(完整版)导数知识点各种题型归纳方法总结(浦仕国)

1、1.(1). 函数 y(2).函数 yf (x)在 x x0处的导数: f '(x0) y' |x x0 lim f (x0f(x)的导数: f '(x) y' lim f (x x) f (x)x0xx) f (x0)x2.利用定义求导数的步骤：求函数的增量：y f (x x) f (x) ；求平均变化率：yxf(x x) f(x)；x取极限得导数：1)基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：1.已知A.变式 1 ：A变式2：A题型二：导数运算f (x)设f设f2f, 则limf (20B. 24,则 lhim0x) f (2) 的值是()1C.4f3 h

2、f3为 ()2hx 在 x0可导,则 limD. 2f x00C3x f x0 3 x 等于xD 1x0B fx0C 3f x0D 4f x0f '(x) limylim f(x x) f (x)x0 xx0x1、已知2xsin2、若fxe sinx3. f (x) =ax3+3x2+2 ， f1)4 ，则a=(A. 103B.133C.13619 D.3mm C' 0(C为常数 )；(xn)' nxn 1； ( 1 )' (x n)' nx n 1； (n xm)' (xn)' mxn(x ) nx ( n ) (x ) nx ( x

3、) (x ) xxn1.求瞬时速度：物体在时刻t0 时的瞬时速度V0 就是物体运动规律Sft 在 tt0 时的导数f t0 (sin x)' cosx； (cosx)' sin x (ex)' ex (ax)' axln a(a 0,且 a 1)；11 (ln x)'； (log a x)' (a 0,且 a 1)xxlna法则 1： f (x) g(x)' f '(x) g '(x) ； (口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法则 2： f (x) g(x)' f '(x) g(x) f (x) g &

4、#39;(x) (口诀：前导后不导相乘+后导前不导相乘)gf(x)(x)'f'(x)g(xg)(x)f2(x)g'(x)(g(x) 0)(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)2)复合函数y f(g(x)的导数求法：换元，令u g(x)，则 y f (u)分别求导再相乘y' g(x) ' f (u) '回代 u g(x)题型一、导数定义的理解第 1 页 共 22 页即有V0f t0 。2.Vs/(t) 表示即时速度。四导数的几何意义：a=v/(t) 表示加速度。(了解)函数 f x 在x0处导数的几何意义，曲线y f

5、x 在点 P x0 , f x0相应的切线方程是：yy0f x0 x x0 。题型三用导数求曲线的切线注意两种情况：1) 曲 线 yyy0fx02) 曲线 y f处切线的斜率是k fx0 。于是x 在 点 P x0 , f x0处 切 线 ：性 质 ：k切线f x0 。 相 应 的 切 线 方 程 是 ：x0过点 P x0 , y0 处切线： 先设切点，切点为 Q(a, b),则斜率 k= f '(a) ， 切点 Q(a,b) 在y f x 上，切点 Q(a,b)在切线 y y0 f a方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率 k= f '(a)，确定切线方程。x x0 上，切点

6、Q(a, b)坐标代入方程得关于a,b 的第 2 页 共 22 页x0 为极大(或极小)值点。例： 在曲线y=x3+3x2+6x-10 的切线中，求斜率最小的切线方程；解析： ( 1 ) k y'|x x0 3x02 6x0 6 3(x0 1)2 3当 x0=-1 时，k有最小值3，此时 P 的坐标为(-1 ， -14)故所求切线的方程为3x-y-11=0五函数的单调性：设函数 y f (x)在某个区间内可导，( 1) f '(x) 0f (x) 该区间内为增函数；( 2) f '(x) 0f(x) 该区间内为减函数；注意：当f '(x)在某个区间内个别点处为零

7、，在其余点处为正(或负)时，f (x) 在这个区间上仍是递增(或递减)的。( 3) f (x) 在该区间内单调递增f '(x) 0在该区间内恒成立；( 4) f (x) 在该区间内单调递减f '(x) 0在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明(或判断)函数f(x)在某一区间上单调性：解题模板：( 1)求导数y f (x)(2)判断导函数y f (x)在区间上的符号(3)下结论 f '(x) 0f (x) 该区间内为增函数； f '(x) 0f (x) 该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数 y f (x) 单调区间的步骤为：( 1 )分析 y f (

