CH3_4深圳大学激光器原理与技术

1、 4.3 4.3典型激光器速率方程典型激光器速率方程激光器速率方程组和参与产生激光过程的能级结构和工作粒子(原子、分子等)在这些能级间的跃迁特性有关。不同激光工作物质的能级结构和跃迁特性可能很不相同，而且很复杂。但是，我们还是可以从中归纳出一些共同的、主要的物理过程，从而针对一些简化的、具有代表性的模型列出速率方程组，这就是所谓三能级系统和四能级系统。上述关系建立在能级无限窄，因而自发辐射是单色的假设基础上。实际上，自发辐射并不是单色的，因此在建立速率方程之前，必须对上述关系式进行必要的修正。 hnchBA 332121822121nAdtdnsp 212111212BWnWdtdnst 22

2、121nWdtdnst 221112fBfB 激光器腔内光子数和工作物质各有关能级上的原子数随时间变化的微分方程组，称为激光器速率方程组。激光器速率方程理论的出发点是原子的自发辐射、受激辐射和受激吸收几率的基本关系式。第一章，唯象方法得到的关系式：一、自发辐射、受激辐射和受激吸收几率所以，线型函数g(,0)也可理解为跃迁几率按频率的分布函数。P)(P),(g 0),(gAhn0212 ),(gA)(A02121 表示在总自发跃迁几率A21中，分配在频率处单位频带内的自发跃迁几率。其中),(gP)(P0 )(Ahn 212 21221221And )(An)dtdn(sp 22121nA)dtd

3、n(sp 以前，表示n2个原子中单位时间内发生自发跃迁的原子总数现根据 进行修正;),(gA)(A02121 谱线加宽对单位时间内发生自发跃迁的原子总数没有影响。再根据B21与A21的关系式：),()(8802133213321 gAhcAhcB 或)(8),()(213302121 AhcgBB 因此,在辐射场的作用下的总受激跃迁几率，分配在频率处单位频带内的受激跃迁几率: ),(gB)(B)(W0212121 ),(gB)(B),(gAhc)(Ahc)(BAhcB0212102133213321213321888 积分与辐射场的带宽有关，以下对两种极限情况进行讨论。单位时间内，由高能级E2

4、受激辐射到低能级E1的粒子数： d),(gBnd)(Wn)dtdn(st021221221 1.原子和连续谱光辐射场的相互作用辐射场分布在的频带范围内，为单色能量密度。积分式的被积函数只在原子中心频率0附近的很小频率范围()内才有非零值。在此频率范围内可近似认为为常数。于是有：原子和连续谱场相互作用(4.4.6)(4.4.7)g(,0)0212021221 Bnd),(gBn)dtdn(st 0是连续谱辐射场在原子中心频率0处的单色能量密度。可见，这和具有连续谱黑体辐射场一致。012112 Bn)dtdn(st 同理，有：0012122121 BWBW 或：此时积分式的被积函数只在中心频率附近

5、的一个极窄范围内才有非零值。在此频率范围内，g(,0)可以近似看成不变。为求此积分，可将单色能量密度表示为函数形式:=(-)2.原子和准单色光辐射场相互作用辐射场的中心频率为，带宽为，并满足条件0，由于激光的高度单色性，所以激光器内的光波场和原子相互作用都属于这种情况。原子和准单色场相互作用根据函数的性质有：因此，表示频率为的准单色光辐射场的总能量密度，其量纲为Jm-3得：同理受激跃迁修正： dd)( ),()(),()(0212021221gBndgBndtdnst ),()(012112gBndtdnst 在频率为的单色辐射场的作用下，受激跃迁几率：物理意义：由于谱线加宽，和原子相互作用的

6、单色光的频率并不一定要精确等于原子发光的中心频率0才能产生受激跃迁，而是在=0附近一个频率范围内都能产生受激跃迁。只是当=0时，跃迁几率最大；当偏离0时，跃迁几率急剧下降。 ),(),(0121202121gBWgBW W12，W21可表示为与Nl有关的形式： llN),(gnAffWN),(gnAW021121202121 32221112332121012120212188cnhNfBfBhnchBA),(gBW),(gBWl 激光器内与第 l 模内的光子数密度Nl的关系： hNl 腔内单位体积中频率处于附近的单位频率间隔内的光波模式数:328cn 将分子分母同乘以光腔体积V，并令nl=N

