高三数学专题集合、逻辑与不等式参考答案(120807)

1、专题一集合、逻辑与不等式§ 1 1集合【知识要点】1集合中的元素具有确定性、互异性、无序性.2. 集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦 恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示.3. 两类不同的关系：(1) 附属关系一一元素与集合间的关系；(2) 包含关系一一两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况).4. 集合的三种运算：交集、并集、补集.【例题分析】例1给出以下六个关系：(1) 0 N *(2)0 ' - 1, 1(3) .一 0(4)、' 0(5)0 0 , 1(6)0 -0其中正确的关系是.解答：(4)(6)【评析】1.熟

2、悉集合的常用符号：空集，记作一 ; N表示自然数集； 或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集.2. 明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a A;如果a 不是集合A的元素，记作：aA.3. 明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集.记作：A5B或B二A.如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于 A,那么，集合 A叫做集 合B的真子集.A，B或B A.4. 子集的性质：任何集合都是它本身的子集：A A ；空集是任何集合的子集：一 A；提示：空集是任何非空集合的真子集.传递性：如果

3、 A B, B C,贝U A C;如果A B, B C，贝U A C.例2全集U = 小于10的正整数,其子集A, B满足条件(uA) n右uB)=1 , 9, A n B = 2 , Bn ('uA)= 4 , 6, 8.求集合 A, B.解：根据条件，得到如图 1 1所示的韦恩图，图1 1于是，韦恩图中的阴影局部应填数字3, 5, 7.故 A= 2 , 3, 5, 7 , B= 2 , 4, 6, 8.【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合 A、B，由既属于 A又属于B的所有元素构成的集合叫做 A、B的 交集.记作：AA B.对于两个给定的集合 A、B,把它们所有的元素并

4、在一起构成的集合叫做A、B的并集.记作：AU B.如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做 A在U 中的补集.记作'-uA.2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且、“或、“非的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要 习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题.例3设集合 M = x1 < xv 2 , N = x | xva.假设 M A N = ,那么实数 a 的取值范围是.答： 3 1.【评析】此题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a变化时是否能够取到区间端点的值.象韦恩图一样，数轴同

5、样是解决集合运算问题的一个非常好的工具.例 4 设 a, b R，集合1,a +b,a =0,，b，那么 b a= a【分析】因为1,a b, a二0,b，所以a+ b = 0或a = 0舍去，否那么一没有意义,aa所以，a+ b= 0, b = 1,所以一 1 1 , a+ b, a, a = 1,a结合 a + b= 0, b = 1,所以 b a= 2.练习1 1答案、选择题1 . B 2. B 3. A 4. C提示：4 .集合A表示非负偶数集，集合 B表示能被4整除的自然数集，所以正奇数 ( uB)，从而 U = A U ('.uB).二、填空题5. x | xv 46. 4

6、 个 7. x I 1v xv 28. ai ； 2 个(x 为 ai 或 a3).三、解答题9. (An B)U C= 1 , 2, 3, 410. 分析：画如下图的韦恩图：得A= 0 , 2, 3, 5, 7, B = 2 , 4, 6, 8.11. 答： av 4;a> 2;2< av 4提示：画数轴分析，注意 a可否取到“临界值§ 1 2常用逻辑用语【知识要点】1.命题是可以判断真假的语句.2 .逻辑联结词有“或“且 “非.不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.可以利用真值表判断复合命题的真假.P真真假假真假真假卜或晋真假3

7、.命题的四种形式真真假假g假真假户且V蔑假假假假非7假原命题：假设p那么q.逆命题：假设q那么p.否命题：假设p，那么q.逆否命题：假设一 q,那么p.注意区别“命题的否认与“否命题这两个不同的概念.原命题与逆否命题、逆 命题与否命题是等价关系.4. 充要条件如果p= q,那么p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件.如果p= q且q= p,即q：= p那么p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件.5. 全称量词与存在量词【例题分析】例1分别写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.(1) 假设 a2+ b2= 0，贝V ab = 0;(2) 假设 An B = A,那么 A

8、B.解：(1)逆命题：假设ab= 0，那么a2+ b2= 0;是假命题;否命题：假设a2+ b20，贝U abz 0;是假命题； 逆否命题：假设abz 0,贝y a2 + b2z 0；是真命题；(2)逆命题：假设 A = B，贝U A n B= A;是真命题；否命题：假设A n Bz A,那么A不是B的真子集；是真命题； 逆否命题：假设 A不是B的真子集，那么 An Bz A.是假命题.评述：原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题有时一个命题的真假不易判断，可以判断其逆否命题的真假，因为二者是等价的例2指出以下语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件.(1)

