chap8 电路分析

1、l时域分析时域分析 电阻电路（代数方程）电阻电路（代数方程） 动态电路（微分方程）动态电路（微分方程）l变换域分析变换域分析 相量分析法正弦稳态分析相量分析法正弦稳态分析 s域分析法一般动态电路域分析法一般动态电路变换域分析方法变换域分析方法变换域分析方法变换域分析方法重点内容：重点内容： 基本概念基本概念振幅振幅相量、相量图、阻抗、导纳相量、相量图、阻抗、导纳 相量法分析正弦稳态电路相量法分析正弦稳态电路 正弦稳态电路中的功率分析正弦稳态电路中的功率分析 耦合电感、变压器耦合电感、变压器 多频正弦稳态电路分析多频正弦稳态电路分析8-1 变换方法变换方法8-2 复数复数8-3 振幅相量振幅相量

2、8-4 KCL和和KVL的相量形式的相量形式8-5 三种基本元件三种基本元件VCR的相量形式的相量形式8-6 阻抗和导纳阻抗和导纳8-7 正弦稳态分析相量模型正弦稳态分析相量模型8-8 正弦稳态混联电路正弦稳态混联电路8-9 相量模型的网孔分析和节点分析相量模型的网孔分析和节点分析8-10 相量模型的等效相量模型的等效8-11 有效值有效值 有效值相量有效值相量8-12 相量图法相量图法Ch8 阻抗和导纳阻抗和导纳 本章重点：本章重点：Ch8 阻抗和导纳阻抗和导纳 基本概念基本概念振幅振幅相量、阻抗、导纳、相量图、有效值相量、阻抗、导纳、相量图、有效值 用相量法分析正弦稳态电路用相量法分析正弦

3、稳态电路变换方法变换方法 基本思想基本思想 变换的作用和步骤变换的作用和步骤复数复数复数的直角坐标和极坐标表示复数的直角坐标和极坐标表示复数的四则运算复数的四则运算1. 复数复数A表示形式：表示形式：) 1(j为为虚虚数数单单位位 AbReImaOA=a+jbAbReImaO |A|复数及运算复数及运算jbaA |AeAAj代数式代数式指数式（极坐标式）指数式（极坐标式）三角函数式三角函数式 sin|cos|AjAA 复数复数几种表示法的关系：几种表示法的关系： ab baAarctg| 22 或或 A b|A|asin|cos AbReImaO |A|)sin(cos| jAeAj jba

4、复数复数2. 复数运算复数运算则则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加减运算加减运算直角坐标直角坐标若若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2A1A2ReImO加减法可用图解法。加减法可用图解法。图解法图解法复数复数复数复数例例1. ?2510475 )226. 4063. 9()657. 341. 3(2510475jj 569. 047.12j 61. 248.12 解解: :复数复数振幅相量振幅相量正弦函数：按正弦规律变化的量。正弦函数：按正弦规律变化的量。表达式：表达式：波形：波形：tO T( )cos()cos(2)2 cos()mmmu tUtUftUtT(1) 幅

5、值幅值 (amplitude) (振幅、振幅、 最大值最大值) ： Um(2) (2) 角频率角频率(angular frequency) ： (3) 初相位初相位(initial phase angle) ： 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和振幅就行了。要确定初相位和振幅就行了。正弦量的相量表示正弦量的相量表示正弦量正弦量复数复数振幅相量振幅相量引入欧拉公式引入欧拉公式cos() sin()j tetjtcos()Rej tte正弦量的相量表示正弦量的相量表示振幅相量振幅相量()( )cos() Re Re Rejtm

6、mjj tj tmmu tUtU eU e eU e jmmmUU eU其中其中振幅振幅初相初相( )mUu t振幅相量振幅相量变换域变换域 时间域时间域正弦量的相量表示正弦量的相量表示振幅相量振幅相量相量图相量图相量在复平面上的图示相量在复平面上的图示已知正弦电流已知正弦电流i1(t)=5cos(314t+60 )A, i2(t)=-10sin(314t+60 )A。 写出这两个正弦电流的电流相量，画出相量图。写出这两个正弦电流的电流相量，画出相量图。AReAee5ReA)60 314cos(5)(314jm1314j60j1tteItti 得到表示正弦电流得到表示正弦电流i1(t)=5co

7、s(314t+60 )A的相量为的相量为 A605Ae560jm1I解：根据以下关系解：根据以下关系 振幅相量振幅相量 正弦电流与其电流相量的关系可以简单表示为正弦电流与其电流相量的关系可以简单表示为 A605Ae5A)60314cos(5)(60j1m1Itti对于正弦电流对于正弦电流i2(t)=-10sin(314t+60 )A，有，有 22 m( )10sin(31460 )A 10cos(3146090 )A 10cos(314150 )A10 150 Ai ttttI 振幅相量振幅相量三角公式三角公式 -sinx=cos(x+90 ) 将各电流相量将各电流相量 和和 画在一画在一个复

8、数平面上，就得到相量图，从相量图上容易看出各正个复数平面上，就得到相量图，从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。弦电压电流的相位关系。A6051mIA15010m2I振幅相量振幅相量振幅相量振幅相量变换时注意变换时注意 cos()1 0t 三角公式的应用三角公式的应用 cos(90 )sincos(270 )sincossin(90 )cos(180 )cos 运用三角方法求解运用三角方法求解相量形式的相量形式的KCL、KVL接上节的例子，求接上节的例子，求i(t)=i1(t)+i2(t)12( )( )( )5cos(31460 ) 10sin(31460 )5cos314 cos60

