随机过程(32)

1、2. 泊松过程的泊松过程的0-1律律本节主要研究在充分小的时间区间内发生跳的次本节主要研究在充分小的时间区间内发生跳的次数数等于或大于等于或大于2的概率趋于的概率趋于0定理定理4.2.2 对于参数为对于参数为0的泊松过程的泊松过程N(t)，它，它满足如下的性质：对任意的时间指标满足如下的性质：对任意的时间指标t0和和充分充分小的小的h0,(1) ()( )0)1( )(2) ()( )1)( )P N thN thhP N thN thh 其中其中( )h表示表示h的高阶无穷小的高阶无穷小.-(1) ()( )0)=1( )(2) ()( )1)=( )hhP N thN tehhP N th

2、N thehh例例1：假定某天文台观察到的流星流是一泊松过程，：假定某天文台观察到的流星流是一泊松过程，据以往的资料统计为每小时平均观察到据以往的资料统计为每小时平均观察到3颗流星颗流星.试求试求 (1)在上午在上午8点到点到12点期间，该天文台没有观察到流星点期间，该天文台没有观察到流星的概率；的概率；(2)下午下午(下午下午12点以后点以后)该天文台观察到第该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数一颗流星的时间的分布函数.例例2：设某电话总机在：设某电话总机在t分钟接到的电话呼叫数分钟接到的电话呼叫数N(t)是具有速率为是具有速率为的泊松过程，试求的泊松过程，试求(1)3分钟接到分钟接到5

3、次次呼叫的概率；呼叫的概率；(2)已知已知3分钟内接受到分钟内接受到5次呼叫，且次呼叫，且第第5次呼叫在第次呼叫在第3分钟分钟 内到来的概率内到来的概率.=ABiiCjjDki解： “第3分钟内第5次呼叫到来”，“第1分钟内有 次呼叫到来”， =0,1,2,3,4,“第2分钟内有 次呼叫到来”， =0,1,2,3,4,“第3分钟内有 次呼叫到来”， =1,2,3,4,5,401311302221212203131122113104041032023014005AB C DB C DB C DB C DB C DB C DBC DBC DBC DBC DB C DB C DB C DB C DB

4、 C D则53211( )120P Ae例例3.同一概率空间下的独立泊松过程的叠同一概率空间下的独立泊松过程的叠加也是泊松过程加也是泊松过程分析分析：要证明随机过程是泊松过程，只能用定义：要证明随机过程是泊松过程，只能用定义证明，零初值性和独立增量性比较容易，只需要证明，零初值性和独立增量性比较容易，只需要证明平稳增量性即可证明平稳增量性即可.0( )( )( ( )( ),( )( )nkP N tN snP L tL sk M tM snk0( ( )( ) ( )( )nkP L tL sk P M tM snk()()()()0()()()()!()!t skkn kn knnt sk

5、tststseeknkn 例例5：有红绿蓝三种颜色的汽车，分别以强度为：有红绿蓝三种颜色的汽车，分别以强度为R,G,B, 的泊松流到达某个路口，设它们相互独立的泊松流到达某个路口，设它们相互独立.把汽车合并成单个输出过程（假设汽车没有长度，没把汽车合并成单个输出过程（假设汽车没有长度，没有延时）有延时）.(1)求两辆绿色汽车到达的时间间隔的概率密度函数求两辆绿色汽车到达的时间间隔的概率密度函数.(2)求两辆汽车之间的时间间隔的概率密度函数求两辆汽车之间的时间间隔的概率密度函数.(3)求在求在t0观察到一辆红色汽车，下一辆将是红色、蓝观察到一辆红色汽车，下一辆将是红色、蓝色、非红的概率色、非红的

6、概率.(4)求在求在t0观察到一辆红色汽车，下三辆汽车是红色，观察到一辆红色汽车，下三辆汽车是红色，然后又是一辆非红色汽车将到达的概率然后又是一辆非红色汽车将到达的概率.解解(1)两辆红色汽车到达的时间间隔两辆红色汽车到达的时间间隔TG的概率密度函的概率密度函数为数为,0( )0,0GGtGTetftt(2)由于独立的泊松过程之和仍是泊松过程，且其由于独立的泊松过程之和仍是泊松过程，且其强度为强度为C=R+G+B,设设TC为两辆汽车到达的时间两辆汽车到达的时间间隔，则其概率密度函数为间隔，则其概率密度函数为,0( )0,0CCtCTetftt(3)设设TR， TG ，TB ，分别为两辆红色、绿

