(完整版)大学高数公式大全

1、导数公式:(tgx)sec2 x高等数学公式(arcsin x)(ctgx)(secx)2csc xsecx tgx(arccos x)(cscx)(ax)cscx ctgx ax In a(arctgx)(lOg ax)xln a(arcctgx)21 x211Y2.1x12x11 x2基本积分表：三角函数的有理式积分:tgxdxIn cosxdx2- cos xsec2 xdxtgx CctgxdxIn sin xsecxdxIn secxtgxdx一 2sin x2.csc xdxctgx CcscxdxIn cscxctgx Csecxtgxdxsecxdx22a x1 arctg a

2、cscxctgxdxcscx Cdx22x adx22a xxaxaaxaxCCLn2aLn2a-C aa xdxshxdxchxdxIn achxshxdx一丁a_ xarcsin 一 adx"x2"ln( xx2 a2) CIn2sinn xdx2cosnxdx x2 a2dx.x2 a2dxx x2 a22ln(x x2 a2) C22a .In xx2dx2嗫csin' C以 2usinx 2, 1 ucosx2土2，udx2du1 u2一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦：shx双曲余弦：chx双曲正切:thxsin x2shx exchx exlim (

3、1x1)x xe 2.718281828459045arshx ln(xx2 1)archx ln(xx2 1)1 . 1 x arthx -ln2 1 x三角函数公式: ,诱导公式：丁、曾数角Asincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 - acos asin actg atg a90 + acos a-sin a-ctg a-tg a180 - asin a-cos a-tg a-ctg a180+a-sin a-cos atg actg a270 - a-cos a-sin actg atg a270 + a-cos asin a-ctg a-tg a36

4、0 - a-sin acos a-tg a-ctg a360 + asin acos atg actg a和差角公式:sin( cos(tg(ctg()sincoscoscoscossinsinsinsinsin2sincos22)tg1 tgtgtgsinsin2 cos2sin2)ctgctgctgctg1coscoscoscos2cos2cos-22 sin2sin2和差化积公式:倍角公式:sin 2cos2ctg2tg22sin cos222cos21 1 2sin2ctg212ctg2tg1 tg22 cos2 sinsin33sin4sin3cos34cos33costg33tg3

5、 3 tg2半角公式:tg2sin 一21 cos1 cos1 cos sinsin 1 cos正弦定理:asin Absin Bsin C2R1 cos cos-2 .21 cos 1 cos sin ctg 二2 1 cos sin 1 cos余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC反三角函数性质：arcsin x - arccosx2arctgx 一 arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹( Leibniz )公式:n(n)八 k (n k) (k)(uv) Cnu vk 0(n)nu(n 1)Vn(n 1)2!(n 2)Vn(n 1) (nk!k 1) (n k) (k)u Vuv(n

6、)中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理:f(b) f(a) f ( )(b a)柯西中值定理：上f-J)F(b) F(a) F ()当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理 曲率: 弧微分公式：ds v'1 y 2dx,其中y tg平均曲率：K .:从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量；s： MM弧长。sM点的曲率:-I s| Idsy I(1 y2)3直线：K 0;半径为a的圆：K 1.定积分的近似计算:b矩形法：ab梯形法：af(x)f(x)b抛物线法：f (x)ab a,(V。yinb a1、(y0 yn)n 2b a 、行(y。yn)定积分应用相关公式:功：W水压

7、力:引力：Fkm孚,k为引力系数 r函数的平均值：y1f(x)dxb a a均方根：1 f2(t)dt,b a a空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：dM1M2向量在轴上的投影：Pr ju ABPrju(ai a?) Pr jai Pr ja2a b cosaxbxayby两向量之间的夹角:coscabax bxay byaz bz向量的混合积:abc (a代表平行六面体的体积yn 1)yiyn 1 2(y2 V4yn 2) 4(yi y3.(x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2AB cos ,是AB与u轴的夹角azbz，是一个数量，axbxavbvazbx x y y z2

8、2axay22az . bxz2 by2bza b sin.例:线速度:axayazbxbybzcxcyczb) cayn 1)b c cos ,为锐角时,平面的方程：1、点法式：A(x x0) B(y y0) C(zzo) 0,其中 n A, B,C, Mo(xo,yo,zo)2、般方程：Ax ByCz D 03、截距世方程：-y a b平面外任意一点到该平面的距离:AX0 By0 CZ0 DA2 B2 C2Xo空间直线的方程:x x。myy。nZoPt,其中s m,n,p;参数方程:y。ZomtntPt二次曲面:1、椭球面:2、抛物面:2 x2 a2 x2p2yb22y2qz,(p,q 同

