自适应天线-第二章24

1、1图图2.8用下面的方程来表述用下面的方程来表述:图图2.8 复数的复数的LMS环路环路 2.4 离散的离散的LMS阵阵*( ) ( )iidwkx ttdtLMS阵的反馈环示于下图阵的反馈环示于下图2.8:(2.325)假定假定,按按 秒的时间间隔对秒的时间间隔对式式(2.325)的信号采样的信号采样.令令 和和 代表采样时刻代表采样时刻 时的时的 和和 的值的值.t( )iw nnt( )nntn t (2.326)( )ix n( )iw t( )ix t( ) t2而且而且,用下列一阶差分来近似式用下列一阶差分来近似式(2.325)中的导数中的导数 :/idwdt(1)( )iiidw

2、w nw ndtt(2.327)用一个增益常数用一个增益常数:k t (2.328)这样就可以得到这样就可以得到:*(1)( )( ) ( )iiiw nw nk tx nn (2.329)将将 考虑进去可以得到考虑进去可以得到LMS 反馈方程的离散形式反馈方程的离散形式:t*(1)( )( ) ( )iiiw nw nx nn(2.330)上式称为上式称为LMS算法算法.式式(2.330)是其复数形式是其复数形式.它等效于下面的它等效于下面的实数形式实数形式:(1)( )( ) ( ),PiPiPiwnwnxnn(2.331),PI Q式中的采样误差信号可由采样参考信号与采样阵列输出来得式中

3、的采样误差信号可由采样参考信号与采样阵列输出来得到到:1;,( )( )( )( )( )( )NPjPjjP I Qnr ns nr nwn xn(2.332)32.4.1 稳定性稳定性离散形式的离散形式的LMS算法与前面讨论过的连续反馈的一个算法与前面讨论过的连续反馈的一个重要差别在于采样可能引起加权不稳定重要差别在于采样可能引起加权不稳定.为了找出这种为了找出这种差别差别,下面研究图下面研究图2.31所示的一维连续的所示的一维连续的LMS环环.图图2.31 一维一维LMS环环4我们可以将我们可以将 w 视为是传输函数为下式视为是传输函数为下式,输入为输入为q 时的一时的一个线形连续滤波器

4、的输出个线形连续滤波器的输出:( )kH sskp(2.338)假设加权仅响应假设加权仅响应 和和 的平均值：的平均值：2( )x t*( ) ( )x t r t2 ( ) pE x t*( ) ( )qE x t r t(2.335)(2.336)*( ) ( )( )dwkx t r ts tdt(2.333)将将 代入代入,并加以整理得到并加以整理得到: 2*( )( ) ( )dwk x twkx t r tdt(2.334)( )( )s twx t这个环用下面的微分方程来描述这个环用下面的微分方程来描述:5如图如图2.32(a)所示所示(s为复频率为复频率).这个滤波器在复实轴上

5、有一这个滤波器在复实轴上有一个单极点个单极点,如图如图2.32(b)所示所示. 图图2.32 连续连续LMS环的特征环的特征(a) 连续的线性滤波器连续的线性滤波器(b) S平面上的单极点平面上的单极点(c) 典型的加权瞬态曲线典型的加权瞬态曲线6对于给定的信号功率对于给定的信号功率 , 增加环路增益增加环路增益k使极使极点左移点左移.滤波器的典型瞬态响应为一指数滤波器的典型瞬态响应为一指数,如图如图2.32(c)所所示示.值得注意的一个重要特点是值得注意的一个重要特点是,对所有的环路增益对所有的环路增益k,该该滤波器都是稳定的滤波器都是稳定的.2 ( ) PE x t现在考虑一维离散的现在考

6、虑一维离散的LMS方程方程.加权加权 满足差分方程满足差分方程:( )w n*(1)( )( ) ( )( )w nw nx n r ns n(2.340)再次代入再次代入 的表达式并加以整理可得的表达式并加以整理可得:( )s n2*(1)( )1 ( )( ) ( )w nx nw nx n r n(2.341)现在现在,将将 和和 用其平均值代替后得到用其平均值代替后得到:2( )x t*( ) ( )x n r n(1)1 ( )w npw nq(2.342)令令 为为 的的z 变换变换:( )w n( )W z0( )( )nnW zw n z(2.343)7则对式则对式(2.342

7、)进行进行 z 变换即得变换即得:(1)( )( )zpW zQ z(2.344)式中式中 为为 q 的的 z 变换变换. 这时这时 可以视为传输函数为可以视为传输函数为:( )Q z( )w n( )(1)H zzp(2.345)的离散线性滤波器的输出的离散线性滤波器的输出,如图如图2.33(a)所示所示.这个滤波器在这个滤波器在:1zp (2.346)处有一个极点处有一个极点,如图如图2.33(b)所示所示. 对于对于 ,该极点在该极点在 处处,随着随着 的增加的增加,该极点向左移动该极点向左移动.显然显然,若若:2p01z (2.347)则该极点将移出单位圆之外则该极点将移出单位圆之外,

