2019届高中数学_立体几何知识点总结

1、立体几何知识点总结、空间几何体的结构及其三视图与直观图1.空间几何体的结构(1)多面体几何结构特征备注体底面互相平行.侧面都是平行四边形.每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底囿不垂直棱柱的梭柱叫做斜梭柱，侧梭垂苴于底囿的棱柱叫做直棱柱.特别地，底向是止多边形的直棱柱叫做正棱柱棱锥底向是多边形.侧面都是三角形.侧向有一个公共顶点.二棱锥的所有面都是二角形，所以四个面都可以看作底.三棱锥又称为四面体.棱台上、下底面互相平行，且是相似图形.各侧棱的延长线交一点.各侧面为梯形.可用一个平行于棱锥底向的平囿去截棱锥(2)旋转体几何体结构特征备注圆

2、柱圆柱有两个大小相同的底向，这两个面互相平行，且底向是圆圆也不是圆.圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等.平行于底向的福加是与底面大小相同的圆囿，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.圆锥圆锥可以由直角二角形绕其直角边所在直线旋转得到.底向是圆囿.有无数条母线，长度相等且交于顶点.平行于底向的福加是与底面大小小向的圆囿，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形.圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕圆台上、卜底面是互相平行且/、等的圆面.有无数条母线，等长且延长线交干-点.圆台上、下底中点连线所在直线

3、二IllIrr向1vl±【：j乙i曰L->HHH1rr.rtnP/旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰梯形.球球心和截回圆心的连线垂苴于截回.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半彳5r之间满足关系式：dJR2r2.球可以由半圆成或圆囿绕直径所在直线旋转得到.空间几何体的三视图2.(1)三视图的概念光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图;光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图;光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的

4、三视图.如图.正视图.如下图:(2)三视图的画法规则排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边俯画法规则i）正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；ii）侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；iii）俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”.线条的规则i）能看见的轮廓线用实线表示；ii）不能看见的轮廓线用虚线表示.（3）常见几何体的三视图常见几何体正视图侧视图俯视图长方体矩形矩形矩形止方体止方形止方形止方形圆柱矩形矩形圆圆锥等腰三角形等腰三角形圆圆台等腰梯形等腰梯形两个同心的圆球圆圆圆3.空间几何体的直观图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观

5、图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O,且使/X,OV'=45°（或135°）,它们确定的平面表示水平面.已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.(2)用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴OxOy,再作Oz轴使/xOz=90,且/yO

6、z=90°.画直观图时，把它们画成对应的轴O'x',Oy',Oz',使/x'Oy'=45°(或135°),/x'O'z'=90°,x'O'y'所确定的平面表示水平平面.已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.画图

7、完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图注释直观图的面积与原图面积之间的关系原图形与直观图的面积比为2点，即原图面积是直观图面积的2J2倍,S12直观图面积是原图面积的二倍.224、空间几何体的表面积与体积侧向面积S侧2MS侧71rlS侧drr表面积12开rlSt<rl_22%冗rrrlrl注释多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：2.柱体、锥体、台体的体积公式几何体体积柱体锥体V柱体Sh（S为底面面积，h为高），2V圆柱<h（r为底面半径，h为局）1V锥体一Sh（S为底面面积，h为局）312.V圆锥一加h（r

8、为底面半径，h为局）3台体V台体1（SSSS）h（S'、S分别为上、下底面面积，h为高），3122V圆台一曲rrrr（L、r分别为上、下底面半径，h为局）3注释（1）柱体、锥体、台体体积公式间的关系(2)一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差;(3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等3.球的表面积和体积公式设球的半径为R它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面4Q积公式为4欣2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为二tR33注释球的切、接问题(常见结论)(1)若正方体的棱长为a,则正方体的内切球半径是a;正方体的外接球半径是2；32-a；

9、与正方体所有极相切的球的半径是-a.若长方体的长、宽、高分别为a,b,h,则长方体的外接球半径是正四面体的外接球也等于圆柱底面圆的(3)若正四面体的棱长为a,则正四面体的内切球半径是口6.J2半径是-a；与正四面体所有极相切的球的半径是a.(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高,直径.(5)球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.三、空间点、直线、平面之间的位置关系1 .平面的基本性质名称图形文字语百符号语言公理1如果一条直线上的两点在同1Al,Bl,且Aa,一个平面内，那么这条直线在Ba?l?a这个平囿内A,B,C三点不共线？有且只什-个平囿a,使公理L2J过小