8、x) 的定义域；( 2)求导数y f (x)( 3)解不等式f (x) 0，解集在定义域内的部分为增区间( 4)解不等式f (x) 0，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值(转化为恒成立问题)思路一：( 1 ) f (x) 在该区间内单调递增f '(x)0在该区间内恒成立；( 2) f (x) 在该区间内单调递减f '(x)0在该区间内恒成立；思路二：先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f( x)在(a， c)上为减函数，在(c， b)上为增函数， 则 x=c 两侧使函数f ( x

9、)变号，即x=c 为函数的一个极值点，所以f '(c) 0ln x例题若函数f (x) n x，若 a f(3), b f(4),cf(5) 则 ()xA. a< b < cB. c < b < aC. c < a < bD. b < a < c六、函数的极值与其导数的关系：1 .极值的定义：设函数f (x) 在点x0 附近有定义，且若对x0附近的所有的点都有f (x)f (x0) (或f (x)f (x0 ) ，则称f (x0 ) 为函数的一个极大(或小)值，可导数f(x) 在极值点 x0处的导数为0(即f '(x0) 0) ，

10、但函数f (x) 在某点x0处的导数为0，并不一定函数 f (x) 在该处取得极值(如f (x) x3在 x0 0处的导数为0，但f (x) 没有极值)。求极值的步骤：第一步：求导数f '(x) ；第二步：求方程f '(x) 0 的所有实根；第三步：列表考察在每个根x0 附近，从左到右，导数f '(x) 的符号如何变化，若f '(x) 的符号由正变负，则f(x0) 是极大值；若f '(x) 的符号由负变正，则f(x0) 是极小值；若 f '(x) 的符号不变，则f (x0)不是极值，x0不是极值点。2、函数的最值：最值的定义：若函数在定义域D 内

11、存x0，使得对任意的x D ，都有 f (x)f(x0) ， (或 f (x)f(x0) )则称 f (x0) 为函数的最大(小)值，记作ymaxf (x0) (或yminf (x0) )如果函数y f (x)在闭区间a,b 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间a,b 上必有最大值和最小值。求可导函数f (x) 在闭区间a,b 上的最值方法：第一步；求f(x) 在区间a,b 内的极值；第二步：比较f (x) 的极值与f (a) 、 f(b) 的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。注意： 1 、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大

12、值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值 最值。函数f(x) 在区间 a,b上的最大值为极大值和 f(a) 、 f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、 f(b)中最小的一个。第 3 页 共 22 页第 4 页 共 22 页2函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值(极大值对应最大值;极小值对应最小值)13、注意：极大值不一定比极小值大。如f (x) x 的极大值为2，极小值为2。x注意：当x=x0时，函数有极值f/(x0) 0。但是，f/(x0) 0 不能得到当x=x0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与

13、最值的应用(不等式恒成立问题，讨论方程的根的个数问题)题型四、导数图象与原函数图象关系导函数(看正负)原函数(看升降增减)f '(x) 的符号f (x) 单调性f '(x)与 x 轴的交点且交点两侧异号f (x) 极值f '(x)的增减性f (x)的每一点的切线斜率的变化趋势( f(x) 的图象的增减幅度)f '(x) 增f (x)的每一点的切线斜率增大(f(x) 的图象的变化幅度快)f '(x) 减f (x)的每一点的切线斜率减小( f (x) 的图象的变化幅度慢)【 题型针对训练】1. 已知f(x)=e x-ax-1.( 1)求 f(x) 的单调增区

14、间；(2)若f(x)在定义域R 内单调递增，求a的取值范围；(3)是否存在a,使f(x)在( -， 0上单调递减，在0，+)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.证明： f (x)0时。又gln(13.当 x 0，证明不等式1 xx(x) 1 xln(1x) x .ln(x 1)x) x 0，因此，当f (x) 在x， g(x) ln(x 1x0, 内是增函数，0时，g (x) 0，1)x ，则f (x)g(x) 在0,f (x)f (0) ，即x 0时，不等式x1xln(1点评： 由题意构造出两个函数f (x) ln(x 1) x ，1xg(x)利用导数求函数的单调区间或求最

15、值，从而导出是解决本题的关键解：由题知：x， 2 (1 x)2ln(1 x)x) x 成立 .ln(x 1) x.4、已知函数 f(x) ax3 bx 2 (c 3a 2b)x d (a )求c、d 的值； )若函数求函数 )若 x 0 )由图可知0， xg(x) g(0)，即f(x) 的图象在点(2,f(2) 处的切线方程为f ( x )的解析式；5, 方程 f(x) 8a 有三个不同的根，求实数2(x) 3ax 2bx+c-3a-2b函数 f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且f 10) 的图象如图所示。d得3ad3 )依题意f12a8a2b c2= 34b 3a4b 6a3a 2

