高三数学新复习资料汇总

1、真./、 登.骋.神.激发兴趣，唤起热情.独立思考，想透悟深.夯实根底，反璞归三种语言，驾熟就轻.基于模仿，步步为营.循序进击，逐步攀情商智商，挖掘潜能.标准周到，证严算准.构建网络，自由驰融会贯穿，能力倍增.灵活运用，开拓创新.纵横联想，入化出、高三数学总复习要领一学好数学的“诀窍二数学总复习的指导思想高屋建瓴，统览全局 .纵横联系，纵横驰骋.抓住主干，突出重点 .全面激活，时刻待命 .全神贯注，突破难点 .知己知彼，强化弱点.走出误区，克服盲点 .提高警惕，制拐防陷 .瞄准目标，把握方向 .失误挫折，磨砺意志.能力提高，信心百倍 .智力投入，主动积极 .意志顽强，动力持久 . 进步成长，情

2、趣盎然.反思小结，迈步稳健 .小胜聚大，生命闪光 .三数学思想的树立函数方程最重要，分类讨论常用到，等价转化威力大，数形结合实在妙 .四数学双基掌握运用的几个层次第一层次：想通悟透，自然记忆.全面掌握，夯实根底第二层次：沟通联想，融会贯穿.信手拈来，潇洒自如第三层次：左右逢源，出神入化.奇思妙想，创造灵活五解题能力四要素 知识扎实，全面激活 技能精湛，操作熟练 反映敏捷，判断准确 心理过硬，意志坚韧六数学思维的品质.迅速检索，构成机制.计算精确，论证严谨.尝试探索，突破创新.临危不惧，处变不惊深刻性抓住本质，击中要害 广阔性眼观六路，耳听八方缜密性严谨周密，条分缕析敏捷性迅速检索，果断决策 创

3、造性打破常规，张扬个性批判性加强警戒，克盲防陷七解选择题的七字诀直运算推理，直指结论排逆向思考，排除错项试观察试值，获取结论赋主动赋值，实验获解 结数形结合，直观形象 特特例探路，巧妙得解 猜全面考察，科学猜测八解大题的五步曲审采撷信息，挖掘隐含 探尝试探索，建构机制 破准确切入，突破成功 表标准表述，书写清晰 回反应回忆，扩大战果九建立学习档案?佳题妙解? 、?双技集粹? 、?难点突破? 、?错误点击? 、?失分回收? 、?点滴随想? 十应考“四字经两那么其一丿、盘马弯弓，箭在弦上.笑谈高考，喜迎较量.六月安泰，火爆吉祥 .刀锋剑利，子弹登膛 .沉着上阵，崭露锋芒.五门学科，依次登场.十年积

4、攒，释放能量 .双基扎实，智能闪光 .双技熟练，艺高胆壮.成竹在胸，意坚志刚.统览全局，调度恰当 .尝试探索，敢拼善闯 .瞬时陌生，早有提防 .警惕陷阱，戒误克盲.问道于零，不迷方向联想丰富，挖掘隐藏大小兼顾，当仁不让当条分缕析，敏捷流畅处变不惊，转化有方腔.张驰有度，内热外凉信心百倍，敌弱我强浪气势恢弘，胜利在望 其一/、'十年寒窗，拼搏在今胜排除杂念，渐入佳境全神贯注，忘我无人情.挖掘潜智，精神亢奋大胆冲杀，谨思慎行 心.超常发挥，静候佳音见微知著，毫发不伤.目标引路，分析导航.百折不挠，锐不可挡.合理定位，充满信心.新颖奇特，瞬时陌生.瞻前顾后，分秒必争.计算论证，严谨稳动静结合

5、，激情满迎风弄潮，劈波斩.诸强争雄，勇者取.联想转化，排除险.整体驾驭，全局在第一章集合与简易逻辑.集合有关集合的记号：J - , N, N*, Z, Q, R ,乙，R- 集合分限集与限集.集合的表示法：列举法、描述法公式描述或语言描述、图示集合元素的特性:性、子集 设集合A、B ,如果集合 A的集合B的元素，就称集合A是集合B的子集.记为A B或B二A.真子集 设集合A、B ,如果A B,且A = B即B 中,那么集合A叫做集合B的真子集，记为；子集、真子集的性质：1A A即任何一个集合 ；2门A其中门叫做空集，即 的子集；斗 AA，即空集为任何的真子集；4传递性：假设A B，且B C，那

