数值分析--正交多项式

1、2 2 正交多项式正交多项式一、正交函数族与正交多项式一、正交函数族与正交多项式.,)()(2.1) 0d)()()(),( ,)(,)(),( 带权带权(x)正交(x)正交定义5定义5上上在在与与则称则称，且且上的权函数上的权函数为为若若baxgxfxxgxfxgfbaxbaCxgxfba . ,1 ,.,)(2.2) ), 2 , 1 , 0,( , , , 0)(),( ,),(,),(),(,10 标准正交函数族标准正交函数族 数族数族带权带权(x)的正交函(x)的正交函则称该函数系为则称该函数系为时时当当特别地特别地上上为为则称函数族则称函数族且满足且满足给定函数族给定函数族设在设在

2、 knkkinAbaxkikiAkixxxxxba ,2sin,2cos,sin,cos, 1 上的正交函数族上的正交函数族为为例如，三角函数族例如，三角函数族 xxxx. 0,)sin,(sin)cos,(cos,2)1 , 1( 其他内积其他内积 kxkxkxkx.,)()( .,)()(2.2),)( ,)(,0,)( 00交多项式交多项式次正次正上的上的为权函数的为权函数的为以为以称称多项式序列多项式序列上的正交上的正交为权函数的为权函数的为以为以，则称，则称满足正交性满足正交性若多项式序列若多项式序列上的权函数上的权函数为为次多项式次多项式的的上首项系数上首项系数是是设设nbaxxp

3、baxxpxpbaxnabaxpnnnnn 定义6定义6 , ( ), 1, ,:na bxxx只要给定上的权函数由利用逐个正交化手续立得正交多项式序列(2.3) ., 2 , 1 ,),(),()( , 0)(100 nppppxxxpxpjnjjjjnnn. )(, 0),( )3(.)(,),(),()()2(. 1)()(110项式正交项式正交的多的多与任一次数小于与任一次数小于且且时，时，当当的线性组合的线性组合均可表为均可表为的首项系数为的首项系数为性质：性质：kxpppjkxpxpxpHxQxpkkjnnnn 注意：注意：这些多项这些多项式是线性无关的式是线性无关的 , 2 ,

4、1),/(),( ),/(),( 0 )(1)( (2.4) , 1 , 0 ),()()()( 4111011 npppppppxpxpxpnxpxpxxpnnnnnnnnnnnnnnn，其中其中）有递推关系）有递推关系（ ;),()1)( .,)()(50内的单重实根内的单重实根个根都是在个根都是在的的则则序列序列上的正交多项式上的正交多项式为权函数的为权函数的为以为以）设）设（bannxpbaxxpnn 二、勒让德多项式二、勒让德多项式. . 式式Legendre多项Legendre多项 次次称为称为的正交多项式的正交多项式上带权上带权区间区间n(2.5) ), 2 , 1 , 0( ,

5、)1(dd!21)( 1)(1 , 12 nxxnxPxnnnnn .) !(2)!2(!2)1()12(22nnnnnnannn 其首项系数其首项系数(2.6) ), 2 , 1 , 0( ,)1(dd)!2(!)(12 nxxnnxPnnnn 勒让德多项式为为的的首项系数为首项系数为:勒让让德多项式性xxxxxnmxxPxPmnmnmnnnmmmnmnmd ) 1(dd) 1(dd!21d )()( ., i)( 112211次分部积分做不妨时当证：(2.7) . ,122, , 0d )()( 11 nmnnmxxPxPnm正交性正交性(1)xxxxxnmxxxxnmnnnmmmnmnn

6、nmmmnmd )1(dd)1(dd!21 )1(dd)1(dd!2111211211112112 xxxxxnmnmnmnmmmnmmd )1(dd)1(dd!21)1(112222 . 0)1(dd!2)!2()1(11211 nmnmnnmmxxnmmxxnnxxPnmnnnnd)1() !(2)!2()1(d )( . ii)(11222112 时时当当ttnnnntxdcos) !2()!2(2/2/122sin .122 3)12)(12(2)22)(2(2) !2()!2(2 nnnnnnnn(2.8) . )()1()( xPxPnnn 奇偶性奇偶性(2).n)1 , 1()(

7、 个互异的实零点个互异的实零点内部有内部有在在 xPn(3)(2.9) ), 2 , 1( ),(1)(112)(,)( , 1)( 1110 nxPnnxxPnnxPxxPxPnnn递推关系递推关系(4) ),35(21)( ),13(21)( 3322xxxPxxP 可得可得三、切比雪夫多项式三、切比雪夫多项式切比雪夫多项式.切比雪夫多项式.次次称为称为正交化所得正交多项式正交化所得正交多项式，序列，序列权函数为权函数为区间为区间为n, 111)(,1 , 12nxxxx .0),cos()(cos(2.10) ), 2 , 1 , 0, 11( ),arccoscos()( nxTxnx

8、xnxTnn，则，则若令若令可表为可表为 ,34)(, 12)arccos2cos()(,)cos(arccos)(, 1)0cos()(332210 xxxTxxxTxxxTxT :切切比比雪雪夫夫多多项项式式的的性性质质(2.11) ).()(2)( ,)( , 1)( )1(1110 xTxxTxTxxTxTnnn递推关系递推关系1).(n,2)(1 nnnxxT的的系系数数为为的的最最高高次次幂幂 . ,cos . 1 ,)1cos(coscos2)1(cos 即得递推关系式即得递推关系式代入代入事实上，只需由事实上，只需由 xnnnn(2.12) . 0 , 0 , 2/ , , 0

9、d)()(11 )2(112 nmnmnmxxTxTxnm 正交性正交性. ;)( )3(的偶次幂的偶次幂只含只含为偶数时为偶函数，且为偶数时为偶函数，且当当的奇次幂的奇次幂只含只含为奇数时为奇函数，且为奇数时为奇函数，且当当奇偶性奇偶性xnxnxTn ), 2 , 1( ,2)12(cos n1 , 1)( )4(nknkxxTkn 个不同的零点个不同的零点上有上有在在四、切比雪夫多项式零点插值四、切比雪夫多项式零点插值五、其他常用正交多项式五、其他常用正交多项式第第二二类类切切比比雪雪夫夫多多项项式式 1 1. . . 多项式多项式第二类切比雪第二类切比雪夫称为称为的正交多项式的正交多项式上带权上带权区间区间(2.14) ,1arccos)1sin()( 1)(1 , 122xxnxUxxn . , 2/, , 0d1)()( 112 nmnmxxxUxUnm ).()(2)( ,2)( , 1)( 1110 xUxxUxUxxUxUnnn拉盖尔多项式拉盖尔多项式 2.2. . 拉盖尔多项式拉盖尔多项式称为称为的正交多项式的正交多项式上带权上带权区间区间(2.15) ),(dd)( )(), 0 xnnnxnxexxexLex . ,) !(, , 0d )()( 20 nmnnmxxL