9、5sin314 sin6010sin314 cos6010cos314 sin60(5cos6010sin60 )cos314(5sin6010cos60 )sin3146.1602cos3149.3301sin31411.18cos(i ti ti ttttttttttt9.3301314arctan()6.160211.18cos(314123.4 )ttA4 .1238 .11 )33. 9 j16. 6( ) 5 j66. 8()33. 4 j5 . 2( 15010605m2m1mIII 采用复数运算有采用复数运算有A)4 .123314cos(8 .11)314cos()()()(

10、m21ttItititi相量形式的相量形式的KCL、KVL相量形式的相量形式的KCL、KVL1122( )Re,( )Rejtjtf tA eftA e 相量的线性性质相量的线性性质1122( ), ( )f tAf tA同频率的正弦量线性组合的相量等于表示各个正同频率的正弦量线性组合的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。弦量的相量的同一线性组合。1212( )( )af tbf taAbA相量形式的相量形式的KCL、KVLnkkti10)( KCL的基本形式的基本形式jm11( )Ree0nntkkkki tI正弦稳态电路时，正弦稳态电路时，KCL的形式的形式m10nkkI相量形式的

11、相量形式的KCL、KVL1( )0nkkut KVL的基本形式的基本形式jm11( )Ree0nntkkkku tU正弦稳态电路时，正弦稳态电路时，KVL的形式的形式m10nkkU相量形式的相量形式的KCL、KVL例例12( )10cos(60 )( )5sini tti tt求求i3(t)1210 60590mmII 3126.2 36.2mmmIII3( )6.2cos(36.2 )i tt相量形式的相量形式的KCL、KVL画出相量图和波形图，分析相位关系画出相量图和波形图，分析相位关系相量形式的相量形式的KCL、KVL例例( )10cos(60 )( )8sin(120 )abbcutt

12、utt 求求uac(t)10 608 30abmbcmUU 5.0467.5acmabmbcmUUU( )5.04cos(67.5 )acutt相量形式的相量形式的KCL、KVL画出相量图和波形图，分析相位关系画出相量图和波形图，分析相位关系基本元件基本元件VCR的相量形式的相量形式电阻元件电阻元件VCR的的相量形式相量形式( )( )u tRi t在电压电流采用关联参考方向时，其在电压电流采用关联参考方向时，其VCR表示为表示为 当其电流当其电流i(t)=Imcos( t+i)随时间按正弦规律变化时，随时间按正弦规律变化时，电阻上电压电流关系如下：电阻上电压电流关系如下： )cos()()c

13、os()(imumtRItRitUtu 上式表明，线性电阻的电压和电流是同一频率的正弦上式表明，线性电阻的电压和电流是同一频率的正弦时间函数。其振幅之间服从欧姆定律，其相位差为零时间函数。其振幅之间服从欧姆定律，其相位差为零(同同相相)，即，即 mmui URI 线性电阻元件的时域模型如图线性电阻元件的时域模型如图 (a)所示，反映电压电流所示，反映电压电流瞬时值关系的波形图如图瞬时值关系的波形图如图(b)所示。所示。图 由上图可见，在任一时刻，由上图可见，在任一时刻，电阻电压的瞬时值是电流电阻电压的瞬时值是电流瞬时值的瞬时值的R倍倍，电压的相位与电流的相位相同电压的相位与电流的相位相同，即电

14、压电，即电压电流波形同时达到最大值，同时经过零点。流波形同时达到最大值，同时经过零点。 由于电阻元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函由于电阻元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函数，可以用相量分别表示如下：数，可以用相量分别表示如下： j j mj j m( )ReeRee( )ReeRe e ttmttmu tUUi tII 则则 j j (ReeRe ettmmu tURI） 由此得到线性电阻电压电流关系的相量形式为由此得到线性电阻电压电流关系的相量形式为 mmURI 这是一个复数方程，它同时提供振幅之间和相位之间这是一个复数方程，它同时提供振幅之间和相位之间的两个关系，即的两个关系，即

15、 (1) 电阻电压等于电阻乘以电流，即电阻电压等于电阻乘以电流，即 Um=RIm (2) 电阻电压与其电流的相位相同，即电阻电压与其电流的相位相同，即 u =i基本元件基本元件VCR的相量形式的相量形式 线性电阻元件的相量模型如图线性电阻元件的相量模型如图(a)所示，反映电压电流所示，反映电压电流相量关系的相量图如图相量关系的相量图如图(b)所示，由此图可以清楚地看出电所示，由此图可以清楚地看出电阻电压的相位与电阻电流的相位相同。阻电压的相位与电阻电流的相位相同。 图图 正弦电流电路中电阻元件的电压电流相量关系正弦电流电路中电阻元件的电压电流相量关系mmURI电感电感元件元件VCR的的相量形式

