第5章-机械振动分析

1、机械振动机械振动2022-5-8第第2篇篇 机械振动机械振动 机械波机械波机械振动机械振动机械波机械波机械振动机械振动2022-5-8第第5章章 机械振动机械振动5.1 简谐运动简谐运动 5.2 简谐运动的旋转矢量表示法简谐运动的旋转矢量表示法5.3 单摆和复摆单摆和复摆5.4 振动的能量振动的能量5.5 简谐运动的合成简谐运动的合成5.6 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振内容提要内容提要机械振动机械振动2022-5-8振动振动: 任何一个物理量任何一个物理量(物体的位置、电流强度、电场物体的位置、电流强度、电场强度、磁场强度等强度、磁场强度等)在某一定值附近的反复变化在某一定值附

2、近的反复变化.机械振动机械振动: 物体在一定物体在一定位置位置( (中心中心) )附近作的周期性往复运附近作的周期性往复运动动. .简谐运动简谐运动: 是最基本、最简单的振动是最基本、最简单的振动. . 振动的分类振动的分类: :受迫振动受迫振动自由振动自由振动阻尼自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动(简谐运动简谐运动)无阻尼自由无阻尼自由谐振动谐振动机械振动机械振动2022-5-8 5.1 5.1 简谐运动简谐运动 5.1.1 简谐运动的特征及其运动方程简谐运动的特征及其运动方程弹簧振子弹簧振子理想模型理想模型kxf22ddtxxmkmfa令令

3、:mk22. 简谐运动的动力学特征简谐运动的动力学特征:1. 简谐运动的基本依据简谐运动的基本依据:由牛顿第二定律由牛顿第二定律:0dd222xtx机械振动机械振动2022-5-83. 简谐运动的动力学微分方程简谐运动的动力学微分方程0dd222xtx微分方程的解：微分方程的解：)cos(tAx振动表达式振动表达式(简谐运动位移简谐运动位移)任何一个物理量，如果它随时间的变化规律满足任何一个物理量，如果它随时间的变化规律满足简谐运动的微分方程，或遵从余弦简谐运动的微分方程，或遵从余弦(或正弦或正弦) 规律，则规律，则广义地说，这一物理量在作简谐运动广义地说，这一物理量在作简谐运动.4. 简谐运

4、动的运动学方程简谐运动的运动学方程机械振动机械振动2022-5-85. 简谐运动的速度与加速度简谐运动的速度与加速度txddv)sin(tA)2cos(mtvtaddv)cos(2tA)cos(mta机械振动机械振动2022-5-85.1.2 简谐运动方程中的三个基本物理量简谐运动方程中的三个基本物理量1. 角频率角频率 : mk2 秒内往复振动的次数秒内往复振动的次数. 单位：单位：弧度弧度/秒秒 (rads-1)完成一次完整的振动所需要的时间完成一次完整的振动所需要的时间.周期周期T:单位时间内所完成的振动次数单位时间内所完成的振动次数. .频率频率：单位：单位：赫兹赫兹(Hz) (s-1

5、)tAxcos)(cosTtA2T22T机械振动机械振动2022-5-82. 振幅振幅A: 描述物体振动强弱的物理量描述物体振动强弱的物理量( (离开平衡位离开平衡位置的最大位移，取绝对值置的最大位移，取绝对值). ). 单位：单位：m、cm、mm、nmt=0时的相位，与初始时的相位，与初始条件有关条件有关；3. 初相位、相位和相位差初相位、相位和相位差初相初相 ：描述质点在描述质点在t 时刻振动状态的物理量时刻振动状态的物理量.相位相位t+ ：相位差相位差 ：则相位差则相位差:)cos(222tAx)cos(111tAx)()(12tt12设有同频率两振子的振动方程分别为设有同频率两振子的振

6、动方程分别为:单位：单位：弧度（弧度（rad）机械振动机械振动2022-5-8同相和反相同相和反相当当 = 2k , ( k =0,1,2,),两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相. .当当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,),两振动步调相反两振动步调相反, 称称反相反相. .x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相txoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相超前和落后超前和落后若若 = 2- 10, 则称则称 x2 比比 x1 超前超前(或或 x1 比比 x2 落后落后) .超前、落后以超前、落后以- 03m)3cos(12. 0tx机械振动机械振动2022-5