16、b 02b 3 解得4b 3 5c02. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c, 曲线y=f(x)在点 x=1 处的切线为l:3x-y+1=0，若 x= 2 时， y=f(x)有极值.3( 1)求 a,b,c的值；( 2)求y=f(x)在-3， 1上的最大值和最小值.【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第 5 页 共 22 页所以f ( x ) = x36x2 + 9x + 3 )依题意f 5= 0f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a> 0 ) f x = 3ax2 + 2bx 3a 2bb = 9a 若方程 f ( x ) = 8a 有

17、三个不同的根，当且仅当满足 f ( 5 ) < 8a< f ( 1 ) 得 25a + 3< 8a< 7a + 31 < a< 3 所以 当 1 < a< 3 时，方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根。1111第 6 页 共 22 页【导数各种题型方法总结】请同学们高度重视(温馨提示)：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2 变更主元；3 根分布；4 判别式法5、二次函数区间最值求法：( 1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系( 2)端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成

18、立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础题型一、函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；(基础题型)1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f '(x) 0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种： 分离变量求最值用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)第二种： 变更主元(即关于某字母的一次函数)(已知谁的范围就把谁作为主元) ；解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于上 ，

19、 g(x)4 f(x) 121)若 y1： 设函数 y0恒 成 立 ，32mx 3x62f (x) 在区间2)若对满足mf (x)在区间 D 上的导数为f (x)， f (x)在区间 D 上的导数为g(x) ， 若在区间D则 称 函 数 y f (x) 在 区 间 D 上 为 “凸 函 数”， 已 知 实 数 m 是 常 数 ，0,3 上为 “凸函数 ”，求 m 的取值范围；2 的任何一个实数m ，函数 f (x) 在区间 a,b 上都为 “凸函数 ”，求 b a的最大值.43232xmx3xxmx解 :由函数f (x)得 f (x)3x126232第 7 页 共 22 页2g(x) x mx

20、 31) Q y f(x) 在区间 0,3 上为“凸函数”解法二：分离变量法： 当 x 0 时 , g(x)当 0 x 3时 , g(x)等价于 m而 h(x)m2g(0)g(3)2 x2 xx2 3xx 3( 0xx 3 的最大值(x解法三：变更主元法mxmx，则 g (x) g max (x) 0309 3m 33 0 恒成立 ,0 恒成立0 x 3 )恒成立，mx 3 0m2x 3 )是增函数，则hmax (x) h(3)a, b 上都为“凸函数”2x mx 3 0 恒成立002 x(2)当 m 2时 f (x) 在区间则等价于当m 2 时 g (x)例题欣赏2：设函数 f (x)1 x

21、3 2ax2 3a2x b(0 a31,b R)f( x)的单调区间和极值；x a 1,a2, 不等式在区间 0,3上恒成立3 0 在 m 2 恒成立1x1f (x) a恒成立，求a的取值范围.f (x)x2 4ax 3a2解： ()x 3axa第 8 页 共 22 页令 f (x)0, 得 f (x) 的单调递增区间为(a,3a)令 f (x) 0, 得 f (x) 的单调递减区间为(a)和(3a， + )即定义域在对称轴的右边，点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系33x=a 时， f (x) 极小值 = a 34| f (x) | a，得：对任意的则等价于g

22、(x) 这个二次函数Q0 a 1,a1ab;x=3a 时，f (x) 极大值 =b.x agmax (x) g min (x)a 2ag(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。a5ag(a 1) 2a 1第三种： 构造函数求最值题型特征：f(x) g(x) 恒成立例题欣赏3 已知函数f (x)解： ()a,b的值；1,a 2,a g(x)g(x) x2g(x)max g(x)min1.又03 g(x) x 1,4 时，求22x 4ax 3a a 恒成立22x 4ax 3a 的对称轴x 2a4ax 3a2在 a 1,a 2 上是增函数.g(a 2)g(a 1)2a 1.4a 4.x

23、a1,a 2 ，不等式恒成立，等价于t62 x2f (x) 的值域；4a 1, a5h(x) f(x)g(x) 0恒成立；从而转化为第一、二种题型1.2 ax 图象上一点(t 1)x 3P(1,b) 处的切线斜率为3，(t 0)1,4 时，不等式f (x)g( x)恒成立，求实数t的取值范围。f / (x) 3x2 2ax ()， 解得b1ab 2f (x) 在 1,0 上单调递增，在0,2 上单调递减，在2,4 上单调递减第 9 页 共 22 页又 f ( 1)4, f (0) 0, f (2) f (x) 的值域是 4,16h(x) f (x) g(x)4, f (4) 16t x2 (t