9、 p： (x 2)(x 3)= 0; q : x= 2;(2) p： a>2; q： az0.【分析】由定义知，假设p= q且q >p，那么p是q的充分不必要条件；假设pq且q= p,那么p是q的必要不充分条件；假设p= q且q= p, p与q互为充要条件.于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件.(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件.【评析】 判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问 题就是判断p与q之间谁能推出谁了.例 3 设集合 M = x | x>2, N = x | xv 3，那么“ x M 或 x

10、N 是“ x M n N的 ( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件解：条件 p: x M 或 x N,即为 x R ；条件 q： x M n N，即为x R | 2 v xv 3.又R x R | 2v xv 3,且x R | 2 v xv 3 乂 R，所以p是q的必要非充分条件， 选B .【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合 A,满足条件q的元素构成集合 B,假设B且B，A,那么p 是q的充分非必要条件；假设 A B且B A，那么p是q的必要非充分条件；假设 A= B，那么p与q

11、互为充要条件.例4命题“对任意的x R , x3 x2 + K 0的否认是()(A)不存在 x R , x3 x2 + 1 W 0,(B)存在 x R , x3 x2 + 1 W 0(C)存在 x R, x3 x2 + 1 >0(D)对任意的 x R, x3 x2 + 1 >0【分析】这是一个全称命题，它的否认是一个特称命题其否认为“存在x R, x3x2+ 1 > 0.答：选C.【评析】注意全(特)称命题的否认是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否认.练习1 2答案一、选择题1 . D 2. A3. B4. B二、填空题5. 必要不充分条件6.假设

12、丨x |< 1,那么x> 17.充要条件 &提示：8.因为A5B，即对任意x A,有x B.根据逻辑知识知，A B,即为.另外，也可以通过文氏图来判断.三、解答题9 .答：(1)全称命题，真命题.(2 )特称命题，真命题.(3) 特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题.10.略解：答：逆命题：假设 ab= 0，贝U a2 + b2= 0;是假命题；例如 a= 0, b= 1否命题：假设a2+ b2 0,贝U abz 0;是假命题；例如 a = 0, b = 1逆否命题：假设ab丰0,贝U a2 + b2z0 ；是真命题；因为假设 a2+ b2= 0,贝U a= b = 0

13、，所以 ab= 0,即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题.§ 1 3不等式(含推理与证明)【知识要点】1. 不等式的性质.(1) 如果a> b，那么bv a；(2) 如果a> b，且b> c,那么a> c；(3) 如果 a>b，那么 a + c>b+ c(如果 a+ c>b,那么 a>b c)；(4) 如果 a>b, c>d,那么 a+ c>b + d；(5) 如果 a> b, c> 0,那么 ac> be;如果 a> b, c v 0,那么 acv bc；(6) 如果 a>b>

14、0, c>d>0,那么 ac>bd；(7) 如果 a>b>0,那么 an>bn(n N +, n> 1)；(8)如果 a>b>0,那么 n a ：b(x N ,n 1);2进行不等式关系判断时常用到的实数的性质：假设 a R，那么 a2 _0;|a|_0.、. a _0(a R ).3. 会解一元一次不等式，一元二次不等式，简单的分式不等式、绝对值不等式.简单 的含参数的不等式.a + b I4. 均值定理：如果a、b R十，那么ab.当且仅当a= b时，式中等号成立.2其他常用的根本不等式：如果a、b R，那么a2 + b2> 2a

15、b, (a b)2>0.如果a、b同号，那么b _ 2.a b5. 合情推理之归纳推理与类比推理；演绎推理；综合法、分析法与反证法.【例题分析】例1假设a> b> c,那么一定成立的不等式是 ()1 1 1A . a | c | > b | c | B . ab> acC. a | c |> b| c | D .-a b c【分析】 关于选项A .当c= 0时，a | c |> b | c |不成立.关于选项B .当av 0时，ab > ac不成立.关于选项C .因为a> b，根据不等式的性质 a| c |> b| c |,正确.1