9、号)3、双曲面:单叶双曲面:双叶双曲面:2 xa2 xab22 zc2 zc1(马鞍面)多元函数微分法及应用全微分：dz dx x全微分的近似计算：dy yz dz, u u u du dx dy dzx fx(x,y) xy z fy(x,y) y多元复合函数的求导法：z fu(t)，v(t)第z fu(x,y),v(x,y)uz v tv tz u z当u u(x,y), vdu dx dyxv(x, y)时，dv隐函数的求导公式:隐函数F(x,y) 0,dydxdxxFxF，ydyyd2y dx2Fx(x)+ 一(x Fy yFx岸ydydx隐函数 F(x,y,z) 0,FyFz隐函数方

10、程组：F(X，y，U，V)°G(x,y,u,v) °u1(F,G)vxj(x,v)xu1(F,G)vyj(y,v)y微分法在几何上的应用:J (F，G)"U -7(u,v)G Gu v1 (F,G)J (u,x)1(F,G)j(u,y)FuGuFvGvx空间曲线yz(t)(t)在点M (x°, y°, z° )处的切线方程:(t)X x°-(Uy y° (t°)z z°在点M处的法平面方程:(t°)(x x°)(t°)(y y°)(t°)(z z

11、°)°若空间曲线方程为：""为°则切向量T FyFz,FzFx,FxFyG(x,y,z)°GyGzGzGx GxGy曲面 F(x,y,z) °上一点 M (x°,y°,z°),则: 1、过此点的法向量:n Fx(x°, y°,z°), Fy(x°,y°, z°), Fz(x°, y°,z°)z°)2、过此点的切平面方程:Fx(x°,y°,z°)(x x°)

12、Fy(x°,y°,z°)(y y°) Fz(x°, y° ,z°)(z3、过此点的法线方程:x x°y y°z z°Fx(x°,y°,z°)Fy(x°,y°,z°) Fz(x°, y°,z°)方向导数与梯度：函数z f (x, y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为： cos sin l x y其中为x轴到方向l的转角。函数z f (x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf (x,y) i

13、 j x y它与方向导数的关系是：、 grad f (x, y) e,其中e cos i sin j,为l方向上的单位向量-f是gradf (x, y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法：°,令：fxx(x°, y°)°,(x°, y°)为极大值°,(x°, y°)为极小值 无极 值不确定fx(x°,y°) fy(x°, y°)_ 2AAC B 。时， A贝U: AC B2 。时，AC B2。时，A, fxy (x°, y°)B,fyy(x&#

14、176;,y°) C重积分及其应用:f (x, y)dxdy f (r cos ,r sin )rdrdDD曲面z f（x, y）的面积AD2dxdy平面薄片的重心：x M-xMx (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix2y (x, y)d ,Dy (x,y)dD(x, y)dD对于y轴I y平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M (0,0, a),(a0）的引力:Fxf 一D 2 (x(x,y)xd3，22、万y a )2Fy f 一D 2(x(x, y)yd3, a2”Fzfa2x (x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:(x, y)xdD 2(x3a2

15、)2柱面坐标和球面坐标:x r cos柱面坐标：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,z)rdrddz,z z 其中：F (r, ,z) f (r cos x r sin cos 球面坐标：y r sin sin ,r sin ,z)dv rd r sindr2r sindrdz r cosf (x, y,z)dxdydzF(r,、2,)r sin drd重心：xx dv,y dv2d0JM转动惯量:Ix(y2z2)dv,(x2曲线积分:第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）设f （x,y）在L上连续,L的参数方程为:,(t)f(x,y)ds f (t),L(t) .2(t)

16、2(t)dtr(,)F(r,0、2 .)r sindrdv,dv,Iz），则:特殊情况：其中M(x2y (t)y2) dvdv第二类曲线积分(对坐设L的参数方程为标的曲线积分)：，则：(t)P( x,y )dx Q(x,y )dyL两类曲线积分之间的关P (t),(t)(t) Q(t),(t)(t) dtL上积分起止点处切向量系：PdxL的方向角。Qdy(P cosLQ cos)ds,其中和分别为格林公式:Q ( D X)dxdy当 P y,Q x,即: Pdx QdyL2时，得到格林公式:D的面积:Q( xP、， )dxdy y。Pdx QdyL平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域;x