6、么广泛联想；5集合相等：A B，且B A= A=B ;6集合ai, a2,，an有个子集作为研究题，应从广阔的背景中找到它的模型，并进一步作出解释.全集 在研究某一问题的过程中，所有集 合，这个集合就叫做全集在不同的问题中，可以有不同的全集；但在确定的问题中，全集只能有一 个.补集 记全集为 U,在全集中，由所有 的元素组成的集合叫做全集U中集合 A的补集简称A【u补，记为，即uA=.| B | 人全集和补集的性质u(uA)=称A与uA(1)A u,u ： =, uU=a 与 U)；(4) 在全集U中，假设uA=B ,那么uB=A ,称集合A与B(广泛联想)交集 由所有的元素组成的集合，叫做集

7、合A与集合B的交集，记为并集 由所有a n b，即即 a n b=x|x a ,的元素组成的集合，叫做集集合B的并集，记为 A U B=x|x a , x B.交集和并集的性质：(i)An a=a , a u a=a ；(2)a n b=b n a , a u b=b u a ；(3)a n 门=； a u=；(4) An Ba, a n BB ； aa u B , Ba u b , a n Ba u b ；(5) 假设a n b=a ,那么aB ,反之亦然；假设a u b=a，那么aB ,反之亦然；(6) u(An b)=, u(au b)=(对偶律)；(7) 假设将集合 A的元素的个数记为

8、 card(A)，那么card(A)、card(B)、 card(A n B)、card(A U B)之间有以下关系(经研究找出结二. 含绝对值的不等式的解法设 a>0 , 贝U |x| v a 二 ;|x| >a=，其中的 x 可以换成 f(x)，或根据需要换成其它任何代数式和三角式(应用十分广泛的代换)其几何意义 是 ：x|x|va 表示 的 数轴 上至U 点的集合；x|x|>a表示数轴上到 点的点的集合(请在数轴上用阴影表示出这两个集合).-a-x-a ° ax a三. 不等式(x- a)(x- b)>0(或<0)与不等式 > 0(或<

9、0 , a< b)x b等价，其解集都是_，或是；但不等式 (x-a )(x-b )?0 与> 0但< b)是不等价的，它们的解集分别是与四. 简易逻辑逻辑联结词：或、且、非，弓I进符号，分别为“ V、人、.用逻辑联结词将简单命题组成复合命题的三种形式：p V q、pA q、p.复合命题的真值表(命题的真、假分别用“ 1和“0 表 示其“值).填写下表:pq1p1qp aqp vq-(pA q)(p) v(-q)(p vq)(-p) a(-q)110o1o01四种命题及其关系原命题与其逆否命题具有 性,即.1反设：针对要证结论提出反设 即要证结论的“否；2矛盾：从反设出发，经

10、过推理，得出矛盾与矛盾，或与 定理、公理矛盾，或自相矛盾 ，由矛盾判定假设不成立，从而 肯定欲证结论的正确性.六.充要条件假设p=q，那么称p是q的条件，q是p的 条件.四种形态：(1假设p= q，且q= p，那么称p和q条件，记为p二q ;(2) 假设p= q,但q= p，那么称p是q的条件；(3) 假设p=q，但q = p，那么称p是q的条件；(4) 假设 p= q,且q= p,即p、q间无因果关系，那么p(q)既q(p)的条件，又q(p)的条件.证明充要条件的两种情况：要证p是q的充要条件(1分开证明，两步到位：1°证充分性(即由p=q) ； 2°证必要性(即 由 q

11、= p)；由1°、2°知，p是q的充要条件.(2)等价转化，一步到位：p= s= t=v=二q，贝?p是q的充要条件.求充要条件 要求q成立的充要条件：先由 q推出p,从而知 p是q的必要条件；再证充分性，即由p推出q.综上知q成立的充 要条件是p.七.根底练习1有以下关系：3 x|x汨0:3 x|x汨0:3 x|x乞10； 3y , 其 中 正 确 的 有(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个2. 设集合A=x|x>a,B=x| |x-1|<2，假设A n B工门,那么a的取值范围是()(A) a>3(B)a<3(C)a < 3(D

12、)a> 33. 设集合 A=x|ax=2 , a R, B= y | y =(i)n,n z,假设 A B，那么 符合条件的a有()(A) 0 个(B)1 个(C)2 个(D)3 个()(A)都是真命题(D)中必为一真一假5.要用反证法证明设应是假设4. 如果命题“ p A q 是假命题，“ p V q 是真命题，那么 p、q(B) 都是假命题(C)中至少有一个假命题“某数是偶数，且不能被6整除,提出的反()(B)某数不(D)某数不(A)某数是偶数，且能被 6整除 是偶数，且能被6整除(C) 某数不是偶数，且不能被6整除是偶数，或能被6整除6.设全集 U = R，假设集合 F=x|f(x