16、相量形式d( )diu tLt 当电感电流当电感电流i(t)=Imcos( t+i)随时间按正弦规律变化时，随时间按正弦规律变化时，电感上电压电流关系如下：电感上电压电流关系如下： )90 cos() sin( ) cos(dd) cos()(imimimumtLItLItItLtUtu 线性电感的电压电流关系采用关联参考方向时，线性电感的电压电流关系采用关联参考方向时，基本元件基本元件VCR的相量形式的相量形式 表明线性电感的电压和电流是同一频率的正弦时间函表明线性电感的电压和电流是同一频率的正弦时间函数。其振幅之间的关系以及电压电流相位之间的关系为数。其振幅之间的关系以及电压电流相位之间的

17、关系为 mmui 90ULI基本元件基本元件VCR的相量形式的相量形式 电感元件的时域模型如图电感元件的时域模型如图 (a)所示，反映电压电流瞬时所示，反映电压电流瞬时值关系的波形图如图值关系的波形图如图 (b)所示。由此可以看出所示。由此可以看出电感电压超前电感电压超前于电感电流于电感电流90，当电感电流由负值增加经过零点时，其，当电感电流由负值增加经过零点时，其电压达到正最大值。电压达到正最大值。图图 由于电感元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函由于电感元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函数，可以用相量分别表示，则数，可以用相量分别表示，则 jjj(ReedRe(e)dRej etmt

18、mtmu tULItLI） 由此得到电感元件电压相量和电流相量的关系式由此得到电感元件电压相量和电流相量的关系式 jmmULI基本元件基本元件VCR的相量形式的相量形式 电感元件的相量模型如图电感元件的相量模型如图(a)所示，电压电流的相量图所示，电压电流的相量图如如(b)所示。由此可以清楚看出所示。由此可以清楚看出电感电压的相位超前于电感电感电压的相位超前于电感电流的相位电流的相位90。 j 90sinj90cose90j图图基本元件基本元件VCR的相量形式的相量形式电容电容元件元件VCR的的相量形式相量形式d( )dui tCt 线性电容在电压电流采用关联参考方向时线性电容在电压电流采用关

19、联参考方向时基本元件基本元件VCR的相量形式的相量形式 线性电容的电压和电流是同一频率的正弦时间函数。线性电容的电压和电流是同一频率的正弦时间函数。其振幅之间的关系，以及电压电流相位之间的关系为其振幅之间的关系，以及电压电流相位之间的关系为 mmiu90ICU 当电容电压当电容电压u(t)=Umcos( t+u)随时间按正弦规律变化随时间按正弦规律变化时时)90 cos() sin( ) cos(dd) cos()(umumumimtCUtCUtUtCtIti基本元件基本元件VCR的相量形式的相量形式 电容元件的时域模型如图电容元件的时域模型如图 (a)所示，反映电压电流瞬时所示，反映电压电流

20、瞬时值关系的波形图如图值关系的波形图如图(b)所示。由此图可以看出所示。由此图可以看出电容电流超电容电流超前于电容电压前于电容电压90，当电容电压由负值增加经过零点时，当电容电压由负值增加经过零点时，其电流达到正最大值。其电流达到正最大值。图图 由于电容元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函由于电容元件的电压电流都是频率相同的正弦时间函数，可以用相量分别表示，则数，可以用相量分别表示，则 由此得到电容元件电压相量和电流相量的关系式由此得到电容元件电压相量和电流相量的关系式 jmmICUjjj(ReedRe(e)dRejetmtmtmi tICUtCU）基本元件基本元件VCR的相量形式的相量形式

21、 电容元件的相量模型如图电容元件的相量模型如图(a)所示，其相量关系如图所示，其相量关系如图(b)所示。所示。 图图基本元件基本元件VCR的相量形式的相量形式例例 电路如图所示，已知电路如图所示，已知 S3 ,2H, ( )cos A , 2rad /sRLi tt 试求电压试求电压u1(t), u2(t), u(t)及其相量表示及其相量表示。 基本元件基本元件VCR的相量形式的相量形式解：用相量关系解：解：用相量关系解： 根据相量形式的根据相量形式的KCL求出电流相量求出电流相量 Sm1 0 A1A mII 由相量形式的由相量形式的VCR方程求出电压方程求出电压 1Sm2Sm3 1 03 0

22、 Vjjj2 2 1 0 j4V4 90 VmmmmURIRIULILI 基本元件基本元件VCR的相量形式的相量形式 根据相量形式的根据相量形式的KVL方程式得到方程式得到 V1 .5354 j321UUU 得到相应电压的瞬时值表达式得到相应电压的瞬时值表达式 12( )3cos2 V( )4cos(290 ) V( )5cos(253.1 ) Vu ttu ttu tt 相量图如图所示。由此图可以看出电压相量图如图所示。由此图可以看出电压u(t)超前于电流超前于电流i(t)的角度为的角度为53.1基本元件基本元件VCR的相量形式的相量形式例例 电路如图所示电路如图所示,已知已知S4 ,0.1

23、F,( )10cosV , 5rad /sRCu tt 解：用相量关系解。解：用相量关系解。 Sm110 02.5 02.5A4mUIR 试求电流试求电流i1(t), i2(t), i(t)及其相及其相量表示。量表示。基本元件基本元件VCR的相量形式的相量形式2j5 0.1 10 0j5A5 90 AmsmICUj 根据相量形式的根据相量形式的KCL方程得到方程得到 122.5j5 5.59 63.4 AmmmIII 得到电流的时域表达式得到电流的时域表达式 1( )2.5cos5 Ai tt2( )5cos(590 ) Ai tt( )5.59cos(563.4 ) Ai tt基本元件基本元