17、 y无关的条件:dxdy - xdy2 Lydx2、P(x,y), Q( x, y )在G内具有一阶连续偏导数PPo注意奇点，如 y(0,0),应减去对此奇点的积分，二元函数的全微分求积在 Q-= P时， Pdx注意方向相反!u(x,y)y(x,y)P (x, y)dxQdy才是二元函数Q (x, y )dy ,通常设(x0 ,y0)曲面积分:对面积的曲面积分:对坐标的曲面积分:R( x, y, z) dxdyDxyu(x,y)的全微分,其中:Xo y 00。f (x, y, z)ds fx, y,z(x,y) 1 zx2(x,y) z2(x, y)dxdy Dxy,P(x, y, z)dyd

18、z Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：Rx,y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正号;P(x, y, z)dydzPx(y,z), y,zdydz,D yz取曲面的前侧时取正号;Q(x, y, z)dzdxQx, y(z,x), zdzdx,Dzx取曲面的右侧时取正号。两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (P cosQ cosRcos )ds高斯公式：PQR( )dv 二 Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos xyzQcosRcos )ds高斯公式的物理意义一通量与散度:散度：divR,即：单位体积内所产生 的流体质量，若

19、zdiv 0,则为消失通量：A ndsAnds(Pcos Qcos Rcos )ds,因此，高斯公式又可写 成：div Adv oAnds斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：R QPRQP-()dydz()dzdx()dxdy口 Pdx Qdyy zz xx ydydz dzdx dxdycos cos cos上式左端又可写成： xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件：,P R Qy zz x x旋度：rotARdz向量场A沿有向闭曲线的环流量:QdyRdz A tds常数项级数等比数列:n qq等差数列:n (n1)n2-调和级数:级数审敛法:1、正项级数的审敛法设:li

20、m n/un,则 n '根植审敛法（柯西判1时，级数收敛1时，级数发散别法）：1时,不确定2、比值审敛法:设:lim n1时,1时,级数收敛级数发散1时，不确定3、定义法:Sn U1 U2Un; limnSn存在，则收敛；否则发散。交错级数U1U2Ui U2 U3,Un 0）的审敛法莱布尼兹定理:如果交错级数满足unlim unun1 一 0,那么级数收敛且其和SU1，其余项rn的绝又t值rnUn 1。绝对收敛与条件收敛:u1 u2 u1u2如果（2）收敛，如果（2）发散，Un,其中un为任意实数;调和级数:级数:p级数:对于级数u3un则（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;而收敛,1

21、发散，而n收敛;nn(3)a。a1x数轴上都收敛，则必存求收敛半径的方法：设函数展开成哥级数:函数展开成泰勒级数:f 1)(余项：Rn -(n 1)!则称（1）为条件收敛级数。口收敛；n1时发散1时收敛2a?x在R,nim lad)(x1时，收敛于1 x1时,发散nanx,如果它不是仅在原点收敛，也不是在全R时收敛R时发散R时不定其中an，f (x)f(x0)(x xo)-x0 0时即为麦克劳林公式:些函数展开成骞级数:m(1 x)sin x x欧拉公式:,其中R称为收敛半径。an 1是（3）的系数,则(x0 )2(x xo) 2!0时，R -0时，R时，R 0f (x。)/、nn-(x x0

22、)x0）n 1, f （x）可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim Rn 0nf (0) 2 f (x)f(0) f (0)x G2x2f(n)(0) n xn!/m(m 1) 21 mx x3 x3!5 x5!2!1)nixe cos xi sin x三角级数:m(m 1) (m n 1) n x2n 1x(2n 1)!cos xsin xn!(1x1)ix eix ee2ix eixf (t) A。其中，a0An sin( n t n)a0n 12aA°, an An sin ，bn(an cos nxbn sin nx)正交性：1,sin x, cos x, sin 2x,co

23、s 2x上的积分=傅立叶级数0。f (x)a02其中(an cos nxbn sinanf (x) cos nxdxf(x)sin nxdx21域12bnbn余弦级数:n 1An cosn,sin nx, cos nxnx),周期(n(n0,1,21,2,31铲13f (x) sin nxdxf (x) cos nxdx0周期为2l的周期函数的傅立叶级数:f(x) £an其中bn, n x (an cosn 1llf (x) cos llf (x) sin lbn sinn xr),周期n x , dxln x ,dxl(n(n0,1,2 )1,2,3 )t x。任意两个不同项的乘积2(相加)62(相减)121,2,30,1,2f (x)f (x)bn sin2lnx是奇函数an cos nx是偶函数微分方程的相关概念：一阶微分方程：y可分离变量的微分方程f (x, y)P(x,y)dx：一阶微分方程可以化Q(x, y) dy 为 g(y)dy0f(x)dx的形式,解法:g(y)dyf (x) dx得：G(y)