13、"O,G=x|g(x) = O,H=x|h(x“O,集合xif(x)g(x)=o为h(x)()(a)f n g n h (b)f n g n (uh)(c)f u g n (uh)(D)F n gu h7设全集 U=R，集合 A=a , b, c, d, B=e , f, g，那么集合An (uB) u b n (uA)中的元素至少有()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个8.设 p : x 1 °，x 3q :| x-1| 1,那么p是q 的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件9.关于x的方程ax2 2x 0至少

14、有一个负根的充要条件是(A) a -1(B) 0 ： a 一 1(C) a : 1(D)a 乞1，且 a = 010在直角坐标系中，集合A=坐标轴上的点(x，y)，那么A可表示为()(A)(x，y)|代=0(B)(x，y)|xy =0(c)(x，y)|x|+|y|=0(D) (x, y)=0x + y11假设方程x+ax+b=O 的两实根分别是xi、X2(xiVX2),设集合M=x|x>x i, N=x|x>x 2, P=x|x<x 1 , Q=x|x<x 2,那么不等式 x +ax+b>0 的解集是()(A)(M U N) n (P U Q) (B)(M Q N

15、) Q (P Q Q) (C)(M U N) U (P UQ) (D)(M Q N) U (P Q Q)12.设对两个非空集合 A、B，给出“差集的一个定义：A-B=x|x A，且 x B,贝» A-(A-B)等于()(A)A(B)B(C)A Q B(D)AU B13.以集合2 ,3的子集为元素组成的集合是.14用反证法证明“ ab工0所提出的反设可以是： ab=0 : a、b都为0;a、b中至多有一个为 0;a、b中至少有一个为 0, 其中错误的选项是.15设命题“ p：a2 ：0 (a R)与命题“ q:2a 1(a N )是奇数，那么 复合命题p A q ;p V q ;p ;

16、q中的真命题是16用集合运算符号分别表示出以下各图形中的阴影局部: 分别得 :(1)；(2)； (3).第二章函数一. 映射设集合A、B和对应法那么f ,如果对于集合 A中的每一个元素，按照对应法那么f，在集合B中_ ，那么这个对应就叫做从集合 A到集合B的映射.映射的两个允许(1允许“多对一，即在集合 A中，可以有两 个或两个以上的元素与集合 B中的一个元素对应；(2)允许集合B中有“闲元素 即指集合B中的某个元素，它 不是集合A中任何元素的像，那么该元素被称为“闲元素.二. 函数设从集合A到集合B的映射f，如果A、B都 是，那么这个映射就叫做函数.集合A中的元素通常用x表示，与x对应的集合

17、B中的元素通常用y表示，y是x 的函数记为y=f (x).其中x叫做，与它对应的值叫做函数值.假设x=a，那么对应的函数值记为 ，x取值的集合A叫做函数的，与x对应的所有 y的值组成的集合叫做函数的，假设记函数的值域为集合 C，那么集合B与集合C之间的关系是，假设集合 B中没有，那么此时那么有 函数的记号“ y=f(x) 只是一个抽象的符号，假设有具体的式子，那么称该式为函数的解析式.只要在函数的定义域内，自变量x可以根据需要作自由代换，如f(x)=2x+1 ,那么f( )=2 +1,甚至还可以作迭代：即ff(x)= ，余类推，这种函数自变量的自由代换有着非常重大的作用.除了 f(x)夕卜，有

18、时还用其他的形式表示函数，如g(x)、h(x)、H(x)、S(t)，等等.分段函数：假设函数在定义域的不同区间有不同的解析式，那么称该 函数为分段函数，如+ (xH2)；要注意的是，该函数的定义域仍然f(x)= |X-2 (x<2).是R.函数的定义域、值域、函数的解析式称为函数的 三. 函数的定义域两种定义域：(1)自然定义域：由函数本身决定的，或由实际应用题的意义决定的定义域；(2)指定定义域：命题人给出的函数的定义域.如函数y=-的定义域是 ；函数y= 的定义域x是，这两种最重要的自然定义域是求函数定义域的最根本的根据.函数y=x2，如果不加限制，它的自然定义域就是实数集R.但是有