24、件VCR的相量形式的相量形式 根据所求得的各电压电流相量画出相量图。根据所求得的各电压电流相量画出相量图。 由此图可以看出电流由此图可以看出电流i(t)超前于电压超前于电压uS(t)的角度为的角度为63.4。 基本元件基本元件VCR的相量形式的相量形式为容抗称为电容的电抗，简称为感抗称为电感的电抗，简称称为电阻 j1 j1 j j CCCCLLLLRRRRCIUICULIUILURIUIRU 现将基本元件现将基本元件VCR的相量关系列写如下：的相量关系列写如下： 阻抗与导纳阻抗与导纳 我们注意到，我们注意到，RLC元件电压相量与电流相量之间的关元件电压相量与电流相量之间的关系类似欧姆定律，电压

25、相量与电流相量之比是一个与时间系类似欧姆定律，电压相量与电流相量之比是一个与时间无关的量，其中无关的量，其中R，称为电阻；称为电阻；j L，称为电感的电抗，简称为电感的电抗，简称为感抗；称为感抗；1/j C，称为电容的电抗，简称为容抗。为了使称为电容的电抗，简称为容抗。为了使用方便，我们用大写字母用方便，我们用大写字母Z来表示这个量，它是一个复数，来表示这个量，它是一个复数，称为称为阻抗阻抗。为容抗称为电容的电抗，简称为感抗称为电感的电抗，简称称为电阻 j1 j1 j j CCCCLLLLRRRRCIUICULIUILURIUIRUj1j CmmRUZLI 引入引入阻抗阻抗后，我们可以将以上三

26、个关系式用一个式子后，我们可以将以上三个关系式用一个式子来表示。来表示。 mmmmUUZIZI即即欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式。 阻抗定义为电压相量与阻抗定义为电压相量与电流相量之比电流相量之比，即，即阻抗与导纳阻抗与导纳 同理，基本元件同理，基本元件VCR的相量关系也可以写成以下形式的相量关系也可以写成以下形式 j j j1 j1 CCCCLLLLRRRR为容纳称为电容的电纳，简称为感纳称为电感的电纳，简称称为电导CUIUCILUIULIGUIUGI 我们注意到，基本元件电流相量与电压相量之比是一我们注意到，基本元件电流相量与电压相量之比是一个与时间无关的量，其中个与时间无关的量，其

27、中G，称为电导；称为电导；1/j L，称为电感称为电感的电纳，简称为感纳；的电纳，简称为感纳；j C，称为电容的电纳，简称为容称为电容的电纳，简称为容纳。我们用大写字母纳。我们用大写字母Y来表示这个量，它是一个复数，称来表示这个量，它是一个复数，称为为导纳导纳。j1jmmGIYCUL 引入引入导纳导纳后，可以将以上关系式用一个式子来表示。后，可以将以上关系式用一个式子来表示。 mmmmIIYUYU 显然，同一个二端元件的显然，同一个二端元件的阻抗与导纳互为倒数关系阻抗与导纳互为倒数关系，即，即 ZYYZ11 导纳导纳Y定义为电流相量与电压相量之比定义为电流相量与电压相量之比，即，即 现将反映两

28、类约束关系的现将反映两类约束关系的KCL、KVL和二端元件和二端元件VCR的时域和相量形式列写如下。的时域和相量形式列写如下。它们是相量法分析正弦稳态它们是相量法分析正弦稳态电路的基本依据电路的基本依据。 111 KCL 0 0KVL 0 nnkkmkknkkiIuui1jsSuSSmjSiSSm 0U ( )cos() e ( )cos() e nkmksmssmUu tUtUUIi tItIIRuRiiG d1 dd1 dtmmmmtuiLuLiudtUZIIYUtLuCiCuidttC 运用相量并引用阻抗和导纳后，正弦稳态电路变换为运用相量并引用阻抗和导纳后，正弦稳态电路变换为“等效的电

29、阻电路等效的电阻电路”，正弦稳态电路的计算可以仿照电阻，正弦稳态电路的计算可以仿照电阻电路的分析方法来进行，包括串并联性质、网孔和节点分电路的分析方法来进行，包括串并联性质、网孔和节点分析法、叠加原理、戴维南等效电路，下面我们分别从这几析法、叠加原理、戴维南等效电路，下面我们分别从这几方面展开正弦稳态的相量分析法。方面展开正弦稳态的相量分析法。 阻抗与导纳阻抗与导纳 在前两节中，已经推导出反映两类约束关系的在前两节中，已经推导出反映两类约束关系的KCL、KVL和基本元件和基本元件VCR的相量形式，它们是用相量法分析正的相量形式，它们是用相量法分析正弦稳态电路的基本依据。本节先介绍相量法分析正弦