24、 1)x 3 x 1,4 2思路 1：要使 f (x) g(x) 恒成立，只需h(x) 0 ，即 t(x2 2x) 2x 6思路 2：二次函数区间最值题型二、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法 1： 转化为f '(x) 0或 f'(x) 0在给定区间上恒成立，回归基础题型；解法2： 利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的做题时一定要看清楚增或减区间的子集；要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集( 9 分)在( m,n )上是减函数”与13例题欣赏4： 已知 a R，函数f (x) x312解： f (x)函数的单调减区间是(a,b

25、)a12x (4a 1)x2g(x) f (x) 是偶函数，求f(x) 的极大值和极小值；f(x)是 () 上的单调函数，求a 的取值范围2 (a 1)x (4a 1).令 f (x)分离变量)”，13(x) 是偶函数，a 1 . 此时 f (x) x 3x ， f (x)120 ，解得： x 2 3 .1 x2 3， x4x( , 2 3 )23( 2 3 ,2 3 )23(2 3 ,+ )f (x)+00+f (x)递增极大值递减极小值递增列表如下：f (x) 的极小值为f (2 3)4 3可知： f (x) 的极大值为f ( 2 3)4 3 ，函数 f (x) 是 () 上的单调函数，第

26、 10页 共 22页12 f (x)x* 2 (a 1)x (4a 1) 0， 在给定区间R上恒成立(判别式法)4212则 (a 1)2 4(4a 1) a2 2a 0，解得： 0 a 2.4综上， a 的取值范围是a0 a 2 .11例题欣赏5、已知函数f (x) x (2 a)x (1 a)x(a 0).32( I )求 f (x) 的单调区间；( II)若 f (x)在 0， 1上单调递增，求a 的取值范围。( 子集思想)解析： ( I) f (x) x2 (2 a)x 1 a (x 1)(x 1 a).1、 当 a 0时 , f (x) (x 1)20恒成立,当且仅当x 1 时取 “

27、=号，”f (x)在 (,) 单调递增。2、 当 a0时 ,由 f (x)0,得 x11,x2 a 1,且 x1 x2 ,第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)0 的关系；第三步：解不等式(组)即可；例题欣赏6、 已知函数f (x) 1 x3 (k 1) x2， g(x) 1 kx，且 f (x)在区间 (2,)上为增函数323( 1) 求实数k 的取值范围；( 2) 若函数f (x) 与 g(x) 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围解： ( 1)由题意f (x) x2 (k 1)x f (x) 在区间 (2,)上为增函数， f (x) x2 (k 1)x 0在区间 (

28、2,)上恒成立 (分离变量法)即 k 1 x恒成立，又x 2， k 1 2，故 k 1 k的取值范围为k 13( 2)设h(x) f (x) g(x)x2 kx ，3232h (x) x (k 1)x k (x k)(x 1)单调增区间：(, 1),(a 1,单调增区间：( 1,a 1)II )当 Q f(x)在 0,1上单调递增1 、 a 0 时，f (x) 在 (x(,k)k(k,1)1(1,)h (x)00h(x)极大值32 kk1623极小值k12令 h (x) 0 得 x k 或 x 1 由( 1 )知 k 1 ，2当k1 时，h (x)(x 1)20， h(x)在 R上递增，显然不

29、合题意当k1 时，h(x)，h (x)随 x的变化情况如下表：0，欲使 f(x) 与 g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x) 0有三个不同的实根，k12) 单调递增符合题意2、0,1 a 1,， a 1 0a1则 0,1 是上述增区间的子集：故需 k 36k212k 10，即 (k 1)(k2 2k 2)23综上，所求k 的取值范围为k 13k1k2 2k，解得 k 1320综上， a 的取值范围是0， 1。题型三：根的个数问题类型一：函数 f(x)与g(x)(或与x轴)的交点方程的根函数的零点解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图 ”(即解导数不等式)和 “趋势图 ”即三次函数的大致