19、时命题人可以任意指定它的定义域，如2 , 5，等等，必须引起我们高度的重视.四. 函数的图像设函数y=f(x) , x A，在直角坐标系 xOy中，点的集合(x, y)|y=f(x) , x A就叫做函数y=f(x)的图像.假设函数为S=f(t)，那么函数 的图像就在直角坐标系tOS中.函数的图像与函数的定义域密切相关 .函数的图像不一定都是连续的光滑曲线，也可以是五. 函数的值域函数的值域与函数的定义域密切相关，在研究函数的值域时必须考虑其定义域，否那么必犯致命的错误.以函数y = x2为例，有不同 一 有相应的值域，画出相应的图形，并填写下表：的定义域就一x定义域R-1 , 21 , 3-

20、2 , 2(-3, -1值域六. 函数的奇偶性设函数f(x)的定义域是I,(1)假设对于属于I的任意一个x的值，都有f(-x)二，那么函数f(x)叫做奇函数;(2)假设对于属于I的任意一个x的值，都有f(-x)=，那么函数f(x)叫做偶函数.由奇函数、偶函数的定义知，它们的定义域都 是，这是函数为奇、偶函数的条件.奇函数的图像关于 成图形；偶函数的图像关于 成图形.七. 函数的单调性对于给定区间上的函数f(x)及属于这个区间的任意两个自变量的值XI、X2,当XiV X2时，如果都有f(x 1)f(x 2),那么称函数f(x)在这个区间上是 函数；如果都有f(x 1)(X2),那么称函数f(x)

21、在这个区间上是 函数.函数的奇偶性是在函数的整个定义域上研究函数性质的，而函数的单调区间不一定是整个定义域，可能是函数定义域的某个子集.奇函数在对称的两个区间上有 的单调性，偶函数在对称的两个区间上有的单调性.假设奇函数f(x)在x=0时有意义，那么有f(0)=0 ,这样的函数的图 像过原点，但假设说“奇函数的图像过原点就错了常见函数的单调性一 次 函 数 y=kx+b的 单 调> 2二次函数 y=ax +bx+c(a 工0)的单调性： 反 比 例 函 数 八1 的 单 调x函数的单调性的判断与证明假设是根本函数，那么可以直接判断其单调性，否那么必须给出严格 的证明过程：10在指定区间上

22、任意给出两个自变量的值XI、X2，且有X1VX2； 2°比拟并确定f(x 1)与 f(X2)的大小；3°综合1°、2°得结论.研究函数的单调性还有一个“锐利武器，那就是导数法，请用此法研究上述三类函数的单调性.复合函数的单调性假设y=f(U)，U=g(x)，那么y=fg(x)称为复合函数，判断这类函数的单调性有以下规律：XUy那么y是关于X的Z/函数/Z函数ZZ此表并没有将所有情况列全，假设列全，那么共有种情况；能从中找出一般规律来吗?函数Z函数八反函数设函数y=f(x)，定义域是A，直域是C,假设由y=f(x)解得x= (y),且对于,那么函数 x二珥

23、y)就叫做函数 y=f(x)的反 函数.假设函数y=f(x)存在反函数x= (y)，习惯上将x、y的位置交换， -1 -1 那么得函数y=f(x)的反函数y=f- (x).函数y=f(x)与函数y=f- (x)互为反 函数，它们的定义域和值域分别它们的图像关于直线 成对称图形，函数与其反函数在各自的定义域上有 的单调性.九.指数函数和对数函数 函数y二ax(a 0,a=0)叫做指数函数；函数logax(a 0,-1)叫做对数函数，它们是一对最典型的互为反函数的函数指数函数、对数函数的图像及性质指数函数y = ax的对数函数y = loga x的性分图性质质类像定义域值域过疋占八、单调性定义域值

24、域过疋占八、单调性a >10 <a <1十.根底练习1.函数f(x)是偶函数，且在(0 ,+ ° )上是增函数,那么a = f (-Jb 二 f(5),c 二 f(3)的大小关系是()(A) a b c(B) a c b(C)ca b(D)b c a2.在(-°,0) 上为减函数的是()(A)y =1 -x2(B) y"1x(C) y = 3x 1(D)y =(x 1)23.函数y = x2 2(m -1)x 3在区间(-°°, -2)上是减函数，那么m的取值范围是()(A) m 一3(B) m 3(C) m 一 -3(D)m