30、稳态弦稳态电路的基本依据。本节先介绍相量法分析正弦稳态的基本方法和主要步骤，然后再用相量法分析阻抗串并联的基本方法和主要步骤，然后再用相量法分析阻抗串并联电路。电路。 相量法分析正弦稳态的主要步骤相量法分析正弦稳态的主要步骤 ( (一一) ) 画出电路的画出电路的相量模型相量模型 根据电路时域模型画出电路相量模型的方法是根据电路时域模型画出电路相量模型的方法是 1. 将时域模型中各正弦电压电流，用相应的相量表示，将时域模型中各正弦电压电流，用相应的相量表示，并标明在电路图上。对于已知的正弦电压和电流，按照下并标明在电路图上。对于已知的正弦电压和电流，按照下式计算出相应的电压电流相量。式计算出相

31、应的电压电流相量。uijuujii ( )cos() e ( )cos() e mmmmmmmmu tUtUUUi tUtIII正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析 2. 根据时域模型中基本元件的参数，用相应的阻抗根据时域模型中基本元件的参数，用相应的阻抗(或或导纳导纳)表示，并标明在电路图上。表示，并标明在电路图上。 G1 j j 1 j j RRLLLCCC或或或正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析 (二二) 根据根据KCL、KVL和元件和元件VCR相量形式，建立复系相量形式，建立复系数电路方程或写出相应公式，并求解得到电压电流的相量数电路方程或写出相应公式，并求解得到电压电流的相量表达式

32、。表达式。 11 0 0 nkmknkmkmmmmKCLIKVLUVCRUZIIYU正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析 (三三) 根据所计算得到的电压相量和电流相量，写出相根据所计算得到的电压相量和电流相量，写出相应的时域表达式。应的时域表达式。 uijuujii e ( )cos( ) e ( )cos( ) mmmmmmmmUUUu tUtIIIi tIt 正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析例例1 电路如图电路如图 (a)所示，已知电感电流所示，已知电感电流L( )cos A, 10rad /s i tt解：解：1.画出电路图画出电路图(a)的相量模型，如图的相量模型，如图(b)所示。

33、其中所示。其中LL11L22C1 0 A1A Z =R=3 Zjj10 0.6j611Zjj10 0.2j2 Zjj1j10 0.1RILLC 试用相量法求电流试用相量法求电流i(t), 电压电压uC(t)和和uS(t)。 2. 观察相量模型，用相量形式的观察相量模型，用相量形式的KVL和电感和电感VCR方程方程求出电感电压和电容电压相量求出电感电压和电容电压相量 j2V1j2jL2LCILUU 根据相量形式的电容根据相量形式的电容VCR方程求出电容电流相量方程求出电容电流相量 CCj Cj1 j22 0 A2AI U 正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析 根据相量形式的根据相量形式的KCL方

34、程求出电阻电流相量方程求出电阻电流相量 A121CLIIIV9 .1265j43 j21)(j6) 1(3jC1SUILIRU 根据相量形式的根据相量形式的KVL方程和电阻及电感方程和电阻及电感VCR方程，求方程，求出电压源电压相量出电压源电压相量 根据电流相量根据电流相量 ,电容电压相量电容电压相量 和电和电压相量压相量 以及角频率以及角频率 =10rad/s，求得求得电流电流i(t)，电压电压uC(t)和和uS(t)的瞬时值表达式为的瞬时值表达式为 A 1I j2VCU V9 .1265SUCS( )cos(10180 )A( )cos(1090 )V( )cos(10126.9 )V i

35、 ttuttu tt阻抗串联和并联电路分析阻抗串联和并联电路分析 1.阻抗串联电路分析阻抗串联电路分析 图图 (a)表示表示n个阻抗的串联，流过每个阻抗的电流相同，个阻抗的串联，流过每个阻抗的电流相同，根据相量形式的基尔霍夫电压定律和欧姆定律得到以下关根据相量形式的基尔霍夫电压定律和欧姆定律得到以下关系系 正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析123123123 () nnnUUUUUZ IZ IZ IZ IZZZZ IZI 以上计算结果表明以上计算结果表明n个阻抗串联组成的单口网络，就个阻抗串联组成的单口网络，就端口特性来说，等效于一个阻抗，其等效阻抗值等于各串端口特性来说，等效于一个阻抗，其

36、等效阻抗值等于各串联阻抗之和，即联阻抗之和，即 1231nnkkUZZZZZZI n个阻抗串联的电流相量与其端口电压相量的关系为个阻抗串联的电流相量与其端口电压相量的关系为 1231nnkkUUIZZZZZ 第第k个阻抗上的电压相量与端口电压相量的关系为个阻抗上的电压相量与端口电压相量的关系为 1231kkkknnkkZZUZ IUUZZZZZ 这个公式称为这个公式称为n个阻抗串联时的分压公式。当两个阻个阻抗串联时的分压公式。当两个阻抗串联时的分压公式为抗串联时的分压公式为 12121212 ZZUUUUZZZZ 读者可以看出以上几个公式与读者可以看出以上几个公式与n个电阻串联时得到的个电阻串

37、联时得到的公式相类似。公式相类似。 1231kkkknnkkZZUZ IUUZZZZZ 下面用相量法对图示下面用相量法对图示RLC串联电路进行分析。已知电串联电路进行分析。已知电压压u(t)=Umcos( t+u)，求各电压电流。求各电压电流。 图图(a)所示电路的相量模型如图所示电路的相量模型如图(b)所示。单口网络相量所示。单口网络相量模型的等效阻抗模型的等效阻抗 )1j(j1jCLRCLRCLRZZZZ图图正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析 电流相量电流相量 iu)1( jICLRUZUI 其中其中 RCLCLRUI1arctan )1(ui22 用分压公式计算用分压公式计算RLC元件