30、趋势“是先增后减再增还是 “先减后增再减”；第 11 页 共 22 页第 12页 共 22页f (x) 3x22 (3x 2)(x 1) 0值范围为(1,3)，求：f极大值 (x) f (1)2f极小值(x) f ( )3222)设函数 g(x) 的图像与函数f (x) 的图像恒存在含x 1 的三个不同交点，1) f (x) 的解析式；( 2)若过点P( 1,m) 可作曲线解析： ( 1)由题意得：f '(x) 在 (,1)上 f '(x)y2 3axf (x) 的三条切线，求实数m 的取值范围2bx c 3a(x 1)(x 3),( a0；在 (1,3)上 f '(x

31、) 0；在 (3,0)上 f '(x) 0等价于 f (x)g (x) 有含 x1 的三个根，即：f ( 1) g( 1) d12(b 1)f (x) 在 x0 1 处取得极小值a b c 4 ，f '(1) 3a即：12 x22x 12 bx21(b 1)整理得：2联立得：2b0 ， f '(3)27a 6b c 0312x3(b 1)x221x (b 1) 0 恒有含 x21 的三个不等实根6，9f(x)32x 6x9xh(x) x3121(b 1)x x (b 1) 0 有含 x221 的根，2)设切点Q(t, f(t) ，f(t)则 h(x) 必可分解为(x 1

32、)(二次式 ) 0 ，故用添项配凑法因式分解，221x x (b 1)x212(b 1)y( m( g(t)2( 3t2 12t9)(x t)f,(t)(x( t3 6t2t)9t)等价于x2(x2x (x十字相乘法分解：1 (b 1)x2221x (b21)x12(b12(b11)12(b11) 2 (b1)x21)x221x (x 1) (b 1)x (b 221(x 1) x (b 1)x212(b1)1)1)2x (b1) x1)0 恒有含 x 1 的三个不等实根0 有两个不等于-1 的不等实根。112 (b 1)12(b 1)2 44211)2(b 1)212(b12(b1)1)b

33、(, 1) ( 1,3) (3,类型三： 切线的条数问题x0为未知数的方程的根的个数例题欣赏8 例 8、已知函数f (x)32ax3 bx2cx在点x0处取得极小值4，使其导数f '(x) 0 的 x的取第 13页 共 22页3t23t23t22t312t12t令 g '(t) 6t12t2t229)x9)x 9)( 12tt(3tt(2t1) 2t39m12t 9)6t) 过 (6t2t(t21,m)6t9)求得：需：故：g(2 6t 12 6(t21,t1) 0g(2) 02)0，2 ，方程g(t) 0有三个根。2 3 129m01616 12 249m01111 m 16

34、 ；因此所求实数m 的范围为：( 11,16)类型四 已知 f(x) 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例题欣赏9 例 9、17解：函数的定义域为R ()当m 4 时， f (x)13x3 72x2 10x，f (x) x2 7x 10，令 f (x) 0 ， 解得 x 5,或 x 2.第 14页 共 22页4(m3)6) 0;m 6 0; ，解得m> 33 个极值点，求a 的取值范围R,a 0)x2,000,1f'(x)+0-f (x)极大a 0 ，所以可得下表：令 f (x) 0 ， 解得 2 x 5可知函数f(x)的单调递增区间为(,2)

35、 和(5，)，单调递减区间为2,5f (x) x2、 (根分布与线性规划例子)已知函数 f (x)x3 ax2 bx c (m 3)x m 6,要使函数y f (x)在(1，)有两个极值点, f (x) x2 (m 3)x m 6=0 的根在(1，)10例10、 已知函数f (x) ax( ) 若函数 f (x) 在 x 1时有极值且在函数图象上的点(0, 1)处的切线与直线3x y 0平行 ,求 f (x) 的解析式；( ) 当 f (x) 在 x (0, 1) 取得极大值且在x (1, 2) 取得极小值时, 设点 M (b 2, a 1) 所在平面区域为 S, 经过原点的直线L 将 S 分

36、为面积比为1:3 的两部分, 求直线 L 的方程 .解 ：( ). 由 f (x) 2x2 2ax b, 函数 f(x) 在 x 1 时有极值,1 x2， (a321)求f (x) 的单调区间；12)令g (x) x 2a b 2 0 f( x) ( x R)有且仅有4解： ( 1)f ' (x) ax2 x x(ax 1)11当 a 0 时，令 f (x) 0 解得 x 或 x 0 ，令 f (x) 0 解得x 0 ，aa所以 f (x) 的递增区间为(, 1 ) (0,) ，递减区间为( 1 ,0) .aa11当 a0时，同理可得f (x) 的递增区间为(0，1 ) ，递减区间为(