16、1 1关于选项D .当a> b> 0> c时，不成立.所以，选 C.a b c例2 a, b R，以下命题中的真命题是()1 1A.假设 a>b，那么 | a | >| b |B.假设 a>b，贝U:-a b33aC.假设 a>b，贝y a >bD.假设 a>b,贝U1b【分析】关于选项A .当a= 1, b= 2时，| a | >| b |不成立.1 1关于选项B .当a> 0, b v 0时，不成立.a b关于选项C.因为a>b，根据不等式的性质 a3>b3,正确.关于选项D .当bv 0时，a 1不成立.所以，

17、选 C.b【评析】判断不等关系的正误，其一要掌握判断的依据，依据相关的理论判断，切忌仅凭感觉进行判断；其二要掌握判断的方法.判断不等式的理论依据参看本节的知识要点，另外，后面专题讲到的函数的相关知识尤其是函数的单调性也是解决不等式问题的非常重要的方法.判断一个不等式是正确的，就应该给出一个合理的证明(或说明)，就像例1、例2对正确的选项判断那样判断一个不等式是不正确的，应举出反例.例3解以下不等式：(1)X2-x 1 > 0;(2)x2 3x+ 2 > 0;(3)2x2 3x+ 1< 0;x -120;丨 2x 1 | < 3;(6)竺弓乞1.x -2解：方程x2 x

18、1 = 0的两个根是为，X21 二 52结合函数y = x2 x 1的图象，可得不等式 x x 1 >0的解集为x|x :1 2 5或x 1 2 5(2)不等式 x2 3x+ 2>0 等价于(x 1)(x 2)>0,易知方程(x 1)(x 2) = 0的两个根为x1 = 1, x2= 2,结合函数y = x2 3x+ 2的图象，可得不等式x2 3x+ 2> 0的解集为x | x< 1或x> 2 不等式2x2 3x+ 1 w 0等价于(2x 1)(x 1)w 0，以下同 的解法，1可得不等式的解集为x| X乞1.2x -1一(4) 0等价于(x 1)(x 2)

19、 >0，以下同 的解法，可得不等式的解集为x | x< 1x -2或 x>2 (5) 不等式 | 2x 1 | < 3 等价于一3< 2x 1 < 3,所以一2< 2x< 4,即一1< x< 2，所以 不等式| 2x 1 |< 3的解集为x | 1w x<2 2x 1x 亠 1(6) 不等式1可以整理为0,x-2x-2丄二岂0,等价于丄1 ：0或乞=0.以下同(4)的解法，可得不等式的解集为x | x-2x-2 x-21 w x< 2 【评析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要熟练掌握.其他不等式的解法适 当掌握

20、.1.利用不等式的性质可以解一元一次不等式.2 解一元二次不等式要注意函数、方程、不等式三者之间的联系，通过研究与一元二 次不等式相对应的一元二次方程的根的情况、进而结合相应的二次函数的图象就可以解决 一元二次不等式解集的问题了.所以，解一元二次不等式的步骤为：计算二次不等式相应的方程的判别式；求出相应 的一元二次方程的根(或根据判别式说明无根)；画出相应的二次函数的简图；根据简图写出 二次不等式的解集.x - ax 一 a3、不等式0与(x a)(x b) >0同解；不等式0与(x a)(x b)< 0同解；xbxb4*、不等式 | f(x) |< c 与c< f(x

21、)< c 同解；不等式 | f(x) |> c 与"f(x)> c 或 f(x) < c同解在解简单的分式不等式时要注意细节，例如(5)题关于“W号的处理.例4解以下关于x的不等式；(1) ax+ 3v 2;(2)x 6ax+ 5a < 0.解：由 ax+ 3v 2 得 axv 1,当a= 0时，不等式解集为.一；当a>0时，不等式解集为x | x ： - -；a1当av 0时，不等式解集为x|x .a(2) x2 6ax+ 5a2< 0 等价于不等式(x a)(x 5a)< 0,当a= 0时，不等式解集为x | x= 0;当a>

22、 0时，不等式解集为x | aw xw 5a;当av 0时，不等式解集为x | 5aw xw a.【评析】含参数的不等式的解法与不含参数的不等式的解法、步骤是完全一致的.要注意的是，当进行到某一步骤具有不确定性时，需要进行分类讨论.如(2)的解决过程中，当解出方程(x a)(x 5a) = 0的两根为x-= a,5a之后，需要画出二次函数y= x2 6ax+ 5a2的草图，这时两根 a与5a的大小不定，需要讨论，当分a=0, a> 0, a v 0三种情况之后，就可以在各自情况下确定a与5a的大小，画出二次函数m m>a c b dy= x2 6ax+ 5a2的草图写出解集了.例