7、色、蓝，分别为两辆红色、绿色、蓝色汽车到达的时间间隔色汽车到达的时间间隔.有有(2)知，知， TX的概率密度的概率密度函数为函数为(TX是为红色和非红色汽车到达的时间间隔）是为红色和非红色汽车到达的时间间隔）()(),0( )0,0BGXtBGTetfttXRTT由于与相互独立，故下一辆是红色汽车的概率为0()R RX XRRXttRRXXtRRRXRGBPP TTedtedt下一辆是红色汽车)=0YTt令是从 算起的非蓝色汽车的到达时刻，则同理可得()BBYRGBPP TT下一辆是蓝色汽车)=(-GBRRGBRGBP下一辆是非红色汽车)=1(4)利用各辆汽车到达的独立性及利用各辆汽车到达的独

8、立性及(3)直接得到来到直接得到来到的是三辆红色汽车，然后是一辆非红色汽车同时的是三辆红色汽车，然后是一辆非红色汽车同时发生的概率为发生的概率为3+BGBRGBRGB（）定理定理4.2.3 如果一个计数过程如果一个计数过程 具有平具有平稳独立增量性且满足定理稳独立增量性且满足定理4.2.2中的性质中的性质(1)(2)，那么，那么这个计算过程一定是个泊松过程这个计算过程一定是个泊松过程:0cctNNt证明：我们只需要证明证明：我们只需要证明-()( )= )=!kcttP Ntkek令令( )=P( )= )ckq tNtk先考虑函数先考虑函数0( + )q t h，其中，其中h0充分小充分小.

9、0( + )= ( + )=0)= ( + )-( )=0,( )=0)ccccq t hP Nt hP Nt h NtNt0= ( + )-( )=0) ( )=0)=(1-+ ( )( )cccP Nt h NtP Nthh q t于是于是000( + )-( )( )=-( )+q t h q thq thh令上式两边令上式两边h0,得得000( )=-( ),(0)=1qtq tq其中解上边的常微分方程得解上边的常微分方程得-0( )=tq te下面考虑函数下面考虑函数qk(t+h), 其中其中k=1,2,( + )= ( + )=k)ckq t hP Nt h=2= ( + )-(

10、)=0,( )= )+ ( + )-( )=1,( )= -1)+( + )-( )= ,( )= - )cccccckcccjP Nt h NtNtkP Nt h NtNtkP Nt h Ntj Ntk j0-11-=2=( )( )+( ) ( )+( )( )kkkk jjjq t q hqt q hqt q h-1=( )(1-+ ( )+( )(+ ( )+ ( )kkq thhqthhh整理上式得整理上式得-1( + )-( )( )=-( )+( )+kkkkq t h q thq tqthh令上式两边令上式两边h0,得迭代常微分方程得迭代常微分方程-110( )+( )=( )

11、,(0)=0,( )=tkkkqtq tqtqq te其中解上边的常微分方程得解上边的常微分方程得-()( )=,=1,2,!ktktq tekk其中例子例子1对于参数为对于参数为0的泊松过程的泊松过程N=N(t)：t0,求在求在N(t)=1的条件下，泊松过程的条件下，泊松过程N的第一个达到时间间的第一个达到时间间隔隔T1服从的概率分布服从的概率分布11(,( )1)( )1)( )1)P Ts N tP Ts N tP N t()( )1,( )( )0)( )1)st stP N sN tN sseesP N ttet更一般有以下问题更一般有以下问题设设 N(t),t0 是参数为是参数为

12、的的Poisson过程过程,如果如果在在0,t)内有内有 n 个随机点到达，则个随机点到达，则 n 个到达时间个到达时间12nTTT服从怎样的概率分布服从怎样的概率分布?例例2 设设 N(t),t0 是参数为是参数为 的的Poisson过程过程,如如果在果在0,t)内有内有 n 个随机点到达，则个随机点到达，则 n 个到达时个到达时间间 的联合密度函数为的联合密度函数为12nTTT12!( ,)0nnnf u uut，其它tuuun210121212,(1,2,)0nnkkkkkkknnTTTh hhuTuhu uhknuuut对 个到达时间取充分小的使得且各小区间互不相交，则当时，有11()