25、 _ -34.设函数 y =2x2 -4x3， y=x2-3|x2 , y =|2x 1 | _|2x_1|，y1，x其中的奇函数是(C)(B)(A)(D)5.设函数f(x) =x5 a3,x b 8,假设 f(_2)=10,贝»f(2) =x()(A) -18( B ) -26( C) -10(D) 10F(x)=f(x)-g(x)-c ，那么x : 0时()(A) f(x)-g(x)-c(D) - f (x) g(x) - c7. 设 函()(A)是奇函数(D)可能是偶函数,F(B) f(x) g(x)-c数住)=注创x a(B) 是偶函数x)=(C) f (x) g(x) c,

26、 贝U f (x)(C) 是非奇非偶函数6.设奇函数f(x)和偶函数g(x),常数c = 0 , F (x)是奇函数，x 0时，8.函数厂心(afc)的反函数是 心 2，那么a,b,c的值依次是 CX十13x十1()(A)1, -2，-3(B)-1，2，3(C)-1，2，-3(D) 1, 2，39. 函 数1 / yX(1_x _3)X4()(A)1 , 7(B)25 8 _ 4，3 (D)【1，m10. 函数y = x2x(1 空 x< 3)的的值域是反 函 数 是8 15(6一3, 4()(A)1 1 (B) y = 4x 1(0 _ x _ 6) 2 2(C)1 1 f(D)y =

27、 _ _w'4x +1(1 兰 x 兰 3)2 21 1 y4x 1 (0 _ x _ 6)2 21 1 y=-+ j4x+1 (1 兰 x 兰 3) 2 211设奇函数f(x)在(0 , + a )上是增函数，假设f(3) =0，那么集合x|xf(x)<0是()(A)(- , -3) U (3, +)(B)(-3 , 0)U (0, 3)(C)(-3 , 0)U (3, +a)(D)(- a, -3) u (0, 3)12.设偶函数f(x)的定义域是R，假设x：0时,f(x)是增函数，贝y对于X1 ：O,X2o , 且|X1|v|x 2|(A) f(-xj f(-X2)(B)

28、f(-X1)： f(-X2)(C) - f (X1) f(-X2)(D) - f(xj ： f (-X2)R，贝U a的取值范围13假设函数y = loga2/ax2 -4x 1)的定义域是是14设函数 厂2一2，那么以下结论中：此函数是奇函数；此函数是偶函数；此函数是非奇非偶函数；此函数是增函数； 此函数的反函数是非奇非偶函数.正确的结论是.15. 函数 f(x)x2 2x(x _1)，贝y f 二(2.2)=.16. 函数f(x) =|x2 4x|的单调递减区间是 ，单调递增区间是.第三章 数列.数列的一般概念叫做数列，其中的每一个数 叫做数列的项，假设有公式an=f(n)(n N*),那

29、么公式an=f(n)叫做数列an的通项公式.给出数列的几种方式(1给出假设干项ai, a2, a3,；(2) 给出数列的通项公式；(3) 给出数列前 n项的和 Sn，那么有ai=Si;当n > 2时，an= =f(n),如果经验证知，当n=1时也适用，那么可合并为 an=f(n)(n )，否那么应用分段函数来表达.(4) 给出首项和递推公式，如ai=2，当n_2时，a 2an_i 1，求.二.两个重要数列等差数列(AP)(G P)等比数列疋义通项公式前n项和公式中项性质常用设法三. 数列通项公式与前 n项和的求法数列an的前n项和Sn既可以用求和公式来求，也可以看成是数列S的通项公式，这

30、样就将两者统一起来了.(1转化法转化为等差数列或等比数列，再求和；逐差累加法 如数列an中,假设ai=2，且an+i=an+2n，求 an及Sn；(联想到逐商法)(3) 拆项或裂项法如数列an中，假设an ，求Sn.n(n +1)n i(4) 错位加减法如an=n 2 -,求Sn.略解：Sn= 1202213 2(n-1)2n4- n 2n.贝U2Sn=1 21 2 22 川川'(n -1) 2n n 2n I所以 -Sn =在等比数列中，当q工1时，求前n项和用的就是此法.(5) 倒序法(逆向思维的表达)，等差数列中求前 n项和用的就是 此法.(6) 数列问题中的猜测、归纳、论证如数

