2017年上海黄浦区高考数学一模试卷解析版

1、2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷、填空题(本大题共有12题，才f分54分.其中第16题每题满分54分，第712题每题满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.若集合A=x|x-1|<2,xR,则AAZ=2.抛物线y2=2x的准线方程是4.已知sin(3.若复数z满足(i为虚数单位)，则z=5.以点(2,-1)为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是.6.若二项式1)”的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是.7 .已知向量v)(x,yCR),b=(l?2),若x2+y2=1,则a-b|的最大值为.8 .已知函数y=f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=

2、log2(x+1).若函数y=g(x)是y=f(x)的反函数，则g(-3)=.9 .在数列an中，若对一切nCN*者B有an=-3an+1,且亶卫亘下回唱，则a1的值为一.10 .甲、乙两人从6门课程中各选修3门.则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有一.2211 .已知点O,A,B,F分别为椭圆c；、+yiS>b>0)的中心、左顶点、hb上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P,若屈1五词，则实数人的值为f(K)=3KX.-22翼12.已知为常数)，,且当xi,x21,4时，总有f(Xi)<g(x2),则实数a的取值范围是二、选择题（本大

3、题共有4题，才f分20分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13 .若xCR,则'1”是朋寸的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14 .关于直线l,m及平面%B,下列命题中正确的是（）A.若l/a,aPB=m则l/mB.若l/a,m/a,则l/mC.若l，a,mila,则l，mD.若l/%m1l,则m±a15 .在直角坐标平面内，点A,B的坐标分别为（-1,0）,（1,0）,则满足tan/PAB?ta吆PBA=m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（）2A.i（#

4、o）B.mCD.m皿16 .若函数y=f（x）在区间I上是增函数，且函数厂-在区间I上是减函数,则称函数f（x）是区间I上的“H函数”.对于命题：函数恒三匹是（0,1）上的“H函数”；函数式6=L/是（0,1）上的“晒数”.下列判断正确的是（）A.和均为真命题B.为真命题，为假命题C.为假命题，为真命题D.和均为假命题三、解答题（本大题共有5题，才f分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17 .在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA1底面ABC且JTPB与底面ABC所成的角为（1）求三棱锥P-ABC的体积;(2)若M是BC的中点，求异面直线

5、PM与AB所成角的大小(结果用反三角函数值表示).18 .已知双曲线C以Fi(-2,0)、F2(2,0)为焦点，且过点P(7,12).(1)求双曲线C与其渐近线的方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A,B两点，且瓜1旗|(O为坐标原点).求直线l的方程.19 .现有半径为R、圆心角(/AOB)为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF如图所示.其中E,F分别在OA,OB上，C,D在何|上，且OE=OFEC=FD/ECDWCDF=90.记/COD=2,五边形OECDF勺面积为S.(1)试求S关于8的函数关系式；20 .已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在

6、定义域内存在实数t,使得f(t+2)=f(t)+f(2).(1)判断f(x)=3x+2是否属于集合M,并说明理由；(2)若=1目一金属于集合M,求实数a的取值范围；(3)若f(x)=2x+bx2,求证：对任意实数b,都有f(x)M.21 .已知数列an,bn满足bn=an+Lan(n=1,2,3,).(1)若bn=10-n,求ai6-a5的值；(2)若除二(2%产-叼且a1=1,则数列a2n+1中第几项最小？请说明理由；(3)若Cn=an+2an+1(n=1,2,3,)，求证：数列an为等差数列”的充分必要条件是数列Cn为等差数列且bnWbn+1(n=1,2,3,.2017年上海市黄浦区高考数

7、学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，才f分54分.其中第16题每题满分54分，第712题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1 .若集合A=x|x-1|<2,xR,则AAZ=0,1,2.【考点】交集及其运算.【分析】化简集合A,根据交集的定义写出AnZ即可.【解答】解：集合A=x|x-1|<2,xR=x|-2<x-1<2,xR=x|-1<x<3,xR,则AnZ=0,1,2.故答案为0,1,2.2 .抛物线y2=2x的准线方程是一二q【考点】抛物线的简单性质.【分析】先根据抛物线方程求得p,进而根据抛物线的性质，求