8、而式而式(3.342)所表示的算法所表示的算法就变得不稳定就变得不稳定.因此因此,必须限制必须限制 在下列范围之内在下列范围之内.20p (2.348)8(a) 离散线性滤波器离散线性滤波器(b) 对于对于01-p1情况的情况的w(n)(c) z平面上的极点平面上的极点 (d) 对于对于-1-p 0情况的情况的w(n)图图2.33 离散的离散的LMS算法的特征算法的特征9在在 处处, 式式(3.342)的典型瞬态响应为的典型瞬态响应为:1zp ( )(1)nw np(2.349)根据根据 的不同的不同, 这个响应有几个不同的形式这个响应有几个不同的形式:当当 时时, 响应为图响应为图2.33(

9、c)所示的递减几何级所示的递减几何级数数,它类似于如图它类似于如图2.32(c)所示的简单的递减指数函数所示的简单的递减指数函数. 当当 时时,瞬态响应为具有交替符号的几何级瞬态响应为具有交替符号的几何级数数,如图如图2.30(d)所示所示.当当 ,则此交替级数将随则此交替级数将随 的增加而增大的增加而增大.这时算这时算法不稳定法不稳定.011p 1 10p 1p 1p 当采用离散当采用离散 LMS 算法控制阵列加权时算法控制阵列加权时,仅仅使加权仅仅使加权保持稳定还不够保持稳定还不够.如图如图2.33(d)所示的具有交替符号的瞬所示的具有交替符号的瞬态响应是不好的态响应是不好的.因为与图因为

10、与图2.33(c)的情况相比的情况相比,2.33(d)情情况下加权的方差增大况下加权的方差增大.因此一般对环路增益加以更严格因此一般对环路增益加以更严格的限制的限制.如将极点限制在右半平面如将极点限制在右半平面,从而使瞬态特性具有从而使瞬态特性具有如图如图2.33(c)的结果的结果.10此式的瞬态解为下式此式的瞬态解为下式: dWk WkSdt(2.351)现研究不止一个加权时的稳态性问题现研究不止一个加权时的稳态性问题.首先假设有一个具首先假设有一个具有几个环路的连续的有几个环路的连续的LMS阵阵. 阵的加权矢量满足下式阵的加权矢量满足下式:11122( )exp()exp().S tCkt

11、CktS(2.352)式中式中 为协方差矩阵为协方差矩阵 的特征值的特征值.然而然而,因因 是正定的是正定的,即即:10i(2.353)所以所以,不管环路增益不管环路增益k为多少为多少,式式(2.352)的全部指数项都稳定的全部指数项都稳定.对于具有多个加权的离散阵对于具有多个加权的离散阵,其加权矢量满足差分方程其加权矢量满足差分方程:*(1)( ) ( )( )TW nW nX r nX W n(2.354)用用 代代 和用和用 代代 , 整理得矢量的差分方程整理得矢量的差分方程:*TX X S*X r(1)( )W nI W nS(2.355)11借助坐标旋转借助坐标旋转,使矩阵使矩阵 对

12、角线化对角线化, 再将坐标变回再将坐标变回到到 ,可以得到式可以得到式(2.355)的解的解:111( )(1)NniiiW nCS(2.356)为保证瞬态的每一个都稳定为保证瞬态的每一个都稳定,选择选择 使之对所有的使之对所有的 均满足均满足:i1 11i 若选择若选择 ,使其满足使其满足:max1 11 (2.358)(2.357)式中式中 为最大特征值为最大特征值maxmaxmaxi(2.359)则对所有则对所有 都可满足式都可满足式(2.357). 式式(2.358)等效为等效为:imax20(2.360)将将 之上限用更易计算的量代替是有意义的之上限用更易计算的量代替是有意义的.不难

13、看出不难看出:2max11( ) NNiitiitraceE x nP(2.361)W12这是因为在正交坐标旋转变换时矩阵的迹不变这是因为在正交坐标旋转变换时矩阵的迹不变.然而然而,上上式的最后一个和式正好就是阵接收的总功率。式的最后一个和式正好就是阵接收的总功率。因此因此,若选择若选择 满足满足:20tP(2.363)这样就可以保证离散阵的稳定阵这样就可以保证离散阵的稳定阵.然而然而,为了使得加权方差更可接受为了使得加权方差更可接受,通常按下列更严格的条通常按下列更严格的条件选择件选择 :10tP(2.364)上式使得与式上式使得与式(2.355)联系的所有极点均在右半个联系的所有极点均在右半个z 平平面内面内.132.4.2 举例举例现在说明一个采用离散算法计算某些加权瞬态响应例现在说明一个采用离散算法计算某些加权瞬态响应例子子.假设一二元阵具有两个各向同性阵元假设一二元阵具有两个各向同性阵元,其阵元间距为其阵元间距为半波长半波长,如图如图2.9所示：所示：图图2.9 二元二元LMS阵阵14阵元信号阵元信号分别分别由下式给出由下式给出:111222( )( )( )( )( )( )x td tn tx td tn t12( )exp