高中数学专题训练(六)——圆锥曲线

1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学专题训练圆锥曲线1. 已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以a+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以b- 4a为方向向量的直线交于点P，其中R(1) 求点P的轨迹E；(2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =若存在求出k的值；若不存在，试说明理由2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为，它的两焦点分别为F1、F2，直线过F2且与直线F1F2的夹角为，且，与线段F1F2的垂直平分线的交点为P

2、，线段PF2与双曲线的交点为Q，且，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.3. 在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，. 过点M作MM1y轴于M1，过N作NN1x轴于点N1，. 记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）. （1）求曲线C的方程； （2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|； （3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明4. 已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在轴上，双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。（1） 求双曲线C的标准方程；（2） 若直线与双曲线C相交于E、

3、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。6、已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积7、证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值8、已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦点，且过点。若，求双曲线的方程。9. 已知圆：x2+y2=c2(c0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得一椭圆。求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数；设圆与x轴交点为P，过点P的直线l与圆的另一交点为Q，直线l与椭圆的两交点为M、N，且满足，

4、求直线l的倾斜角。10. 已知点（x,y）在椭圆C：（ab0）上运动求点的轨迹C方程；若把轨迹C的方程表达式记为：y=f(x)，且在内y=f(x)有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围。11. 已知过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，为弦的中点；又函数的图像的一条对称轴的方程是。（1） 求椭圆的离心率与;（2） 对于任意一点,试证:总存在角使等式: 成立.12. 已知圆k过定点A(a,0)(a0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位

5、置关系？13. 如图，已知椭圆=1(2m5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=|AB|CD|(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值. 14. 已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线的方程是过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点. （1）求双曲线C的方程； （2）若在l的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.15. 设分别是椭圆的左，右焦点。（）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的坐标。（）设过定点的直线与椭圆交于

6、不同的两点，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。16. 抛物线C的方程为，作斜率为的两条直线，分别交抛物线C于A两点（P、A、B三点互不相同），且满足 （1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程； （2）设直线AB上一点M满足证明：线段PM的中点在y轴上； （3）当时，若点P的坐标为（1，1），求PAB为钝角时，点A的纵坐标的取值范围.17. 如图，已知点F（1，0），直线为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，若 （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点M（1，0）作直线m交轨迹C于A，B两点。（）记直线FA，FB的斜率分别为k1,k2，求k1+k2的值；（）若线段AB

7、上点R满足求证： RFMF。18. 已知椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2分别为它的左、右焦点，直线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使 （1）求椭圆C的方程； （2）若PQ为过椭圆焦点F2的弦，且内切圆面积最大时实数的值. 19. 已知椭圆，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形. （1）求椭圆的方程； （2）过点Q（1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=4于点E，点Q分 所成比为，点E分所成比为，求证+为定值，并计算出该定值.20. 已知M：轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.答案：1. 解(1

8、) a+b = ( m,)， 直线AP方程为；又b - 4a =(m, - 4), 直线NP方程为；由、消去得 ，即 故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：x2 + y2 = 4；当m > 2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆：当0 < m <2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为的椭圆(2)假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x- k)2 + y2 = (4- k)2 ;椭圆E：；其右焦点为F(4 , 0 )，且由圆Q与椭圆E的方程联立得2y2- 5kx + 20k- 30 = 0, 设M(x1, y1), N(x2, y2), 则有， =25

9、k2- 4×2(20k- 30)，又 |MF| =, |NF| =, 而； +,由此可得，由、得k = 1，且此时0故存在实数k = 1满足要求2. 解 以F1F2的中点为原点，F1、F2所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为（a>0，b>0），设F2（c，0），不妨设的方程为，它与y轴交点，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为，由点Q在双曲线上可得，又，双曲线方程为.3. （1）设点T的坐标为，点M的坐标为，则M1的坐标为（0，），于是点N的坐标为，N1的坐标为，所以由由此得由即所求的方程表示的曲线C是椭圆. 3分 （2）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l

10、的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为由方程组依题意当时，设交点PQ的中点为，则又而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.7分 （3）由题意有，则有方程组 由（1）得 （5）将（2），（5）代入（3）有整理并将（4）代入得，易知因为B（1，0），S，故，所以4. 解： （1）由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：解得且的面积为1,双曲线C的标准方程为。（2）设，联立得显然否则直线与双曲线C只有一个交点。即则又以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0)即化简整理得 ，且均满足当时，直线的方程为，直线过定点（2，0），与已知矛盾！当

11、时，直线的方程为，直线过定点（，0）直线定点，定点坐标为（，0）。5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。解：设双曲线的方程为在双曲线上 得所以双曲线方程为6、已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积解：双曲线可化为设由题意可得即所以7、证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值解：设双曲线的方程为 所以渐近线方程为到的距离 到的距离*又在双曲线上 所以 即故*可化为8、已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦点，且过点。若，求双曲线的方程。解：在半圆上 在圆上 即 又可得 所以双曲线方程为9. 解：设R(x,y)是圆：x2y2=c2上任一