38、上的电压相量元件上的电压相量 UCLRCUUCLRLUUCLRRU)1( j1j)1( jj)1( jCLR 根据计算得到的电流相量和电压相量写出电流和电压根据计算得到的电流相量和电压相量写出电流和电压的瞬时值表达式。的瞬时值表达式。 正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析例例 已知图已知图 (a)所示电路的所示电路的u(t)=10cos2t V, R=2 , L=2H, C=0.25F。试用相量方法计算电路试用相量方法计算电路 中的中的i(t), uR(t), uL(t),uC(t)。解：图解：图(a)电路的相量模型，如图电路的相量模型，如图(b)所示。求出所示。求出RLC串联电串联电 路的等

39、效阻抗路的等效阻抗 4522)2 j2()2 j4 j2(CLRZZZZ 求出求出RLC元件的电流相量元件的电流相量A4525 . 24522010ZUI 用分压公式计算用分压公式计算RLC元件上的电压相量元件上的电压相量 V13507. 70104522j2V4514.1401045224 jV4507. 701045222CLRUUU 根据以上电压电流相量得到相应的时域表达式根据以上电压电流相量得到相应的时域表达式 RLC( )3.54cos(245 )A( )7.07cos(245 )V( )14.14cos(245 )V( )7.07cos(2135 )Vi ttuttu ttuttV

40、13507. 70104522j2V4514.1401045224 jV4507. 701045222CLRUUU正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析 各电压电流的相量图如图各电压电流的相量图如图(c)所示。从相量图上清楚地所示。从相量图上清楚地看出端口电压看出端口电压u(t)的相位超前于端口电流相位的相位超前于端口电流相位i(t) 45，表表明该明该RLC串联单口网络的端口特性等效于一个电阻与电感串联单口网络的端口特性等效于一个电阻与电感的串联，即单口网络具有电感性。的串联，即单口网络具有电感性。正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析121212 ()nnnIIIIYUYUYUYYY UYU图

41、图 2. 导纳并联电路分析导纳并联电路分析 图图 (a) 表示表示n个导纳的并联，每个导纳的电压相同，根个导纳的并联，每个导纳的电压相同，根据相量形式的基尔霍夫电流定律和欧姆定律得到以下关系据相量形式的基尔霍夫电流定律和欧姆定律得到以下关系正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析 以上计算结果表明以上计算结果表明n个导纳并联组成的单口网络，等个导纳并联组成的单口网络，等效于一个导纳，其等效导纳值等于各并联导纳之和，即效于一个导纳，其等效导纳值等于各并联导纳之和，即 121nnkkIYYYYYU 得到得到n个导纳并联的电压相量与其端口电流相量的关个导纳并联的电压相量与其端口电流相量的关系为系为 12

42、1nnkkIIUYYYY 求得第求得第k个导纳中的电流相量与端口电流相量的关系为个导纳中的电流相量与端口电流相量的关系为 121kkkknnkkYYIYUIIYYYY 这个公式称为这个公式称为n个导纳并联时的分流公式。常用的两个导纳并联时的分流公式。常用的两个阻抗并联时的分流公式为个阻抗并联时的分流公式为 21121212 ZZIIIIZZZZ 以上几个公式与以上几个公式与n个电导并联时得到的公式相类似。个电导并联时得到的公式相类似。 下面用相量法对图下面用相量法对图(a)所示所示RLC并联电路进行分析。已并联电路进行分析。已知电压知电压i(t)=Imcos( t+i)，求各电压电流。求各电压

43、电流。 图图(a)所示电路的相量模型如图所示电路的相量模型如图(b)所示。计算出单口网所示。计算出单口网络相量模型的等效导纳络相量模型的等效导纳 )1j(j1jLCRLCGLCGYYYY正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析 计算出电压相量计算出电压相量 ui)1( jULCGIYIU 其中其中 GLCLCGIU1 arctan )1(iu22图图 用分流公式计算用分流公式计算RLC元件中的电流相量元件中的电流相量 ILCGLIILCGCIILCGGI)1( j1j)1( jj)1( jLCR 根据电压相量和电流相量可以写出电压和电流的瞬时根据电压相量和电流相量可以写出电压和电流的瞬时值表达式。

44、值表达式。 正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析例例 已知图已知图 (a)所示电路的所示电路的 S( )15cos2 A,1 ,2H,0.5Fi ttRLC 试用相量方法计算电路中的试用相量方法计算电路中的u(t), iR(t), iL(t), iC(t)。解：图解：图(a)所示电路的相量模型如图所示电路的相量模型如图(b)所示。求出所示。求出RLC并联并联 电路的等效导纳电路的等效导纳 S9 .3625. 1S)75. 0 j1 (S) 1 j41j1 (CLRYYYY 求出相量电压求出相量电压 V9 .3612V9 .3625. 1015YIU 用分流公式计算用分流公式计算RLC元件上的电

45、流相量元件上的电流相量 A1 .5312A0159 .3625. 11 jA9 .1263A0159 .3625. 1j0.25A9 .3612A0159 .3625. 11CLRIII 根据以上电压电流相量得到相应的时域表达式根据以上电压电流相量得到相应的时域表达式 RLC( )12cos(236.9 )V( )12cos(236.9 )A( )3cos(2126.9 )A( )12cos(253.1 )Au ttitti tti ttA1 .5312A0159 .3625. 11 jA9 .1263A0159 .3625. 1j0.25A9 .3612A0159 .3625. 11CLRI