13、,( )()( )( )nnkkkkkkkkkkPuTuhN tnPuTuhN tnP N tn1212( )1,()1,()1,()0)( )nnP N hN hN hN thhhP N tnnntnhhthnhhhhhtnneteehehehnn21)(21!/)(121 ( ),( )( )|( )( )( ),( )( )( )( )( )( )( )P N sk N tnP N sk N tnP N tnP N sk N tN snkP N tnP N sk P N tN snkP N tn解：0,0, ( )( ).tAnstknP N sk N tn：设在0, 内事例件 已经发生

14、 次，且对于求3例例4（几何泊松过程）（几何泊松过程）设设N=N(t),t0是参数是参数0的泊松过程，假设常数的泊松过程，假设常数-1，定义随机过程：，定义随机过程：( )exp( )ln(1)(1)geN tttNN tte其中其中t0和01.geN那么对任意的那么对任意的0st有有1getgesNEN证明证明exp( )( )ln(1)()getgesNEEN tN stsN()exp( )( )ln(1)t sEN tN se()()0()(1)!nnt snt sntseen(1)()0(1)()(1)() (1)()!1nt snt st stsenee ( ),( )( )|( )

15、( )( ),( )( )( )( )( )( )( )P N sk N tnP N sk N tnP N tnP N sk N tN snkP N tnP N sk P N tN snkP N tn解：0,0, ( )( ).tAnstknP N sk N tn：设在0, 内事例件 已经发生 次，且对于求5()() ()!()!()!1kn kst sntnn kknstseeknktenssCtt 例例6：设在时间区间：设在时间区间0,t内来到某商店的顾客内来到某商店的顾客数数N(t)是强度为是强度为的泊松过程，每个来到商店的泊松过程，每个来到商店的顾客购买某货物的概率为的顾客购买某货物的

16、概率为p p，不买东西离去，不买东西离去的概率是的概率是1-1-p p, ,且每个顾客是否购买货物是相互且每个顾客是否购买货物是相互独立的，令独立的，令Y Y( (t t) )为为0,0,t t 内购买货物的顾客数。内购买货物的顾客数。试证试证 Y Y( (t t),),t t0是强度为是强度为p的泊松过程的泊松过程.=0( ( )- ( )= )=( ( )- ( )=( )- ( )= ) ( ( )- ( )= )iP Y t Y skP Y t Y sk N t N si P N t N si=( ( )- ( )=( )- ( )= ) ( ( )- ( )= )i kP Y t Y

17、 sk N t N si P N t N si- ( - )-= ( - )=(1- )!it skki kii kt seC ppi- ( - )-=! ( - )=(1- )!( - )!it ski ki kit seppk i ki- ( - )-=( - )1 ( - )=(1- )!( - )!1kt si ki ki kp t set spki k- ( - )=0( - )1 ( - )=(1- )!1kt smmmp t set spkm- ( - )(1- )( - )( - )=!kt sp t sp t seek-( - )( - )=!kp t sp t sek例例7

18、：某中子计数器对到达计数器的粒子只是：某中子计数器对到达计数器的粒子只是每隔一个记录一次，假设粒子按照比率每隔一个记录一次，假设粒子按照比率4个每个每分钟的泊松过程到达，令分钟的泊松过程到达，令T是两个相继被记录是两个相继被记录粒子之间的时间间隔（单位：分钟）试求：粒子之间的时间间隔（单位：分钟）试求：(1)T的概率密度函数的概率密度函数.(2)P(T1)4416,01)( );2)50,0tTtetftet解题思路解题思路: 由由poisson过程是平稳的独立增量过程过程是平稳的独立增量过程.可知相继被记录的时间间隔是独立同分可知相继被记录的时间间隔是独立同分布的布的.例例8 设有两个相互独立的、强度分别为设有两个相互独立的、强度分别为 和和 的的 Poisson过程过程 和和 ，试，试证在过程证在过程 中两个相邻事件间，过程中两个相邻事件间，过程 出现出现k个事件的概率为个事件的概率为121( ),0)N t t 2( ),0)N t t 1( ),0)N t t 2( ),0)N t t 121212()() ,0,1,2kpk和和(2)kS中出现第次事件中出现第次事件例例9