37、,0) ( 1 ,).aa( 2) g(x) 1 x4a x3 1 x2有且仅有3个极值点4323222g (x) x ax x x(x ax 1) =0 有 3 个根，则x 0 或 x ax 1 0 ， a 2方程x2 ax 1 0 有两个非零实根，所以a2 4 0,a 2或 a 2而当 a 2或 a 2时可证函数y g(x) 有且仅有3个极值点请你欣赏典型题解析1 、 (最值问题与主元变更法的典例)已知定义在R 上的函数f (x) ax3 2ax2 b( a 0) 在区间2,1 上的最大值是5，最小值是11.()求函数f (x) 的解析式；()若t 1,1时， f (x)tx 0 恒成立，

38、求实数x的取值范围.解： () Q f (x) ax3 2ax2 b, f ' (x) 3ax2 4ax ax(3x 4)'4令 f (x)=0,得 x1 0,x22,1123因此 f (0) 必为最大值, f( 0) 5因此b 5，Qf( 2) 16a 5,f(1) a 5, f(1) f( 2)，即 f ( 2)16a 511 ， a 1 ，f (x)x3 2x2 5.()f (x) 3x2 4x， f (x)tx 0 等价于3x2 4x tx 0，令 g(t) xt 3x2 4x，则问题就是g(t) 0在 t 1,1上恒成立时，求实数x的取值范围，g( 1) 03x2 5

39、x 0为此只需，即，g( 1) 0 x2 x 0解得 0 x 1 ，所以所求实数x的取值范围是0， 1.f(0) 1c1又 f(x)在 (0, 1)处的切线与直线3xy 0 平行 ,( ) 解法二f (x)2x22ax b 及f(x) 在 x (0, 1)取得极大值且在(1,2) 取得极小值,( ) 解法一 : 由易得A(DE另一种情况设不垂直于AC,BCf (0) b23f(x) 3x(0)(1)(2)2,(x)0),3故2x22y4yB( 2,(0)(1)(2)2a4a令 M (x,y) , 则12x2 3x2ax b2a4a1),故点. 7分C(2,为 ABC 的中位线, S DEC所求

40、一条直线L 的方程为: x 0分别交于F、y2ykxx2G,f(x) 在 x(0, 1)取得极大值且在x令 M (x, y) , 则M 所在平面区域S 为如图 ABC,2) , D(0,1 S四边形ABED3x 轴的直线L 也将 S 分为面积比为则 k 0 , S四边形DEGF 1得点 F 的横坐标为xF2k 1(1,1),1:32) 取得极小值,2y4y故点 M 所在平面区域S 为如图 ABC,S四边形易得A( 2,0) ,B( 2,1),C(2,2) , D(0,1),E(0,32),S ABC 2DE 为 ABC 的中位线,S DEC13另一种情况由于直线BO 方程为3 E(0,32)S

41、 ABCy2yS ABC, 设直线L 方程为 y kx ,它与所求直线方程为y4ykxx6DEGF得点 G 的横坐标为S OGES OFD解得 : kk58综上 ,所求直线方程为:0或 yxG(舍去)64k 14k 1 21x2x22,得直线SDECx0或y2k 11故这时直线方程为: y x2第 17页 共 22页LyL12: x 0S四边形ABED 所求一条直线3 ax2bx (c3a 2b)x d (a 0) 的图象如图所示。3、 (根的个数问题)已知函数 f(x)f ( x )的解析式；)由图可知f1 即 16k2 2k 5 0.分12d3得3a 2b c3ac、d 的值；若函数 f(

42、x) 的图象在点(2,f(2) 处的切线方程为3x y 11 0， 求 )若x 05, 方程 f(x) 8a 有三个不同的根，求实数a 的取值范围。2(x) 3ax 2bx+c-3a-2b函数 f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且 f 1 = 0d32b 0c0第 18 页 共 22页 )依题意f 2= 3 且 f ( 2 ) = 513121令 (x) x (a )x 2ax ( 2 x 1)32612a 4b 3a 2b 3解得 a = 1 , b = 68a 4b 6a 4b 3 5(x) x2(2a 1)x 2a (x 2a)( x 1)所以 f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3令 (x) 0 得 x 2a或 x 1 )依题意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a> 0 )f x = 3ax2 + 2bx 3a 2b 由 f 5 = 0 b = 9a满足 f ( 5 )< 8a< f ( 1 ) 得 25a + 3< 8a&l