31、列an的各项均为正，假设对于一切n N*都有Sn=l(al),2an求an.(7) 对于递推数列，求通项公式时，常用辅助数列法如数列an中，假设 ai=1，且 an+i= -an+1,2求an.四. 数列中关于贷款、定期等额还贷的重要应用题一般模型是：某人向银行贷款a元用于购房，年利率为 r ；此人每年等额还贷一次，分n次还清，年利率为q，求此人每年还贷的数额.五. 根底练习1.等差数列 a2中,6=1忌= 13,贝Ua5 =()(A)25(B)5(C)15(D)102.等差数列中,a3 a4 a5 a6 a 450 ,贝U a2 a8()(A)45(B)75(C)180(X*)，那么聾也二(

32、D)3003.设两个等差数列x,a1,a2,.,am, y ；幼少，,g, y(C)-my = ax2 2bx c(a = 0)与 X 轴()(A)-n(Dm +14.假设b是a, c的等差中项，那么抛物线的交点有(A)1 个(B)2 个(C)0 个(D)1个或2个5.等差数差为 d ,2且Sn=-n，贝y有(A)a* = 2n -1, d = -2(B)an =2n _1,d =2(C)an = -2n 1,d 二-2(D)an 一2n 1,d =2 a1 0,d ：0,那么Sn有最大值;6.对于首项为a1公差为d的等差数列，有以下结论：假设假设a1 0,d 0,那么S n有最小值；假设a1

33、 0,d 0,那么S n有最大值;假设ai :： 0, d : 0,那么S n有最大值，(A)(B)(D)7.等比数列an的各项都是正数，公比为其中正确的结论是(C)2，假设 aA-Qo = 230，贝V(A) 210(B) 220(C)211a3a6 .-a30(D)2168.a , b, c成等比数列，x, b 与 b,y, c分别成等差数列，那么旦C=x y(A)1(B)2(C)3(D)49.数列1,(1+2), (1+2+4),(1+2+4+8)，(1+2+4+ 2nJ)的前n项和为(A)2n -1(B)n 2n - n(C)2n1 - n(D)2n1 - n-210.数列的前 n 项

34、和为 Sn= 10n -1 ,那么此数列()(A)是等差数列，不是等比数列(B)是等比数列，不是等差数列(C)是等差数列，也是等比数列(D)不是等差数列，也不是等比数列11. 某厂产值的月平均增长率是p,那么年平均增长率是()(A)12p(B)(1 p)12(C)(1 P)12-1(D)(1 + p)11-112. 某人从2001年起，每年的元旦都存入银行 a元，定期1年， 年利率为p，到年底自动转存，且记复利，那么2022年底，某人的本息之和为()(A) a(1 p)10(B) a(1 p)11(C) a(1 p)1211(D)a(1 P) -a(1 p)P13等差数列中，a1 a2 丁丁

35、a5 =30, a6 a? 丁丁a10 =80，那么此数列的 前n项和为.14数列 21,41,81,16的前 n 项和为 .2481615.等比数列an的各项都是正数，假设 a1 a2 a3 二 26,a5 a6 a?二 2106，贝U a4 =.16设命题：假设等差数列的公差为正数，那么此数列的各项是递增的； 等差数列的各项都是正数，那么其公差也为正数； 等比数列的公比q，(0,1),贝U此数列的各项是递减的； 等差数列an和等比数列bn的各项都是正数，假设a,ab2,a=a2,那么当n 2时，有bn an .其中正确的命题 是.30 / 69第四章 三角函数.弧度制弧度的定义 在半径为R

36、的圆0长，贝y弧AB所对的圆心角叫做1弧度的角.在半径为R的圆0中，假设弧CD的长为1，那么弧CD所对的圆心角为弧度.弧度与角度的换算根本关系式平角180° 弧度.弧长公式 在半径为R的圆0中，假设弧CD所对的圆心角是:弧度，那么弧CD的长为扇形面积公式在半径为R的圆0中，假设弧CD所对的圆心角是a 弧度，那么弧CD与两条半径围成的严形面积与角：终边相同的一切角含角，也只有这样的角组成集合 | =这里，所有角的集合具有两个重要性质，即纯粹性和完备性 “纯粹性是指集合中所有的角含角： 都与角：的终边相同，即一个不假；“完备性是指所有与角：终边 相同的角含角：都在这个集合中，即一个不漏再

37、如，不等式x-2>0 的解集是x|x>2，可以用充要条件来解释，也可用“两性来解释，即集合x|x>2中的所有x的值都满足不等式x|x>2；所有满足不等 式x-2>0的x的值都在集合x|x>2中.这“两性在直线方程和曲 线方程的研究中有着非常重要的意义.几类特殊角的集合：第 一 象 限 的 角 的 集 合 是 =>第 二 象 限 的 角 的 集 合 是 =>第 三 象 限 的 角 的 集 合 是 =>第 四 象 限 的 角 的 集 合 是终边在x轴上的角的集合是 ；终边在 y 轴上的角 的集合是；终边在坐标轴上的角(轴线角)的集合是.三. 任