46、II正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析 各电压电流的相量图如图各电压电流的相量图如图(c)所示。从相量图上清楚地所示。从相量图上清楚地看出端口电流的相位超前于端口电压相位看出端口电流的相位超前于端口电压相位36.9，表明该，表明该RLC并联单口网络的端口特性等效于一个电阻与电容的并并联单口网络的端口特性等效于一个电阻与电容的并联，该单口网络具有电容性。联，该单口网络具有电容性。图图正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析例例 图示电路与前面例图示电路与前面例1中讨论的电路完全相同。中讨论的电路完全相同。 已知电压源电压为已知电压源电压为 S( )10cos V, 10rad /s u tt 试求

47、各电压电流。试求各电压电流。 正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析解：该电路既有阻抗的串联，又有阻抗的并联，我们可以解：该电路既有阻抗的串联，又有阻抗的并联，我们可以 用阻抗联和并联的等效阻抗公式，求出连接于电压源用阻抗联和并联的等效阻抗公式，求出连接于电压源 的阻抗混联单口网络的等效阻抗的阻抗混联单口网络的等效阻抗 1 .535) 4 j3 (j2)6 j3 (j1j2j1)(j26 j3Z 计算出电流相量计算出电流相量 A1 .532A1 .535010ZUI 用两个阻抗并联的分流公式，计算出用两个阻抗并联的分流公式，计算出 A9 .1262A1 .5321 j2 j1 jA1 .534A

48、1 .5321 j2 j2 jCLCLCLLCIZZZIIZZZI 用相量形式的欧姆定律，求出电容电压和电感电压相量用相量形式的欧姆定律，求出电容电压和电感电压相量 V1 .1434V9 .2164V9 .1262j2V1 .1434V53.14j1LLLCCCIZUIZU 由于电容与电感并联，电容电压与电感电压应该相同。由于电容与电感并联，电容电压与电感电压应该相同。 本题也可以利用线性电路叠加定理来计算各电压电流。本题也可以利用线性电路叠加定理来计算各电压电流。因为本题电压源电压幅度是例因为本题电压源电压幅度是例1电路中电压幅度的电路中电压幅度的2倍，初倍，初相增加相增加126.9，现将例

49、，现将例1电路中各电压电流幅度增加到电路中各电压电流幅度增加到2倍，倍，初相增加初相增加126.9，即可得到本题的电压电流。例如例，即可得到本题的电压电流。例如例1电电路中电容电压为路中电容电压为 CCj22 90 V ( )2cos(1090 )VUu tt 本题中的电容电压为本题中的电容电压为 CC2 2 (90126.9 )V4 216.9 V4143.1V ( )2 2cos(1090126.9 )V 4cos(10143.1 )VUu ttt 例例 图图 (a)电路中，已知电路中，已知 S1S2( )3cos V, ( )4sin V, 2rad /s uttutt试求电流试求电流i

50、1(t) 解：先画出电路的相量模型，如解：先画出电路的相量模型，如(b)所示，其中所示，其中 V904V4 j ,V032S1SUU j1Cj1 ,j1jL0321III03j31 II4 jj32II4 jj03j03231321IIIIIII支路分析支路分析 以支路电流作为变量，列出图以支路电流作为变量，列出图(b)所示相量模型的所示相量模型的KCL和和KVL方程方程 正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析 求解得到求解得到 A43.18162. 3)A1 j3(Ajj133 j4 jA1j010j1111jj41031101I 由电流相量得到相应的时域表达式由电流相量得到相应的时域表达式

51、1( ) 3.162cos(218.43 )Ai tt4 jj03j03231321IIIIIII03j1)1 (21II4 jj1)1 (21II4 jj1)1 (03j1)1 (2121IIII网孔分析网孔分析 假设网孔电流如图假设网孔电流如图 (b) 所示，用观察法列出网孔电流所示，用观察法列出网孔电流方程方程正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析 求解得到求解得到 A43.18162. 3A) 1 j3(A124 j3 j3A1 j1111 j11 j14 j131I 由电流相量得到相应的时域表达式由电流相量得到相应的时域表达式 1( ) 3.162cos(218.43 )Ai tt4

52、jj1)1 (03j1)1 (2121IIII j1Sjj1S,Lj1C 选择参考节点如图所示，用观察法列出结点电压方程选择参考节点如图所示，用观察法列出结点电压方程 01 j) 1 j() 1 j1 j1 (S2S1UUU0)4 j(1 j3) 1 j() 1 j1 j1 (U节点分析节点分析 为了便于列写电路的结点电压方程，画出采用为了便于列写电路的结点电压方程，画出采用导纳参导纳参数数的相量模型，如图所示，其中的相量模型，如图所示，其中 正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析 求解得到求解得到 V9 .3653 j4)4 j(1 j31 jU 最后求得电流最后求得电流 A43.18162.

