数项级数的概念与性质学习教案

1、会计学1数项级数数项级数(j sh)的概念与性质的概念与性质第一页，共39页。2.2.数项级数数项级数(j (j sh)sh)的性质的性质3.3.柯西柯西(cauchy)(cauchy)收敛收敛(shulin)(shulin)准则准则1.1.数项级数数项级数(j sh)(j sh)的基本的基本概念概念第1页/共39页第二页，共39页。若有一个无穷数列若有一个无穷数列 u1 u1，u2u2，u3u3，unun，此无穷数列构成下列表达式此无穷数列构成下列表达式 u1 + u2 + u3 + u1 + u2 + u3 + + un + + un + (1) (1)称以上表达式为称以上表达式为( (常

2、数常数(chngsh)(chngsh)项项) )无穷级数，简无穷级数，简称称( (常数常数(chngsh)(chngsh)项项) )级数，记为级数，记为其中其中(qzhng)(qzhng)第第n n项项unun叫作级数的一般项或叫作级数的一般项或通项通项. .第2页/共39页第三页，共39页。第3页/共39页第四页，共39页。第4页/共39页第五页，共39页。 由上我们便得到由上我们便得到(d do)一个数列一个数列,从形式从形式(xngsh)上上=与发散与发散,进而进而(jn r)就不难得出级数的收敛与发散的概念。就不难得出级数的收敛与发散的概念。不难知道不难知道，以前我们学过数列的收敛，以

3、前我们学过数列的收敛换而言之，有限个数相加为一数换而言之，有限个数相加为一数,无穷多个数相加是无穷多个数相加是否仍为一个数呢？否仍为一个数呢？问问 题题第5页/共39页第六页，共39页。则称无穷级数 收敛.s称为此级数的和.且有1nnu若 无极限，则称无穷级数 发散.1nnu ns定义定义1 1 若级数若级数 的部分的部分(b fen)(b fen)和数和数列列 收敛，设其极收敛，设其极 限值为限值为无穷多项求和无穷多项求和(qi h)问问题转化成数列题转化成数列sn的极限的极限问题问题第6页/共39页第七页，共39页。注意(zh y)1:称为级数的余项， 为 代替s所产生的误差 .nsnr.

4、第7页/共39页第八页，共39页。注意(zh y)2: 到目前为止，已了解的级数到目前为止，已了解的级数(j sh)的基本概念，特别的基本概念，特别1nnu了解了解(lioji)了级数了级数的收敛与发散性的收敛与发散性(敛散性敛散性)是由其是由其部分和数列部分和数列 的敛散性所决定的。的敛散性所决定的。 确切地说，两者敛散性是相同的确切地说，两者敛散性是相同的 第8页/共39页第九页，共39页。第9页/共39页第十页，共39页。解:(1)若 ,则部分和1q 第10页/共39页第十一页，共39页。则级数则级数(j sh)(j sh)发散。发散。则则级数收敛级数收敛；，qasnn1lim 第11页

5、/共39页第十二页，共39页。当n为奇数或偶数时， sn为a或0，则 的极限不存在，级数发散.ns小结: 等比级数的公比 ，级数收敛级数收敛, ，级数发散级数发散.1|q1|q第12页/共39页第十三页，共39页。例例3 证明证明(zhngmng)调和级数调和级数发散发散(fsn).证证: 为估计调和级数的部分为估计调和级数的部分(b fen)和和sn，我们在区，我们在区间间1,+上引入函数上引入函数对于任一对于任一x属于属于1,+，存在，存在自然数自然数k，使得，使得，于是，于是对上式两端在区间对上式两端在区间k，k+1上取定积分上取定积分当当时时,.显然显然不存在不存在. 故原故原级数发散

6、级数发散.第13页/共39页第十四页，共39页。性质性质(xngzh)1:(收敛的必要条件收敛的必要条件)如果如果(rgu)级数级数收敛收敛，则它的一般项，则它的一般项 趋于零，即趋于零，即nu第14页/共39页第十五页，共39页。注注1: 若反之，则不一定若反之，则不一定(ydng)成立。成立。，原级数，原级数(j sh)1nnu不一定不一定(ydng)收敛。收敛。 发散发散，但但.如调和级数如调和级数即即第15页/共39页第十六页，共39页。注注2: 收敛的必要条件收敛的必要条件(b yo tio jin)常用来证明级数发散。常用来证明级数发散。，则原级数，则原级数(j sh)1nnu一定

7、一定(ydng)不收敛不收敛.即若即若第16页/共39页第十七页，共39页。性质性质2 若级数若级数 收敛于和收敛于和s s，则它的各项同乘，则它的各项同乘以一个常数以一个常数k,k,所得的级数所得的级数 也收敛也收敛, ,且其和为且其和为ks.ks.1nnu1nnku级数级数(j sh)的每一项同乘以的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不为零的常数后，其敛散性不变不变第17页/共39页第十八页，共39页。性质性质3 如果级数如果级数 , , 分别收敛于分别收敛于 , ,即即1nnu1nnvs与两个收敛两个收敛(shulin)级级数的和差仍为收敛数的和差仍为收敛(shulin)级数级数第18