7、lV，则得A21g(,0)是分配到频率为处单位频带内的自发辐射几率，所以A21g(,0) /nV表示分配在光腔内频率为的一个模式上的自发辐射跃迁几率，用al表示。而W21/nl是一个模式内的一个光子引起的受激跃迁几率，因此根据关系式一个模式内的一个光子引起的受激跃迁几率等于分配到同一模式上的自发跃迁几率。lllnVngAVNVngANngAW ),(),(),(02102102121 VngAanWll ),(02121 llN),(gnAffWN),(gnAW021121202121 nl为光腔内第l 模的总光子数 llllNNgnAffWNNgnAW ),(),(),(),(0120211

8、21202102121式中v为工作物质中的光速；21(,0)和12(,0)分别称为发射截面和吸收截面，它们有面积的量纲，可表示为),(8),(),(8),(02022112012020221021 gAffgA 腔内单位体积中频率处于附近的单位频率间隔内的光波模式数:328cn 中心频率处的发射截面与吸收截面最大。当=0时，均匀加宽工作物质(具有洛仑兹线型)的发射截面:非均匀加宽工作物质(具有高斯线型)的发射截面:HA 202212214DA 20232122142ln对于一般固体激光工作物质来说，谱线线型函数的具体形式很难从理论上求得。可以根据上式对W21作出近似估算。设谱线的总自发辐射跃迁

9、几率为A21，谱线宽度为，并假设A21均匀分配在所包含的所有模式上，则分配在一个模式上的自发辐射跃迁几率: VnAVcAal2132218llNnAVnnAW 212121 nNAffVnnAffWffWll21122112211212 llllnaffWnaW121221受激辐射和受激吸收概率改写：二、单模振荡速率方程组激光振荡可以在满足振荡条件的各种不同模式上产生，每一个振荡模式是具有一定频率(模式谐振频率)和一定腔内损耗的准单色光(具有极窄的模式频带宽度)。腔内损耗可由光腔的光子寿命R描述。首先讨论激光器内只有第 l 个模式振荡时的单模速率方程组。?212121 WnWn21221121

10、212121WnWWnWnWn 221112fBfB ),(),(0121202121gBWgBW 122112ffBB 21122112BBWW llNNgnAW ),(),(02102121 21212121221121212121WnffnWnWWnWnWn lNnffnWnWn ),(0212121212121 1212ffnnnlNnWnWn ),(021212121 参与激光产生过程的有三个能级：E1E2E3三能级系统激光工作物质的能级简图。1.三能级系统速率方程组E2为亚稳态能级，（激光上能级）E3为抽运高能级。基态（激光下能级）E1，E1E2E3W13A31S31S32三能级系

11、统激光工作物质的能级简图。粒子在这些能级间的跃迁过程：(1)在激励泵源的作用下，基态E1上的粒子被抽运到能级E3上，抽运几率设为W13。在光激励情况下，W13即为受激吸收跃迁几率。对于其他激励方或，则W13只表示粒子在单位时间内被抽运到E3的几率。 (2)到达高能级E3的粒子数时将主要以无辐射跃迁(热弛豫)的形式极为迅速地转移到激光上能级E2，其几率设为S32。另外，n3也能以自发辐射(几率A31)和无辐射跃迁(几率S31)等方式返回基态E1。但对于一般激光工作物质，这种消激励过程的几率很小，即S31S32，A31S32。W13A31S31E1E2E3S32A21S21W21W12三能级系统激

12、光工作物质的能级简图。(3)激光上能级E2一般都是亚稳能级，在未形成集居数反转之前，n2粒子将主要以自发跃迁(几率A21)形式返回E1，并且A21较小，即粒子在E2上的寿命较长。另外，n2粒子也可能通过无辐射跃迁(几率S21)返回E1，一般情况下S21f2n1/f1)。一旦出现这种情况，则在E2和E1间的受激辐射和吸收跃迁(W21和W12)将占绝对优势。三能级系统激光工作物质的典型例子是红宝石晶体。红宝石在室温下的一些跃迁几率数据为:S320.5107s-1； A313105s-1；A210.3103s-1；S21、S310.可以写出各能级集居数随时间变化的方程nnnnSnASnWnWndtd