38、意角的三角函数的定义在xOy直角坐标系中，P (x,y)是角:-的终边上的任意一点，|OP|=r(r>0)，那么规定sin=，cos =，(由此可得 x=，y=).tan : =cot :csc - =由 sin ：与 cosx=rcos ：，的定义得y=rsin -r=1，就得单位圆的方2 2务占=1(a b 1)= a b得x2+y2=r2，这不是圆的标准方程吗？如果x=acos 二程.进而联想到椭圆的标准方程与其参数方程C是参数)由此引发的三角代换法是解许多题的一把重要钥匙.而且这种大跨度的联想、沟通也是创造思维的表达.对数学知识的理解、驾驭只有到达这种境界，才能实现灵活运用和融会

39、贯穿四. 单位圆中的“三线在单位圆的圆中，由任意角的三角函数的定义，可将正弦、余弦、正切转化为有向线段：sin :=MP正弦线；cos :=OM余弦线；tan : =AT正切线.将三角函数的值比值转化为有向线段，变得形象、妙而又非常有用仔细领悟单位圆中“三线的意义，然后填写下表:a03T64It3JI22兀33n45H6Jt7n65兀4如325jl37兀4"6-sin acos atan «五同角的三角函数间的关系(1)sin $ ：cos" =1 ；sin a二：sin ：cos：(3)cot： _ 空- - cos： =si n a注意公式的“三用：正用、逆用

40、、变用，如由公式 可得重要代换公式:假设 sin：亠 cos： =t，贝卩 sin ： cos ：=假设 sin.： -cos： =t，贝卩 sin ： cos：=六. 诱导公式(kZ )sincos(2k 兀 + 址=)< tan Jsircasincos 二-:tansinsinsinCOS(-G )» =tan >c(=siJ- ±a |-，tan I3 二 ±Ct |< 2 .丿tan cos上述公式可高度概括为口诀：“奇,符号，其中的“奇与“偶分别指的是k氾中的系数k ,2“变的意思是将原函数变为它的“余函数，即正弦变为余弦，余弦变为正

41、弦，余类推.要注意的是，不管ji'是什么角，都要将它看成锐角，再由k -所在的象限决定其符号 就浓缩为简单的十个字，十分便于记忆和运用这样一来，那么多公式七. 加法定理公式系统所谓“加法定理是和角公式、差角公式、倍角公式、降幕公式、升幕公式与万能公式的统称.这些公式的“鼻祖是公式“ CE,回忆一下它的推导过程是极为有意义的如图，在单位圆中，设 A (1, 0),作/ AOB=q，/ BOC= B ,/ AOD=-，那么/ AOC= ： + ： , B(cos ： , sin ： ), C(cos( ： +),sin( ： +B), D(cos0,-sin P).由厶 AOCA BOD

42、得 AC =BD yO利用单位圆在坐标系中证明数学命题的方法被称为“解析法,这是一种重要的方法，研究、学习?解析几何?用的就是这种方法，这也是数形结合思想的充分表达这里，构造全等三角形也是一种常用的方法.由公式C"推导其他公式的全过程必须熟练掌握，到达了如指掌的境界，只有这样，才能深刻理解，并形成自然牢固的记忆，才 能灵活运用.请完成下面的公式系统.解析法11= COS：£ . I '=二 sin x I-'=cosx 亠=sin 卅亠 1：,=tan 2.：s =cos 2-> =sin 2-=cos：1 +cosot =1 -cosa =设 tan

43、 t,那么 sin :-二2 ,cosa =,tan :-=上面的三组公式分别被称“升幕公式、“降幕公式、“万能公式，虽然教材中没有作为正式内容要求记忆，但因其作用重大，所以应该熟记和灵活运用其实只要掌握它们的来龙去脉， 记忆和运用是不成问题的，现以 sin，为例:a a严 冲 2sincos 2 2 sin： =2si n cos2 2 1不仅推得了公式，而且反映了a. a2sin cos2 2a2 acos2 2的代换.2 sina2ta n22 .1 tan2与“弦切互化等重要技巧和常用方法.八. 常用技能技巧(1) 连sin(* 亠亠')cos3：二>(2) 逆 向 使