8、得答案.【解答】解：抛物线y2=2x,p=1,准线方程是x=故答案为：-3.若复数z满足工_而（i为虚数单位），则z=1+2i.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.解：由得z=1+2i.故答案为：1+2i.4.已知sin(/(-,0),贝Utana=-2【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系.【分析】由aC7U2,0)sin(,利用诱导公式可求得cos%从而可求得sinaWtand=cos%sin故答案为：-2n.5 .以点(2,-1)为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是(x-2)2+(y+1)2=18.【考点】圆的切线方程.

9、【分析】由点到直线的距离求出半径，从而得到圆的方程.【解答】解：将直线x+y=7化为x+y-7=0,|9-1*7II圆的半径r=-3H,所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=18.故答案为(x-2)2+(y+1)2=18.6 .若二项式J?)”的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是10.【考点】二项式定理的应用.【分析】根据题意求得n=5,再在二项展开式的通项公式中，令x的幕指数等于第6页(共21页)4,求得r的值，可得展开式中含x4的项的系数.【解答】解：二二项式(/一士了的展开式共有6项，故n=5,则此展开式的通项公式为Tr+i=!?(-1)r?x103r,令10-3r=4,

10、.r=2,中含x4的项的系数园二10,故答案为：10.7 .已知向量层(处v)|(x,yCR),2)|,若x2+y2=1,则直至J的最大值为乐+1.【考点】向量的模.【分析】利用|%-1人|而|+r即可得出.【解答】解：设O(0,0),P(1,2).|广I|=1)。巾2)2<11QF|+r=/+22|+1=7+1.Ir-b|的最大值为M目+1.故答案为：日5+1.8 .已知函数y=f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=log2(x+1).若函数y=g(x)是y=f(x)的反函数，则g(-3)=-7.【考点】反函数.【分析】根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，即可

11、求解.【解答】解：二.反函数与原函数具有相同的奇偶性.g(-3)=-g(3),反函数的定义域是原函数的值域，log2(x+1)=3,解得：x=7,即g(3)=7,故得g(-3)=-7.故答案为:7.9.在数列an中，若对一切nCN*者B有an=-3an+i,且JI2（%+3+”+-*+白澳+工,则ai的值为-12.【考点】数列的极限.【分析】由题意可得数列an为公比为-冏的等比数列，运用数列极限的运算，解方程即可得到所求.【解答】解：在数歹Ian中，若对一切nN*者B有an=3an+i,可得数列an为公比为-昌的等比数列，国卫区三用!，可得ai=-12.故答案为：-12.10 .甲、乙两人从6

12、门课程中各选修3门.则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有200.【考点】排列、组合及简单计数问题.【分析】根据题意，甲、乙所选的课程中至多有1门相同，具包含两种情况：甲乙所选的课程全不相同，甲乙所选的课程有1门相同；分别计算每种情况下的选法数目，相加可得答案.【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：甲乙所选的课程全不相同，有C63XC33=20种情况，甲乙所选的课程有1门相同，有。以052*02=180种情况，则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有180+20=200种情况；故答案为：200.2211 .已知点O,A,B,F分别为椭圆*三+*l(d>b>o)的中心、左顶

13、点、a2b2上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P,若AB二kOF,则实数入的值为破【考点】直线与椭圆的位置关系.【分析】由题意画出图形，求出咫、而的坐标，代入述:=%及，结合隐含条件求得实数人的值.【解答】解：如图,A(a,0),B(0,b),F(c,0),则P(c,即b=c,a2=b2+c2=2b2,十五.则人寸地.且当xi,X21,4时，总故答案为：遏.,<asx.12 .已知f&)二_弓G为常数)，乙£1.有f(X1)<g(X2),则实数a的取值范围是'拉一争【考点】函数包成立问题.【分析】依题息可知，当Xi,X2C