7、-8x(2)s5 . 0s5 . 0)3cos(12. 0tttxm10. 0s5 . 0s5 . 0ddtttxvs5 . 0)3sin(12. 0ttm/s19. 0s50s50dd.t.ttavs502)3(cos120.tt.2m/s01.(3)3223653223s6565tt机械振动机械振动2022-5-8 5.3 5.3 单摆和复摆单摆和复摆 5.3.1 单摆单摆Ol mgT小球受力矩：小球受力矩：mglmglMsin根据转动定律根据转动定律:tJMdd22ddtJ222ddtmlmgl化简得化简得:0dd22lgttcos0lgglT2为振动角位移为振动角位移振幅为振幅为0单摆

8、的振动是单摆的振动是简谐运动简谐运动. .结论：结论：机械振动机械振动2022-5-85.3.1 复摆复摆hOCmgJ刚体受力矩：刚体受力矩：根据转动定律根据转动定律:mghmghMsintJMdd22ddtJ22ddtJmgh化简得化简得:0dd22Jmghttcos0JmghmghJT2复复摆的振动是摆的振动是简谐运动简谐运动. .结论：结论：为振动角位移为振动角位移振幅为振幅为0机械振动机械振动2022-5-8 5.4 5.4 简谐运动的能量简谐运动的能量)sin()cos()(tAvtAtx振子势能：振子势能：)(cos2121222ptkAkxE振子动能：振子动能：)(sin2121

9、2222ktAmmEv)(sin2122tkAkm2系统的系统的总能量总能量：222pk2121kAAmEEE取振子在平衡位置时的势能为零取振子在平衡位置时的势能为零, , 则：则：机械振动机械振动2022-5-8讨论：讨论：(1) 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化， 但任一时刻总机械能保持不变但任一时刻总机械能保持不变.(2) 位移最大位移最大, 势能最大势能最大, 但动能最小但动能最小, 在振动曲线的峰在振动曲线的峰 值值; 位移为位移为0, 势能为势能为0, 但动能最大但动能最大, 在振动曲线的在振动曲线的 平衡位置平衡位置. 机械振

10、动机械振动2022-5-8 5.5 5.5 简谐运动的合成简谐运动的合成5.5.1 同方向、同频率的两个简谐运动的合成同方向、同频率的两个简谐运动的合成1. 分振动分振动 : 2. 合振动合振动 :)cos()cos(2211tAtAtAAtAA sin)sinsin( cos)coscos(22112211cosAsinA) cos( sinsincoscostAtAtAx)cos(111tAx)cos(222tAx21xxx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg机械振动机械振动2022-5-8讨论讨论: (1) 若两分振动若两分振动同相同

11、相, 即即 2 1= 2k (k=0,1,2,)(2) 若两分振动若两分振动反相反相, 即即 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,)当当 A1=A2 时时, A=0.则则 A=A1+A2 , 两分振动相互两分振动相互加强加强;则则 A=|A1-A2|, 两分振动相互两分振动相互减弱减弱;当当 A1=A2 时时, A=2A1.结论：结论：)cos(212212221AAAAA合振动合振动 x 仍是简谐运动仍是简谐运动. .合振动振幅不仅与两分振动的振幅有关合振动振幅不仅与两分振动的振幅有关, 与相位差也有关与相位差也有关.机械振动机械振动2022-5-8旋转矢量法处理简谐运动的合成旋转矢量

12、法处理简谐运动的合成11 A2 A2Ax2x1x21xxxO12)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA21AAA机械振动机械振动2022-5-8两个同方向同频率简谐运动的合成演示两个同方向同频率简谐运动的合成演示机械振动机械振动2022-5-85.5.2 同方向、不同频率两个简谐运动的合成同方向、不同频率两个简谐运动的合成 拍拍1. 分振动分振动 :tAx cos111tAx222cost11 A2 At2Ax2x1x21xxxO21 2. 合振动合振动 :21xxx当当 时时, 当当 时，时，21AAA21AAA2 )(12kt ) 12