44、用如sin(黒 亠 )cos ： - cos(x 亠 )sin ： =;(3) 变式使用如 tan 爲川tan ： = tan(卅亠,)(1 -tan ： tan );角的“拆、凑、配、添、变、换 如0日=2 0=(0+®)卩20=(°+0)+(00)2 ' ' '2 2 ，如何操作？要根据需要，瞄准目标.另外，岂止在这里用到“拆、凑、配、添、变、换，还有哪些地方也能用到呢？广泛联想.(5) 符号与角的范围的讨论、三角形中的角的三角函数的关系与符号及取值范围；(6) 引入辅助角的重要变换a sin x bcosx=>特别地，应该熟练掌握、运用以

45、下结果：sin x 一 cosx = (广泛联想)；(7) 恒等变换中的“弦切互化、“割弦互化、目标导向、消除 差异、另找依据等；(8) 直角三角形示意图法设sin "a(-仁af，作Rt ABC，设斜B边 AB=1 , BC=a，/ A= 口，贝U AC= Ji a2，那么A1_a2Catan; (a =二 1)，那么cos；.；二:加a2，再由：所在象限来确定正负号.由此联想到：设tan：. =t , 用同样的方法，可得 si, co1 ，那么 sina=±-F= ,山+t2Ji+t2BCOS" =±丁吕，再由。所在象限来确定正负号以上道理讲起来很麻

46、tA 1 C烦，但实际上操作起来却比拟简单，唯一要注意的就是符号的正确选取.当然如果对于熟悉的勾股数，如3, 4, 5；5，12, 13 等，问题就更为简单了 .(9) 与函数、方程、不等式、向量、解三角形、正弦定理、余弦 定理、平面几何问题、立体几何问题、解析几何问题、导数问题、 二项式定理等知识的综合运用 .(10) 两种重要题型由角或其取值范围求它的三角函数的值或取值范围；由三角函数的值或取值范围求角或角的取值范.围，常用单位圆中的“三线和扇形区域.特别是有关“范围的问题，更是数学中绕不开、躲不 过的“坎，所谓“成也范围，败也范围，有着深刻的道理.现以COS。圆中找2为例，如何求出sin

47、 ： = -2和cos，#对应的终边，再根据大、小分别找出对应的扇 形区域，最后求出交集，那么得所求范围九.角:,2,2所在象限之间的关系a的终边所在的象限的终边所在的象限2口的终边所在的位置-三k四A现以第一象限角为例，说明其中的微妙假设角的是第一象限角，那么有 a E2k兀,2也+上k Z , 那么上E k兀，+=,R e4k兀,4k兀+巧.224由于k是整数，所以有k为奇数和偶数两种情况，分别有Z，那么殳的终边所在的位置是第5 二2n二,2n：一，2nd,2nn :2424'2一象限与第三象限的前半象限而2。的终边所在的位置是第二象限象限及y轴的正半轴含原点X也可说是在x轴的上方

48、，但不能只说在第一象限和第二象限.类似于上述讨论，请对:,-的有关问题进行研究.3还要说明的是，将整数集Z拆成奇数集与偶数集的并集，即Z=2k+1 U 2k(k Z)与上面将奇数集与偶数集合并成整数集(见几类特殊角的集合)是不同方向的两种变化，必须熟练掌握同样，如果k Z,贝U Z=3k U3k+1U3k-1，也有“拆与“合两种变 化，要做到“根据需要，拆合自如.联想到分式的“通分与“裂 项、多项式的合并与拆项、多项式的乘法与因式分解、二项式定 理与等比数列前n项和公式的双向使用、 和式“a 的“收与“放 等，都是两种方向的变换，反映出较高的灵活与应变能力十一 .三角函数的值，求角(1)假设

49、sinx=a(a -1 , 1),求角 x;1 °假设 a=1 ,贝U x=; 2 。假设 a=-1 ,贝»3 假设a (-1 , 1)贝廿 x= 2k： arcsin a，或 X= 2k二二-arcsin a , k Z , 还可合并为x= k二(-1)k -arcsina.(注意符号因子的应用).(2)cosx=a(a -1 , 1),求角 x.1 °假设 a=1 ,贝U x=; 2 。假设 a=-1 ,贝»3° 假设a (-1 , 1)贝y x= 2k二 士arccosa(k e Z).(3)tanx=a(a R)，贝x= k兀 + arctana(k 亡 Z).这局部原来属于三角方程的内容，现在一般不作要求，但在“不拘泥于课本