14、1,4时，f(Xl)max&g(X2)min,利用对勾函数的单调性质可求g(X2)min=g(1)=3；再对f(x)=2aX2+2x中的二次项系数a分a=0、a>0、a<0三类讨论，利用函数的单调性质可求得f(x)在区间1,4上的最大值，解f(x)max<3即可求得实数a的取值范围.【解答】解：依题意知，当xi,x21,4时，f(xi)max<g(x2)min,由对勾'函数单调性知，2k2+1=2xH=2(x+2|)在区间1,4上单调递增,二g(x2)min=g(1)=3；=2a*+2x,当a=0时，f(x)=2x在区间1,4上单调递增，f(x)max=

15、f(4)=803不成立，故aw0；.f(x)=2ax2+2x为二次函数，其对称轴方程为：x=-4，-a当a>0时，f(x)在区间1,4上单调递增，f(x)max=f(4)=8<3不成立，故a>0不成立;当a<0时,1°若-囿&1,即aw-囱时，f(x)在区间1,4上单调递减,f(x)max=f(1)=2a+2&3恒成立,即a0-1时满足题意;2。若1<-*<4,即-*|<a<-自时，f(x)max=f(-圭)=-身03,解得:和二称3°若一*X即-那a<0时，f(x)在区间1,4上单调递增，f(x)max

16、=f(4)=32a+8<3,解得aW-陶？(-j|j,0),故不成立,综合1。2。3。知，实数a的取值范围是：.故答案为：(，力二、选择题（本大题共有4题，才f分20分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13 .若xCR,则'1"是4<1卜勺（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【解答】解：由x>1,一定能得到得到用<1,但当冏<1时，不能推出x>

17、1（如x=-1时）,故x>1是生1的充分不必要条件，故选：A.14 .关于直线l,m及平面%B,下列命题中正确的是（）A,若l/%MB=m则l/mB.若l/a,m/a,则l/mC.若l,a,mila,则lmD.若l/%m1l,则m±a【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】在A中，l与m平行或异面；在B中，l与m相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质定理得l，m；在D中，m与a相交、平行或m?a.【解答】解：由直线l,m及平面&机知：在A中，若l/a,aCB=m则l与m平行或异面，故A错误；在B中，若l/a,m/a,则l与m相

18、交、平行或异面，故B错误；在C中，若l，a,m/a,则由线面垂直的性质定理得l，m,故C正确；在D中，若l/a,m±l,则m与a相交、平行或m?a,故D错误.故选：C.15 .在直角坐标平面内，点A,B的坐标分别为（-1,0）,（1,0）,则满足tan/PAB?ta叱PBA=m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（）【分析】【解答】化简可得设P（x,y）,则由题意，（mw0）,化简可得结论.x+11一1解：设P（x,y）,则由题意，r）二（mw0）,2J+J1容KQ），故选C.rt.,.z，一、一r一一、一I一、一f（K），一、一r116 .若函数y=f（x）在区间I上是增函数，且函数

19、尸：一在区间I上是减函数,则称函数f（x）是区间I上的“H函数”.对于命题：函数叵三匹区是（0,1）上的“H函数”；函数二不下是（0,1）上的“晒数”.下列判断正确的是（）A.和均为真命题B.为真命题，为假命题C.为假命题，为真命题D.和均为假命题【考点】命题的真假判断与应用.【分析】对函数再尸碎日，G（x）=一"，五号二在（0,1）上的单调性进行判断，得命题是真命题.对函数式上告,H(x)#1,，一一一在（。，1）上单调性进行判断，得命题是假命题.【解答】解：对于命题：令t=RN函数F，=什2«=-t2+2t,t=I引在（0,1）上是增函数，函数y=-t2+2t在（0,1