23、5 a> b> 0, cv dv 0, mv 0 .求证:ma -c证明：方法一(作差比拟)m _ m(b _d) _ (a _ c) m(b _ a) (c _ d)b-d (a-c)(b-d)(a-c)(b-d)由 b av 0, cdv 0,又 mv 0,所以 m(b a)+ (c d) >0, 因为 a> b>0, cv dv0，所以 a c>0, b d>0,ma -c.0,即b-da-c b-d所以 ml(a) (c d)0,所以(a _c)(b _d)方法二因为cv dv 0，所以c d v 0,又 a>b>0,所以 a b&

24、gt;0，所以 a b>c d，所以 a c>b d>0,11mm所以，又因为mv 0,所以巴a c b da c b dc 例 6 a + b+ c= 0, a> b> c,求证：(1)a> 0; (2)2.a证明：假设aw 0，因为a> b > c,所以bv 0, cv 0.所以 a+ b+ cv 0，与 a + b+ c= 0 矛盾.因为b=- a-c, a>b，所以，所以2a>-c,又a>0，所以2-，所以-2.a a1例7 a, b, c (0, 1)，求证：(1 - a)b, (1 b)c, (1 c)a中至少有一个

25、不大于.4 1证明：假设(1 a)b，(1 - b)c， (1 c)a均大于4111即(1 -,(1-'b)c,(1 -'C)a,4441 1 1(1-a)b 亍(1fb)c 2，、(1fc)a2，因为 a, b, c (0, 1)，所以 1 - a, 1 - b, 1 - c (0, 1),所以(1 a) b _2. (1a)b 1，同理(1 b)+ c> 1, (1-c) + a> 1,所以(1 a) + b+ (1 b) + c+ (1 c)+ a>3，即卩 0>0,矛盾.1所以(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a中至少有一个不大于 一.4

26、【评析】 证明常用的方法有比拟法、综合法、分析法与反证法等.证明不等式也是如此.1、 例5中的方法一所用到的比拟法从思维、书写的角度都较为容易，也相对易于把握，要熟练掌握.2、 例5中的方法二所用到的综合法是一般证明题常用的方法，其书写方法简明、易读， 但要注意的是，这样的题的思路常常是分析法.比方，例5中的方法二的思路我们可以认为是这样得到的：欲证,只需证a c b d明m(b d)> m(a c)(因为b d >0, a c>0)，即只需证明 b dv a c,即只需证明 a b> c d,而由a b>0, c dv 0，所以可以循着这个思路按照相反的顺序书写

27、.所以，在 很多情况下，分析法更是思考问题的方法，而综合法更是一种书写方法.3、 适合用反证法证明的常见的命题一般是非常显而易见的问题(如例6(1)、否认式的命题、存在性的命题、含至多至少等字样的命题(如例7)等等.证明的步骤一般是：(1)假设结论的反面是正确的；(2)推出矛盾的结论；(3)得出原来命 题正确的结论.例8根据图中图形及相应点的个数找规律，第8个图形相应的点数为 【分析】第一个图有1行，每行有1+ 2个点;第二个图有2行,每行有2 + 2个占.1 八、，第三个图有3行,每行有3 + 2个占.1 八、，第八个图有8行,每行有8 + 2个点，所以共有8 X 10= 80个点答：80.

28、练习1 3答案一、选择题1 . B2. C3.A4.B二、填空题5.6. x| 2 V XV 37. x R | K x< 3 |&n三、解答题1 3 - 5- 3 ： 59答：(1)x| x 0或x ; (2)x|x;2 2 2x|0 : X ： 3 ； (4) x |- 1V xV 5 ; (5)x|0 ： X :：1.232 210. 证明：ab+ bc+ ca= b(a+ c) + ac= (a + c)(a + c) + ac= a ac- c3c2岂 042 C 3 2c 2Ta a - -c (a -)所以 ab+ bc+ ca< 0.11. 解：(1)原不等式二(x+ a)(x 3a) V 0.分三种情况讨论： 当aV 0时，解集为x | 3a v xv a; 当a= 0时，原不等式二x2v 0,解集为" 当a> 0时，解集为x | av xv 3