12、点，则S（x,y）在所求椭圆上的点，设S(u,v),有u=x,v=y即x=,y=v代入圆的方程得：故所求的椭圆方程为：椭圆的长半轴的长为c，半焦距为c,故离心率e=与c无关。设直线l的方程为：x=ctcos y=tsin (t为参数，为倾斜角) 把代入圆的方程得：（ctcos）cos2(tsin)2=c2整理得：t22ccost2=0 设的两根为t1、t2,解得：t1=0,t2=2ccos 把代入椭圆方程得：（ctcos）2+2(tsin)2=2c2 整理得：(1+sin2)t22ccostc2=0 设方程的两根为t3、t4,由韦达定理：t3t4=,t3t4=，=又故有：即cos2(1+sin

13、2)2=1整理得：又0，）sin=0=0或sin2=故得：或。综合得：=0或或。10. 解：椭圆C：的参数方程为：为参数），又设点是轨迹C上任意一点，则轨迹C的参数方程为：（为参数）消去参数得：把换成x,y，所求轨迹C的方程为： 把方程表达为函数解析式：，下证函数在上是增函数，在上是减函数。设x1x20，作差= 当0时，则有0于是得到：01故由式知：0当时，则有于是得到：1故由式知：0故得到函数在上是增函数，在上是减函数。因此在（上有最大值，当且仅当时取到最大值。要使函数在内取到最大值，则只要设椭圆半焦距为c，于是有e1即符合题意的离心率的取值范围是。11. 解:1)函数.又,故为第一象限角,

14、且. 函数图像的一条对称轴方程式是: 得又c为半点焦距， 由知椭圆C的方程可化为 （1） 又焦点F的坐标为（），AB所在的直线方程为 （2） （2）代入（1）展开整理得 （3） 设A（），B（），弦AB的中点N（），则是方程（3）的两个不等的实数根，由韦达定理得 （4） 即为所求。 2）与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数使得等式成立。设由1）中各点的坐标可得：又点在椭圆上，代入（1）式得 化为： （5） 由（2）和（4）式得 又两点在椭圆上，故1有入（5）式化简得： 由得到又是唯一确定的实数，且，故存在角，使成立，则有若，则存在角使等式成立

15、；若由与于是用代换，同样证得存在角使等式：成立.综合上述，对于任意一点，总存在角使等式：成立.12. 解：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,圆k的半径R=|AK|=|MN|=2=2a(定值)弦MN的长不随圆心k的运动而变化.(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(xx0)2+(yy0)2=x02+a2中，令x=0，得y22y0y+y02a2=0y1y2=y02a2|OA|是|OM|与|ON|的等差中项.|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.又|MN|=|y1y2|=2a|y1|+|y2|=|y1y2|y1y20，因此y02a20,即2ax0a20.0

16、x0.圆心k到抛物线准线距离d=x0+a,而圆k半径R=a.且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.13. 解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m1,c2=a2b2=1椭圆的焦点为F1(1,0),F2(1,0).故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.A(m,m+1),D(m,m+1)考虑方程组,消去y得：(m1)x2+m(x+1)2=m(m1)整理得：(2m1)x2+2mx+2mm2=0=4m24(2m1)(2mm2)=8m(m1)22m5,0恒成立，xB+xC=.又A、B、C、D都在直线y=x+1上|A

17、B|=|xBxA|=(xBxA)·,|CD|=(xDxC)|AB|CD|=|xBxA+xDxC|=|(xB+xC)(xA+xD)|又xA=m,xD=m,xA+xD=0|AB|CD|=|xB+xC|·=|·= (2m5)故f(m)=，m2,5.(2)由f(m)=，可知f(m)= 又222f(m)故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5.14. 解：（1）设双曲线C的方程为，则它的右准线方程为已知得=1，则=1，所以所求双曲线C的方程是（2）因为点R在直线m上的射影S满足所以PSQS，即PSQ是直角三角形.所以点R到直线m:x=的距离为|RS|

18、=即又所以|PQ|=|PF2|+|F2Q|=2（xPxQ1）=4XR2将代入，得又P、Q是过右焦点F2的一条弦，且P、Q均在双曲线C的右支上，R是弦PQ的中点.所以故所求a的取值范围是a1.15. 解：（）易知。， 联立，解得， （）显然可设联立 由 得 又， 又 综可知 16. （1）由抛物线C的方程得，焦点坐标为 （2）设直线PA的方程为点 的解将式代入式，得，于是 又点 的解将式代入式，得，于是 由已知得， 设点M的坐标为将式和式代入上式，得所以线段PM的中点在y轴上 （3）因为点P（1，1）在抛物线由式知将代入式得因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为故当即17. 解：（1）设点由（2）（）由题意直线m斜率存在且不为0，设直线与抛物线方程联立 得设（）设动点R18. 解：（1）据题意，设椭圆C的方程为 ，直线x=4 为椭圆C的准线， 又， M为椭圆C短轴上的顶点，F1MF2为等边三角形且，椭圆C的方程为 （2）显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ分斜率不存在时，当