20、）上是增函数，在（0,1）上是增函数；G(x)=T在（0,1）上是减函数,对于命题，函数函数FG）=-k+砧是（0,1）上的“H函数:故命题是真命题.h（）是（0,1）上的增函数，H（x）=J是（0,1）上的增函数，故命题是假命题;故选：B.三、解答题（本大题共有5题，才f分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PAa底面ABC且，、一叩PB与底面ABC所成的角为.（1）求三棱锥P-ABC的体积；（2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.【考点】棱柱、棱锥、棱台

21、的体积；异面直线及其所成的角.【分析】（1）在RtAPAB中计算PA,再代入棱锥的体积公式计算；（2）取棱AC的中点N,连接MN,NP,分别求出PMN的三边长，利用余弦定理计算cos/PMN即可.【解答】解：（1）;PAL平面ABC/PBA为PB与平面ABC所成的角，即/PB加；，PAL平面ABCPAIAB,又AB=6,.晅西，;净*4年毗咽号高/,2行1夫(2)取棱AC的中点N,连接MN,NP,-.M,N分别是棱BC,AC的中点，.MN/BA,；/PMN为异面直线PM与AB所成的角.PAL平面ABC所以PALAM,PALAN,又1口工二一:ANC=3,BM=i-BC=3,;AM=yA&

22、;2-叼+3Z1，巨=#&24AM三屈I，所以cdsZPMN=P2+MNa-PK23V392MpN26故异面直线PM与AB所成的角为W392618.已知双曲线C以Fi(-2,0)、F2(2,0)为焦点，且过点P(7,12).(1)求双曲线C与其渐近线的方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A,B两点，且饭1画(O为坐标原点).求直线l的方程.【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的标准方程.【分析】(1)设出双曲线C方程，利用已知条件求出c,a,解得b,即可求出双曲线方程与渐近线的方程；(2)设直线l的方程为y=x+t,将其代入方程二1,通过>0,求出t的范围，设A(xi

23、,y1)，B(X2,y2),利用韦达定理，通过X1X2+y1y2=0,求解t即可得到直线方程.22【解答】解：(1)设双曲线C的方程为-91缶>0,b>0),半焦距为c,”b?贝1c=2,二|FFJ-PF/I二J12?一+排I=2，a=1,所以b2=c2-a2=3,I1故双曲线C的方程为/-2_：.3双曲线C的渐近线方程为|y=±v5H.2(2)设直线l的方程为y=x+t,将其代入方程3可得2x2-2tx-t2-3=0(*)=4t2+8(t2+3)=12t2+24>0,若设A(xi,yi),B(X2,y2),2则x1,x2是方程(*)的两个根，所以冥+,广1,町工广

24、-t,又由0A_L_5iL可知x1x2+y1y2=0,即x1x2+(x1+t)(x2+t)=0,可得2盯产Hz)+t故-(t2+3)+t2+t2=0,解得底±71、所以直线l方程为叵主近.19.现有半径为R、圆心角(/AOB)为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF如图所示.其中E,F分别在OA,OB上，C,D在国上，且OE=OFEC=FD/ECDWCDF=90.记/COD=2,五边形OECDF勺面积为S.(1)试求S关于8的函数关系式；(2)求S的最大值.【考点】函数模型的选择与应用.【分析】(1)设M是CD中点，连OM,推出/COM=/DOM=/cO!>

25、;9,MD=RsinO,利用CE8DFO,转化求解/DFO,在DFO中，利用正弦定理DFDOsinZDOF"sinZOFO,求解S=Scod+Sodf+Soce=Scod+2SOdf的解析式即可.(2)利用S的解析式，通过三角函数的最值求解即可.【解答】解：(1)设M是CD中点，连OM,由OC=OD可知OMLCD,/COM=/DOM=,yZC0D=9,MD=Rsin9,又OE=OFEC=FDOC=OD可彳#CE8DFO,故/EOCNDOF,可知/A0M=/B0疥2/AOEd又DF,CD,OMXCD,所以MO/DF,故/DFO在DFO中，有DFDO，一-=7TTZ-sinZDOFsin

