一条直线L，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线L的公共点的个数吗？【讨论结果】如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．探究2切线的性质【教学说明】教师出示问题：如图直线CD是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线CD是不是一定垂直呢？【讨论结果】如图CD是切线,A是切点,连接AO并延长与⊙O交于点B,那么直线AB是所得图形的对称轴,所以沿AB对折图形时,AC与AD重合,因此,∠BAC＝∠BAD＝90°.得出结论：圆的切线垂直于经过切点的半径．探究3切线的判定【教学说明】教师出示问题：已知：如图,∠ABC＝45°,AB是⊙O的直径,AB＝AC.求证：AC是⊙O的切线.【讨论结果】证明：∵AB＝AC,∠ABC＝45°,∴∠ACB＝∠ABC＝45°.∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝90°.∵AB是直径,∴AC是⊙O的切线.二、典例精析，掌握新知例1已知⊙O的半径为5，点P在直线l上，且OP＝5，直线l与⊙O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．相切或相交【分析】分两种情况讨论：（1）OP⊥直线l，则圆心到直线l的距离为5，此时直线l与⊙O相切；（2）若OP与直线l不垂直，则圆心到直线的距离小于5，此时直线l与⊙O相交．【解】选D例2已知⊙O的半径为R，点O到直线m的距离为d，R、d是方程x2－2x＋a＝0的两根，当直线m与⊙O相切时，求a的值．【分析】由直线m与⊙O相切可得出d＝R，即方程x2－2x＋a＝0有两个相等的根，由Δ＝0即可求出a的值．【解】∵直线m与⊙O相切，∴d＝R.即方程x2－2x＋a＝0有两个相等的根，∴Δ＝4－4a＝0，∴a＝1.例3如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC的度数为()A．20°B．35°C．55°D．70°【分析】连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°.∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.【解】选A例4如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(FC,\s\up8(︵))＝eq\o(CB,\s\up8(︵))，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CD＝2eq\r(3)，求⊙O的半径．【分析】(1)连接OC，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD＝∠B，再根据等量代换得到∠ACO＋∠ACD＝90°，从而证明CD是⊙O的切线；(2)由eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(FC,\s\up8(︵))＝eq\o(CB,\s\up8(︵))推得∠DAC＝∠BAC＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长，进而求得⊙O的半径．【解】（1）证明：连接OC，BC.∵eq\o(FC,\s\up8(︵))＝eq\o(CB,\s\up8(︵))，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(FC,\s\up8(︵))＝eq\o(CB,\s\up8(︵))，∴∠DAC＝∠BAC＝30°.∵CD⊥AF，CD＝2eq\r(3)，∴AC＝4eq\r(3).在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4eq\r(,3)，∴BC＝4，AB＝8，∴⊙O的半径为4.【教学说明】以上四例均让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.三、运用新知，深化理解1.若⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为()A.相离B．相切C.相交D.不能确定2.如图1，AB与⊙O切于点B，AO＝6cm，AB＝4cm，则⊙O的半径为()A.4eq\r(5)cmB．2eq\r(5)cmC.2eq\r(13)cmD.eq\r(13)cm3.已知⊙O的半径r＝6，圆心O到直线l的距离d是方程x2－6x＋5＝0的两根之和，则直线l和⊙O的位置关系是____．图1图2如图2，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM＝____cm时，⊙M与OA相切.5.如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．【教学说明】学生进行当堂练习，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案【答案】1.C2.B3.相切4.65.证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.直线和圆的位置关系位置关系：相交、相离、相切切线的判定和性质例题布置作业：从教材“习题26.1”中选取.1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.4.教学过程中，强调学生从实际生活中感受、体会直线与圆的几种位置关系，并会用数学语言来描述归纳，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件，整个学习过程是一个逐层深入的过程．因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决，使学生能更全面的掌握知识.第24章圆24.4直线与圆的位置关系课时2切线长定理【知识与技能】掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算．【过程与方法】经历画图、测量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地阐述自己观点的能力．经历探究切线长的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题.【情感态度与价值观】通过课题学习，使学生对数学有强烈的好奇心和求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼意志，增强自信心．切线长定理及其应用．与切线长定理有关的计算和证明问题．