13、( )(12ktA 有最大值有最大值A有最小值有最小值t )(12结论：结论： 合振动合振动 x 不再是简谐运动不再是简谐运动. .机械振动机械振动2022-5-8tAtAxxx2121coscos当当 2 1 时时, 2 - - 1 2 + + 1 , 令令其其中中 )2cos(2)(12tAtA)2cos(cos12tt随随 t 缓变缓变随随 t 快变快变ttAxcos)(振幅相同、同方向不同频率的简谐运动的合成振幅相同、同方向不同频率的简谐运动的合成tAx11costAx22costtA)2cos()2cos(21212 2. 合振动合振动 :1. 分振动分振动 :合振动合振动 x 可看

14、作是振幅缓变的简谐运动可看作是振幅缓变的简谐运动. .结论：结论：机械振动机械振动2022-5-8xx2x1ttt3. 拍的现象拍的现象 OOO: 振动出现时强时弱的现象振动出现时强时弱的现象.机械振动机械振动2022-5-8tA2cos212)2cos(212tA)2(2cos21212tA)(222cos21212tA)(2cos212TtA211T由于振幅总是正值，余弦函数的绝对值以由于振幅总是正值，余弦函数的绝对值以为周期为周期即合振动振幅变化的周期：即合振动振幅变化的周期：拍频拍频 : 单位时间内合振动振幅强弱变化的次数单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即，即 12122)(vv/

15、v机械振动机械振动2022-5-8机械振动机械振动2022-5-8*5.5.3 相互垂直的简谐运动的合成相互垂直的简谐运动的合成1. 相互垂直的同频率简谐运动的合成相互垂直的同频率简谐运动的合成1) 分振动分振动:2) 合运动合运动:)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx讨论讨论 当当 = 2- 1=k (k为整数为整数)时时: 0221222212AyAxAyAx当当 =( 2k +1 ) /2 (k为整数为整数)时：时： 1222212AyAx021AyAx)cos(11tAx)cos(22tAy机械振动机械振动2022-5-8 = 0(第一象限第一象限) = /

16、2 = = 3 /2021AyAx1222212AyAxtAxcos1)cos(2tAy(第二象限第二象限)(第三象限第三象限)（第四象限）（第四象限）机械振动机械振动2022-5-8两个两个相互垂直的同频率简谐运动的合成相互垂直的同频率简谐运动的合成演示演示机械振动机械振动2022-5-82. 相互垂直的不同频率简谐运动的合成相互垂直的不同频率简谐运动的合成 两个互相垂直、两个互相垂直、不同频率的简谐运不同频率的简谐运动的合成时，如果动的合成时，如果它们的它们的频率之比为频率之比为整数整数时，会产生的时，会产生的稳定的封闭曲线，稳定的封闭曲线，其形状与频率比和其形状与频率比和相位差有关，这种

17、相位差有关，这种图形叫做图形叫做李萨如图李萨如图.两个两个相互垂直的不同频率简谐运动的合成相互垂直的不同频率简谐运动的合成演示演示机械振动机械振动2022-5-8 5.6 5.6 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振5.6.1 阻尼振动阻尼振动FxkFOxxvF为阻尼系数为阻尼系数由牛顿第二定律由牛顿第二定律:22ddtxmvkxmmk2,:20令 称为称为阻尼因子阻尼因子动力学方程：动力学方程：0220 xxx 微分方程的特征方程为：微分方程的特征方程为：02202rr2022022442r机械振动机械振动2022-5-81. 小阻尼情况小阻尼情况: 阻力很小阻力很小0方程解：方程解

18、：tAxt220cosetAtcose220周期周期:2202T(2) 阻尼越大，减幅越迅速阻尼越大，减幅越迅速;(1) 阻尼较小时，振动为减幅阻尼较小时，振动为减幅 振动，振幅随时间按指数振动，振幅随时间按指数 规律规律 迅速减少迅速减少;tAe结论：结论：(3) 振动周期大于自由振动周期振动周期大于自由振动周期.机械振动机械振动2022-5-82. 过阻尼情况：阻力很大过阻尼情况：阻力很大 0202rttAAx202202ee21 阻尼较大时，振阻尼较大时，振动从最大位移缓慢回动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往到平衡位置，不作往复运动复运动.结论：结论：机械振动机械振动2022-5-8

