(完整版)不等式常见题型分析

1、不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：（1） 对称性： a b b a （2） 传递性： a b,b c a c（3） 加法法则：abacbc；ab,c d a c b d ( 同向可加 )(4)乘法法则：ab,c0 acbc ；a b,c 0acbcab0,c d0 acbd （ 同向同正可乘)(5)倒数法则：ab,ab110(6)乘方法则abab0n abn(nN*且n 1)(7)开方法则：ab 0 n an b(nN * 且 n 1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式（二

2、）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式 ax2 bx c 0或 ax2 bx c 0 a 0 的解集：设相应的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根为 x1、x2 且 x1 x2，b2 4ac ，则2ax bx c 0 (a 0)的解集x x1 x x22、分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式， 并使每一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用标根法求解。 解分式不等式时， 一般 不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。gf(xx) 0 f(x)g(x) 0; gf (xx) 0gf(xx)g(0x) 0g(x)g (

3、x)g(x) 03、不等式的恒成立问题 ：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式 f x A在区间 D 上恒成立 ,则等价于在区间 D 上 f xAmin 若不等式 f x B在区间 D 上恒成立 ,则等价于在区间 D 上 f xBmax(三) 线性规划1、用二元一次不等式(组)表示平面区域二元一次不等式 Ax+By+C> 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域 . (虚线表示区域不包括边界直线)2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点 ( x, y ) ，把它的坐标( x, y

4、)代入 Ax+By+C，所得 到实数的符号都相同， 所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 (x0,y0)，从 Ax0+By0+C的正负即可 判断 Ax+By+C> 0表示直线哪一侧的平面区域 . (特殊地，当 C 0时，常把 原点作为此特殊点)3、线性规划的有关概念： 线性约束条件 ：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件 线性目标函数 ：关于 x、y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、 y的解析式，叫线性目标函数 线性规划问题 ： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小

5、值的问题， 统称为线性规划问题 可行解、可行域和最优解 ：满足线性约束条件的解( x,y)叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：(1) 寻找线性约束条件，列出线性目标函数；(2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；(3) 依据线性目标函数作参照直线 ax+by0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优 解(四)基本不等式 ab a b21若 a,b R ,则 a2+b22ab,当且仅当 a=b 时取等号 .2如果 a,b 是正数，那么 a bab(当且仅当 a b时取 &qu

6、ot; "号).2变形：ab有:a+b2 ab；ab,当且仅当 a=b 时取等号23如果 a,bR+,a·b=P（定值）,当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值 2 P;如果 a,b R+,且 a+b=S （定值）,当且仅当 a=b 时,ab有最大值注：（ 1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4. 常用不等式 有：（1）a2 b22ab2ab 2 （ 根据目标不等式左右的运算结构11ab选用）；（2） a、b、c R，a2b2c2 a

7、bbc ca （当且仅当 ac 时，取等号） ；（ 3）若ab 0,m 0 ，则 ba糖水的浓度问题） 。am第8面不等式主要题型讲解不等式与不等关系（一） 题型一：不等式的性质 1. 对于实数 a,b,c 中，给出下列命题：其中正确的命题是 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、设 a 2 ， p a 1 ， qa22.、中间量比较，基本不等式）a2 4a 22 a 4a 2，试比较 p,q 的大小若ab,22则 ac bc ；2 若 ac2bc2 ,则ab；若ab0,则a2ab b2 ；若a1 b 0, 则1ab若ab0,则 ba；若ab 0,则 ab；ab若cab 0, 则ab； 若ab

8、,1 1 ，则a0,b 0 。caca3. 比较 1+ log x 3与2 log x2(x 0且x 1)的大小1 a b4. 若 a b 1,P lga lgb,Q (lga lgb),R lg( ) ，则 P,Q,R的大 小关系22是 .(二) 解不等式题型三：解不等式5. 解不等式6. 解不等式 (x 1)(x 2)2 0 。7.解不等式 2 5 xx2 2x 318.不等式 ax2 bx 120的解集为 x|-1 <x<2，则 a=_, b=9.关于 x 的不等式 axb 0的解集为 (1, ) ，则关于x 的不等式 ax b 0 的解集为 x210. 解关于 x 的不等式

9、 ax2 (a 1)x 1 0题型四：恒成立问题11. 关于 x 的不等式 a x2+ a x+1>0 恒成立，则 a 的取值范围是 12. 若不等式 x2 2mx 2m 1 0对0 x 1的所有实数 x都成立，求 m的取值范围 .1913. 已知 x 0,y 0 且1，求使不等式 x y m恒成立的实数 m 的取值范围。xy（三）基本不等式 ab a b2 题型五：求最值14. （直接用）求下列函数的值域11（ 1） y 3x 22x 2（2）yxx15. （配凑项与系数）51（1）已知 x，求函数 y 4x 2 1 的最大值。4 4x 52）当时，求 y x（8 2x） 的最大值。1

10、6.耐克函数型）求 y7xx110(x1） 的值域。注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 性。x2 517. （用耐克函数单调性）求函数 y 的值域。x2 4af (x) x 的单调x18.（条件不等式）（1）若实数满足 a b 2 ，则 3a 3b的最小值是.（2）19已知 x 0,y 0 ，且1 ，求 x y 的最小值。xy3）已知 x， y为正实数，且 x 2y2 1，求 x 1 y 2 的最大值 .14） 已知 a，b 为正实数， 2baba 30，求函数 y 1 的最小值 .题型六：利用基本不等式证明不等式2 2 219. 已知 a,b,c 为两两不相等的

11、实数，求证： a b c ab bc ca20. 正数 a，b，c 满足 abc 1，求证： （1 a）（1 b）（1c）8abc 11121. 已知 a、 b、c R ，且 a b c 1。求证：1 1 1 8abc题型七：均值定理实际应用问题：22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2 的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。四）线性规划 题型八：目标函数求最值2x y 3 023. 满足不等式组7x y 8 0 ，求目标函数 k 3x y 的最大值x, y 0已知实系数一元二次方程x2 （1 a）x a b 1 0的两个实根为 x1、 x2,并且 24.0 x1 2 , x2 2 则 b 的取值范围是a1x03x 4y 4 2225. 已知 x, y满足约束条件：y 0,则 xy 2x的最小值是x 2 y 3026. 已知变量 x, y满足约束条件x 3 y 30.若目标函数 z ax y （其中 a>0）仅在点y 1 0（3，0）处取得最大值，则a 的取值范围为。y1，27