8、页/共39页第十九页，共39页。注注1: 称为称为(chn wi)级数级数1nnu与与注注2: 若级数若级数(j sh)1nnu和和发散发散(fsn)。（证明）。（证明）的和与差的和与差.之中有一个收敛，另一个之中有一个收敛，另一个发散，则发散，则问：问：若两个都发散，情况又如何呢？若两个都发散，情况又如何呢？（思考）（思考） 第19页/共39页第二十页，共39页。性质性质4 在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数 的敛散性，但其和可能的敛散性，但其和可能(knng)改变改变. 只是当级数收敛只是当级数收敛时，加上有限项时，加上有限项或去掉或去掉(q di

9、o)有限项，一般会有限项，一般会改变级数的和改变级数的和.第20页/共39页第二十一页，共39页。性质性质5: 收敛级数加括号后收敛级数加括号后(不改变各项顺序不改变各项顺序)所产生所产生(chnshng) 的级数仍收敛于原来级数的和的级数仍收敛于原来级数的和.注注1: 这里所谓加括号这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情就是在不改变各项的顺序的情 况下况下,将其某项放在一起作为新的项将其某项放在一起作为新的项,而产生而产生(chnshng)的的 级数级数.当然当然(dngrn),加括号的方法是有无穷多种的加括号的方法是有无穷多种的.是发散是发散(fsn)(fsn)的的, ,是收敛的是收敛

10、的. .注注2:2: 若级数在加括号后所得的级数发散若级数在加括号后所得的级数发散, ,那么原级那么原级 数发散数发散. .但是但是, ,某级数在加括号后所得的级数收某级数在加括号后所得的级数收 敛敛, ,则原级数未必收敛则原级数未必收敛. .也就是说也就是说: :发散的级数发散的级数 加括号后可能产生收敛的级数加括号后可能产生收敛的级数. .例如例如: : 但但 第21页/共39页第二十二页，共39页。111()3nn第22页/共39页第二十三页，共39页。例例5 5 判别判别(pnbi)(pnbi)级数级数的敛散性的敛散性. .解解: : 因级数因级数(j sh) (j sh) 与级数与级

11、数(j sh) (j sh) 均收敛均收敛 由性质由性质3 3可知可知 收敛收敛. . 第23页/共39页第二十四页，共39页。第24页/共39页第二十五页，共39页。第25页/共39页第二十六页，共39页。第26页/共39页第二十七页，共39页。第27页/共39页第二十八页，共39页。所以对于任一给定所以对于任一给定(i dn)(i dn)的正数的正数，取自然数，取自然数则当则当 时，对任意时，对任意(rny)(rny)自然数自然数p,p,都有都有成立成立(chngl)(chngl)由柯西收敛定理，级数由柯西收敛定理，级数 收敛收敛第28页/共39页第二十九页，共39页。2.2.交错交错(j

12、iocu)(jiocu)级数的收敛级数的收敛判别法判别法3.3.绝对绝对(judu)(judu)收敛与条件收敛与条件收敛收敛4.4.任意项级数任意项级数(j sh)(j sh)的收的收敛判别法敛判别法1.1.正项级数的收敛判别法正项级数的收敛判别法第29页/共39页第三十页，共39页。(yxi)性质，正项级数在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性.第30页/共39页第三十一页，共39页。定义定义(dngy) (dngy) 设级数设级数为正项(zhn xin)级数. 显然显然(xinrn),(xinrn),正项级数的部分和正项级数的部分和snsn数列是单调增加的数

13、列是单调增加的， 即即第31页/共39页第三十二页，共39页。定理定理(dngl) 正项级数正项级数1nnu收敛收敛(shulin) ns有界有界.证证: “” 1nnu收收敛敛(shulin) ns收敛收敛 ns有界有界. ns有界有界,又又 ns是一个是一个单调上升单调上升数列数列limnns存存在在1nnu收敛收敛.“” 第32页/共39页第三十三页，共39页。证明:这是一个正项级数，其部分和为:nns2112112112故sn有界，所以(suy)原级数收敛.第33页/共39页第三十四页，共39页。定理定理(dngl)1(比较判别法比较判别法) 设设1nnu与与1nn是两个是两个(lin )正项级数，正项级数， 且且 那么那么(n me) （1）如果）如果 1nn收敛收敛，则则1nnu收敛收敛。（2）如果）如果 1nnu发散发散，则则1nn发散发散。 证证: 设设和和分别表示分别表示1nnu和和1nn的部分和的部分和，nsn显然由显然由(1) 1nn收敛收敛n有界有界ns有界有界1nnu也收敛也收敛.(2) 1nnu发散发散ns无界无界n无界无界1nn也发散也发散.第34页/共39页第三十五页，共39页。例例2 2 判定判定(pndng)p-(pndng)p-级数级数的敛散性.(常数常数(