10、在同一条直线上的二点，有且只有一个平囿Aa,Ba,Ca公.理2的论推论1经过一条直线和直线外的一若点A直线a,则A和点，有且只有一个平囿a确定一个平囿推论2经过两条相父直线，有且只有一个平面albP?有且只有一个平面，使a,b推论3经过两条平行直线，有且只有allb?有且只有一个平一个平囿面，使a,b公理3如果两个不重合的平向有一Pa,且个公共点，那么它们有且只后P3?anb=i,pl,一条过该点的公共直线且l是唯一的l11公理平行于同一直线的两条直线li/l.l2/l?l1/l2l214平行l2 .等角定理(1)自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补(2)符号语

11、言：如图(1)、(2)所示，在/AOB与/A'O'B'中，OA/OA,OB/OB,则AOBAOB或AOBAOB1803.空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式:(1)从有无公共点的角度分类:两条直线有且仅有一个公共点：相交直线直线加反士“十八"上平行直线两条直线无公共点：异面直线(2)从是否共面的角度分类:什右s件相父直线一小共面直线,一直线平行直线不共面直线：异面直线4 .异面直线所成的角(1)异面直线所成角的定义如图，已知两异面直线a,b,经过空间任一点Q分别彳直线a'/a,b'/b,相交直线a',b&#

12、39;所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是(0-.，2(3)两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作si±b.5 .直线与平面、平面与平面位置关系的分类(1)直线和平面位置关系的分类按公共点个数分类：直线和平面相交一有且只有一个公共点直线和平面平行一没有公共点直线在平面内一有无数个公共点按是否平行分类：直线与平面平行直线与平面不平行直线与平面相交直线在平面内按直线是否在平面内分类:直线在平面内直线不在平

13、面内(直线在平面外)直线和平面相交直线和平面平行(2)平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:(1)两个平面平行没有公共点；(2)两个平面相交一一有一条公共直线注释(1)唯一性定理过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(2)异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.四、直线、平面平行的判定及其性质1 .直线与平面平行的判定定理平囿外的一条直线与此平囿内的一条直线平行，则该直线与此平囿平行简记为：线线平

14、行？线面平行文字语百图形语百a符号语后a?a,b?”，且a/b?a/a作用证明直线与平面平行2.直线与平卸平行的性质定理一条直线与一个平囿平行，则过这条直线的平囿与此平囿的交线与该直文字语百线平行.简记为：线面平行？线线平行图形语百O符号语后a/,a,Iba/b作用作为证明线线平行的依据.作为画一条直线与已知直线平行的依据.3.平面与平面平行的判定定理文字语百一个平囿内的两条相父直线与另一个平囿平行，则这两个平囿平行简记为：线面平行？面面平行注释1.平行问题的转化关系2 .常用结论(1)如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条

15、直线，那么另一个平面也垂直于这条直线.(3)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(5)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.(6)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行.(7)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.(8)如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行.五、直线、平面垂直的判定及其性质1 .直线与平面垂直的定义如果直线l与平面”内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面a互相垂直记作：I，a.图形表示如下：注释定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有

16、直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语.2 .直线与平面垂直的判定定理文字语百一条直线与一个平囿内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平囿垂直简记为：线线垂直?线面垂直图形语百A符号语后l±a,l±b,a?a,b?a,aIbP?l±a作用判断直线与半囿垂直注释在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线.3 .直线与平面垂直的性质定理垂直于向一个平面白两条直线平行.简记为：线面垂直?线线平行文字语百图形语百符号语后a?a/bb作用证明两直线平行；构造平行线.4.平面与平面垂直的定义两个平面相交，如

17、果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面平面3垂直，记作!.图形表示如下:5.平面与平面垂直的判定定理一个平囿过另一个平囿的垂线，则这两个平囿垂直简记为：线卸垂直？囿回垂直文字语百图形语百Zi7符号语后l-La,l?a_L0作用判断两平囿垂直6.平囿与平囿垂直的性质定理两个平囿垂直，则一个平囿内垂直于交线的直线与另一个平囿垂直文字语百简记为：囿回垂直？线线平行图形语百符号语后±1=11a，aal作用证明直线与半囿垂直7 .直线与平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的

18、一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐.用，叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于900；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它彳门所成的角等于00.因此，直线与平面所成的角a的范围是0,一.28 .二面角(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.(2)二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的