13、nASnWndtdn 321323212122121212313231313)()(E1E2E3W13A31S31S32A21S21W21W12n为单位体积工作物质内的总粒子数。一般情况下S31很小，故予以忽略了。激光器光腔内的光子数密度(单位体积内的光子数)随时间的变化规律。若第l个模式的光子寿命为Rl，工作物质长度l等于腔长L，则其光子数密度的速率方程：忽略了进入l 模内的少量自发辐射非相干光子。得到三能级系统的速率方程组：lRllNWnWndtdN 211212lRllllNvNnffndtdNnnnnSnASnvNnffndtdnASnWndtdn ),()()(),()()(0211

14、1223213232121202111222313231313对于多数激光工作物质来说，四能级系统更具有代表性，因为四能级系统更容易实现集居数反转。氦氖激光器以及Nd:YAG等都属于四能级系统。 2.四能级系统速率方程组E0E3E2E1具有四能级系统的激光工作物质的能级简图参与产生激光的有四个能级:它的主要特点是，激光下能级E1不再是基态能级，因而在热平衡状态下处于E1的粒子数很少，有利于在E2和E1之间形成集居数反转状态。 各符号代表的物理意义与三能级系 统相同。基态能级E0（抽运过程的低能级）抽运高能级E3、激光上能级E2（亚稳能级）和激光下能级E1。E0E3E2E1W03W12W21S1

15、0S21S32S30A30A21具有四能级系统的激光工作物质的能级简图着重指出两点。 (1)对于实际的激光工作物质，仍有S30，A30S32，S21KT，这就保证在热平衡情况下E1能级上的粒子数可忽略。另一方面，当粒子由于受激辐射和自发辐射由E2跃迁到E1后，必须使它们以某种方式迅速地转移到基态，即要求S10较大。 S10也称为激光下能级的抽空速率。参照能级图，根据和三能级系统完全相同的考虑，可得四能级系统的速率方程组：lRllllNvNnffndtdNnnnnnAnWnSndtdnSnASnvNnffndtdnASnWndtdn ),()()(),()()(02111223210303030

16、10103232121202111222303230303E0E3E2E1W03W12W21S10S21S32S30A30A21四能级系统的激光工作物质的能级简图忽略了n3W30项，因为n3很小，故n3W30n0W03对于四能级系统，另有一种常见的粒子数密度速率方程的写法:R1、R2为单位体积中，在单位时间内激励至E1、E2能级的粒子数；1，2为E1，E2能级的寿命，21为E2能级由于至E1能级的跃迁造成的有限寿命。前者采用激励速率和能级寿命来描述粒子数变化速率而不涉及具体的激励及跃迁过程；后者则忽略了激光下能级的激励过程，对大部分激光工作物质来说，这一忽略是允许的。可根据所研究工作物质的激励

17、与跃迁过程选择或建立适用的速率方程。3232121202111222)(),()(SnASnvNnffndtdnl llvN),()nffn(nnRdtdnvN),()nffn(nRdtdn0211122212111102111222222 如果激光器中有m个模振荡，其中第l个模的频率：l，光子数密度：N l 光子寿命：Rl。则E2能级的粒子数密度速率方程：每个模式的频率、损耗、g(l,0)值不同，必须建立m个光子数密度速率方程，其中第l个模的光子数密度速率方程：3232121202111222)(),()(SnASnNnffndtdnlll 三、多模振荡速率方程lRllllNvNnffndt

18、dN ),()(0211122为简化计，假设：(1)假设各个模式的衍射损耗比腔内工作物质的损耗及反射镜透射损耗小得多，因而可以认为各个模式的损耗相同。(2)将线型函数g(l,0)用一矩形谱线g(,0)代替，并使矩形谱线的高度与谱线轮廓中心点的高度相等，矩形谱线所包含的面积与原有谱线包含的面积相等。即),(1),(),(00000 ggg 对洛仑兹线型与高斯线型，等效线宽:FF 2ln21,2光谱线的线型函数及等效线型函数用工作物质的自发辐射荧光谱线宽度F统一表示均匀加宽线宽H和非均匀加宽线宽i.按照以上简化模型，四能级多模振荡的速率方程：nnnnnWnSndtdnSnAnNnffndtdnSnWndtdnNNnffndtdNR 321003010103232212211122213230303211