26、ZDFD'可得TTRsin一°)DF二-：二R(cos0-sin9)所以S=&cod+Sodf+SOce=Scod+2SOdFTcos口Rmin白.=R%in28R'in"gKH<寸)(2).一二：匚:一-I-二二一二Z上,c71当2白+0二百时，sin(29+(1)取最大值1.T-2E(。3),所以s的最大值为:警LrL又20 .已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域内存在实数t,使得f(t+2)=f(t)+f(2).(1)判断f(x)=3x+2是否属于集合M,并说明理由；(2)若也工)二1目-十一属于集合M,求实数a的取值范

27、围；(3)若f(x)=2一二1且磺有实解,即(a-6)x2+4ax+6(a-2)=0有实解，(工+2)+2工+2七若a=6时，若aw6时，利用判断式求解即可.(3)当f(x)=2x+bx2时，方程f(x+2)=f(x)+f(2)?3X2x+4bx-4=0,令g=3x2x+4bx-4,则g(x)在R上的图象是连续的，当b>0时，当b<0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b,都有f(x)CM.【解答】解：(1)当f(x)=3x+2时,方程f(t+2)=f(t)+f(2)?3t+8=3t+10此方程无解，所以不存在实数t,使得f(t+2)=f(t)+f(2),故f(x)=3x+2不属

28、于集合M.a(2)由f(K)二18一577属于集合M,可得方程ig，号有实解？a(x+2)2+2=6(x2+2)有实解？(a-6)x2+4ax+6(a-2)=0有实解，若a=6时，上述方程有实解；若aw6时，有=16a2-24(a-6)(a-2)>0,解得P2一口34应12+6才丸故所求a的取值范围是口2-5'在12和万.(3)当f(x)=2x+bx2时，方程f(x+2)=f(x)+f(2)?2x+2+b(x+2)2=2x+bx2+4+4b+bx2,求证：对任意实数b,都有f(x)CM.【考点】抽象函数及其应用.【分析】(1)利用f(x)=3x+2,通过f(t+2)=f(t)+f

29、(2)推出方程无解，说明f(x)=3x+2不属于集合M.(2)由=属于集合M,推出K+2?3x2x+4bx-4=0,令g(x)=3X2x+4bx-4,则g(x)在R上的图象是连续的，当b>0时，g(0)=-K0,g(1)=2+4b>0,故g(x)在(0,1)内至少有一个零点；当b<0时，g(0)=-K0,稣XX故g(x)在吊，。)内至少有一个零点；故对任意的实数b,g(x)在R上都有零点，即方程f(x+2)=f(x)+f(2)总有解，所以对任意实数b,都有f(x)CM.21 .已知数歹!Jan,bn#两足bn=an+ian(n=1,2,3,).(1)若bn=10-n,求a16

30、-a5的值；(2)若h二丁产-戎)|且a1=1,则数列a2n+1中第几项最小？请说明理由；(3)若Cn=an+2an+1(n=1,2,3,)，求证：数列an为等差数列”的充分必要条件是数列Cn为等差数列且bnWbn+1(n=1,2,3,.【考点】数列与函数的综合；数列的应用；数列递推式.【分析】(1)判断bn是等差数列.然后化简a16-a5=(a6-a5)+(a5-a14)+(a4-a3)+(a6-a5)利用等差数列的性质求和即可.(2)利用a2n+3-a2n+1=22n+1-2312n,判断a2n+3<a2n+1,求出n<7.5,a2n+3>a2n+1求出n>7.5,带带数列a2n+1中a17最小，即第8项最小.法二：化简bn=l-1)”(2"+2"-刃=(一十2羽(一，求出a2n+1=a1+b1+b2+b3+b2n=看I一那十(2'""十2刘“)，利用基本不等式求出最小值得到数列a2n+1中的第8项最小.(3)若数歹气an为等差数列，设其公差为d,说明数列Cn为等差数列.由bn=an+