19、此时为此时为“临界阻尼临界阻尼”的情况，是质点不作往的情况，是质点不作往复运动的一个极限复运动的一个极限.3. 临界阻尼情况临界阻尼情况:0202rttAAxe )(21结论：结论：机械振动机械振动2022-5-85.6.2 受迫振动受迫振动 共振共振1.受迫振动受迫振动系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动.(1) 策动力策动力: 周期性的外力周期性的外力.(2) 振动规律振动规律:物体受力：物体受力：恢复力恢复力 +阻力阻力+策动力策动力sFrFxkFOxx由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：tFxxkxmcos0 令：令：0020;2;fmFmmk机

20、械振动机械振动2022-5-8tfxxxcos202o 在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解在阻尼较小时，其通解为对应齐次方程的通解加上一个特解，为加上一个特解，为:tAtAxtcoscose02200其中其中:第一项为第一项为暂态项暂态项，经过一段，经过一段时间以后趋向于零，时间以后趋向于零， 00,A为积分常数，为积分常数，由初始条件确定；由初始条件确定；第二项为第二项为稳定项稳定项，即即:tAxcos代入原方程求得代入原方程求得: 22222004fA22012tan机械振动机械振动2022-5-8(1) 受迫振动是阻尼振动和余弦振动的合成受迫振动是阻尼振动和余弦振动的合成;(2)

21、经一段相当的时间后，阻尼振动为零经一段相当的时间后，阻尼振动为零;(3) 其其周期为周期为策动策动力的周期力的周期，振幅、初相位不仅与初，振幅、初相位不仅与初 条件有关，而且与条件有关，而且与策动策动力力的频率和力幅有关的频率和力幅有关.结论：结论：机械振动机械振动2022-5-82. 共振：共振： 当策动力的频率接近于当策动力的频率接近于固有频率固有频率时，受迫振动的时，受迫振动的振幅达到最大值的现象振幅达到最大值的现象.共振共振频率：频率：2202共振共振振幅：振幅：22002fAPAo共振频率共振频率0大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼阻尼阻尼0 阻尼系数阻尼系数 越小，共越小，共振角频率振角频率

22、越接近于系统的越接近于系统的固有频率，同时共振振幅固有频率，同时共振振幅也越大也越大.结论：结论：机械振动机械振动2022-5-8机械振动机械振动2022-5-81940年年7月月1日，桥龄仅日，桥龄仅4个月的美国个月的美国Tocama大桥在一场不算太大桥在一场不算太强的大风中坍塌。风产生的周期性效果导致大桥共振，大桥在强的大风中坍塌。风产生的周期性效果导致大桥共振，大桥在风中坚强的摇曳了近一天，最终轰然坠下风中坚强的摇曳了近一天，最终轰然坠下 机械振动机械振动2022-5-8 第五章第五章 机械振动机械振动 小结小结5.1 简谐运动简谐运动 5.2 简谐运动的旋转矢量表示法简谐运动的旋转矢量

23、表示法 5.3 单摆和复摆单摆和复摆5.4 振动的能量振动的能量5.5 简谐运动的合成简谐运动的合成5.6 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振内容提要内容提要机械振动机械振动2022-5-8)cos(tAx1. 振动表达式振动表达式 2. 简谐运动的速度与加速度简谐运动的速度与加速度txddv)sin(tAtaddv)cos(2tA3. 简谐运动方程中的三个基本物理量简谐运动方程中的三个基本物理量振幅：振幅：2020vxA初相位：初相位：)arctan(00 xv4. 振幅和初相位的求法振幅和初相位的求法机械振动机械振动2022-5-85. 旋转矢量表示法旋转矢量表示法模模为简谐运动的为简谐运动的振幅振幅.A旋转矢量旋转矢量角速度角速度 为简谐运动的为简谐运动的角频率角频率. .与与x轴轴的夹角的夹角( t+ )为简谐运动的为简谐运动的相位相位.t=0时，与时，与x轴轴的夹角的夹角 为为初相位初相位.6. 单摆单摆glT27. 复摆复摆mghJT27. 简谐运动的能量简谐运动的能量222pk2121kAAmEEE机械振动机械振动2022-5-88. 同方向、同频率的两个