53、 31 j3) 3 j43(1 j)(1 j1S1UUI0)4 j(1 j3) 1 j() 1 j1 j1 (U正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析叠加定理叠加定理 叠加定理适用于线性电路，也可以用于正弦稳态分析。叠加定理适用于线性电路，也可以用于正弦稳态分析。画出两个独立电压源单独作用的电路，如图所示。画出两个独立电压源单独作用的电路，如图所示。 正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析 用分别计算每个独立电压源单独作用产生的电流相量，用分别计算每个独立电压源单独作用产生的电流相量，然后相加的方法得到电流相量然后相加的方法得到电流相量 A43.183.126j13j1j11j4j0.50.5j1

54、3 j111j11j11j1j11j1)(1j1S2S1111UUIII戴维南定理戴维南定理 戴维南定理告诉我们：含独立源的单口网络相量模型戴维南定理告诉我们：含独立源的单口网络相量模型可以一个电压源和阻抗可以一个电压源和阻抗Zo串联电路代替，而不会影响电路串联电路代替，而不会影响电路其余部分的电压和电流相量。其余部分的电压和电流相量。 正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析2 j1) 2 j2(31 j14 j31 j11S2S1ocUUU 先求出连接电感的单口网络的戴维南等效电路。先求出连接电感的单口网络的戴维南等效电路。 (1) 断开电感支路得到图断开电感支路得到图(a)电路，由此求得端口

55、的开电路，由此求得端口的开路电压路电压 ) 5 . 0 j5 . 0(2) 1 j1 (1 j1 j1) 1 j(1oZ (2) 将图将图(a)电路中两个独立电压源用短路代替，得到电路中两个独立电压源用短路代替，得到图图(b)电路，由此求得单口网络的输出阻抗电路，由此求得单口网络的输出阻抗 正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析 用戴维南电路代替单口网络得用戴维南电路代替单口网络得到图到图(c)所示电路，由此求得所示电路，由此求得 A43.18162. 31 j3 j0.50.5j21j1j0.50.5j211 jooc1ZUI正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析例例 电路如图所示，已知电路如图

56、所示，已知R1=5 ，R2=10 , L1= L2=10mH，C=100 F， 3S2S3( )10cos V, ( )15cos(45 )V,10 rad/suttuttS1( )cos(30 )Aitt试用网孔分析和结点分析计算电流试用网孔分析和结点分析计算电流i2(t) 正弦稳态的相量分析正弦稳态的相量分析解：画出图解：画出图(a)电路的相量模型，如图电路的相量模型，如图(b)所示，其中所示，其中 V4515V010A3013S2S1SUUI10jj110jjj21CLL 1. 网孔分析网孔分析0104515)20j10(j10A301211III 求解得到求解得到 232 1.1091

57、2.44 A( )1.109cos(1012.44 )AIi tt 设两个网孔电流如图设两个网孔电流如图(b)所示。所示。V4515V0103S2SUU 用观察法直接列出网孔电用观察法直接列出网孔电流方程流方程 2. 节点分析节点分析 将图将图(b)相量模型中的电压源和阻抗串联单口网络相量模型中的电压源和阻抗串联单口网络等效等效变换为电流源和阻抗的并联变换为电流源和阻抗的并联后。后。10j10451510j01030110j10110j11UV4515,V0103S2SUU 用观察法直接列出结点电压方程用观察法直接列出结点电压方程 求解得到求解得到 V7 .3939. 31U 再用相量形式的再

58、用相量形式的KVL方程求出电流方程求出电流 1322232j3.3939.715 45 A1.10912.410j10( )1.109cos(1012.4 )ASUUIRLAi tt10j10451510j01030110j10110j11U例例 电路如图电路如图 (a)所示，已知所示，已知 6S ( )5cos(30 )V,10 rad/su tt 试用网孔分析、节点分析和戴维南定理计算电流试用网孔分析、节点分析和戴维南定理计算电流i2(t)。 解：画出图解：画出图(a)的相量模型，如图的相量模型，如图(b)所示，其中所示，其中 V305SU 1.网孔分析网孔分析305)2 j4(3053)

59、 3 j321321IIIII（代入代入 123III得到以下方程得到以下方程 305) 2 j4(3054) 3 j62121IIII（求解得到求解得到 2621.121 60.96 A( )1.121cos(1060.96 )AIi tt V305SU 21II， 设两个网孔电流设两个网孔电流 ，用观察法直接列出网孔电流方程，用观察法直接列出网孔电流方程 2.节点分析节点分析13053 j232 j3113 j2131IU代入代入 11S33051UUUI求解得到求解得到 A96.6012. 12 j3 V27.27043. 4121UIU 将电压源和阻抗串联单将电压源和阻抗串联单口网络口

60、网络等效变换为电流源和等效变换为电流源和阻抗的并联后，阻抗的并联后，再列出节点再列出节点电压方程电压方程 (1)由图由图 (c)电路求端口的开路电路求端口的开路电压电压 。先用网孔方程求电流。先用网孔方程求电流 ocU3I3053) 3 j3(33II求解得到求解得到 A3 j63053IV34.44.346V3053 j63 j5)(13ocSUIU图图 (c) 3.用戴维南定理求解用戴维南定理求解 (2) 用外加电流源求端口电压的方法，由图用外加电流源求端口电压的方法，由图 (d)电路求电路求输出阻抗输出阻抗Zo。列出列出支路电流方程支路电流方程 ) 3( 2 j)2( 03) 3 j2(