多媒体课件，圆规，三角板.同学们玩过悠悠球（如图①）吗？大家在玩悠悠球时是否想到过它在转动过程中还包含着数学知识呢？图②是悠悠球在转动的一瞬间的剖面示意图，从中你能抽象出什么样的数学图形（球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成线段）？这些图形的位置关系是怎样的？【教学说明】通过同学们常玩的悠悠球来激起学生的学习兴趣，并进一步引出切线长及切线长定理．一、思考探究，获取新知.探究1切线长定理【教学说明】教师展示课件，提出问题：1.在⊙O外任取一点P，过点P作⊙O的两条切线，下图形中存在哪些等量关系？2.若将图形沿着直线PO进行对折，观察折线两旁的部分能否互相重合，请用语言概括你的发现.【讨论结果】1.线段PA=PB；得出结论：切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长，2.过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角探究2切线长定理的证明【教学说明】教师提问：你能证明上述结论吗？【讨论结果】证明：连接OA，OB.∵PA，PB是圆的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.∴∠OAP＝∠OBP.∵OA＝OB，PO＝PO，∴△AOP≌△BOP，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.二、典例精析，掌握新知例1如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在eq\o(AB,\s\up8(︵))上．若PA长为2，则△PEF的周长是________．【分析】因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以PA＝PB.因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长是PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝PA＋PB＝2＋2＝4.【解】4例2如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．【分析】如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝eq\f(1,2)∠APB＝20°.【解】20例3为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝8cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．【解】过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∵∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝8，∠POA＝30°，∴OP＝8eq\r(3)(cm)，即铁环的半径为8eq\r(3)cm.运用新知，深化理解1.如图1，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是()A.4B．8C．4eq\r(3)D．8eq\r(3)2.如图2，PA，PB分别切⊙O于点A，B，AC是⊙O的直径，连接AB，BC，OP，则与∠PAB相等的角（不包括∠PAB本身）有()A.1个B．2个C．3个D．4个图1图2图33.如图3，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于点A，B，C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E，若△PDE的周长为12，则PA的长为____.4.已知：如图,四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点E，F，G，H.求证：AB+CD=DA+BC.【教学说明】为了加深学生对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主、疑难点突出，使学生思维得到拓展、能力得以提升.【答案】1.B2.C3.64.∵AB，BC，CD，DA都与⊙O相切，E，F，G，H是切点，∴AE=AH，BE=BF,CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，即AB+CD=DA+BC.1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.、切线长定理切线长的定义切线长定理布置作业：从教材“习题26.1”中选取.1.注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.4.教学过程中，引入切线长定理后，要向学生强调用切线长定理可解决角度和长度问题．使学生在练习中巩固知识，提升学生的独立思考能力.第24章圆24.5三角形的内切圆【知识与技能】了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆．【过程与方法】经历画图、测量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地阐述自己观点的能力．【情感态度与价值观】通过课题学习，使学生对数学有好奇心和求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼意志，增强自信心．三角形内切圆的作法、三角形的内心与性质．应用三角形内心的性质证明或解决有关问题.多媒体课件，圆规，三角板.李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大．应该怎样画出裁剪图？探索：（1）当裁得圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？（3）如何确定这个圆的圆心？【教学说明】由实际情境引入，进一步体现了数学来源于生活，又应用于生活，体会数学的实用性，激发同学们的学习动机和求知欲望．思考探究，获取新知探究1三角形内切圆的概念与作法【教学说明】教师展示课件：如果最大的圆存在,它与三角形的各边应有怎样的位置关系？怎样求作一个圆,使它和已知三角形的三边都相切？【讨论结果】探究得出圆心应该是三角形的三条角平分线的交点,具体作法如下：作法：1.如图,作△ABC的∠B、∠C的平分线BE、CF,设它们交于点I.2.过点I作ID⊥BC,交BC于点D.3.以I为圆心,ID为半径作⊙I,则⊙I为所求.得出结论：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的