高三数学一轮复习不等式性质及证明教案0001

1、不等式性质及证明教1不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式学（组）的实际背景；目2基本不等式： （a, b0）标探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。不等式历来是高考的重点内容。对于本将来讲，考察有关不等式性质的基础知识、基本方法， 而且还考察逻辑推理能力、 分析问题、 解决问题的能力。 本将内容在复习时，命要在思想方法上下功夫。预测 2017 年的高考命题趋势：题1从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角走结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答题以含向参数的

2、不等式的证明、求解为主；a2利用基本不等式解决像函数 f （x） x, （a 0） 的单调性或解决有关最值问题x是考察的重点和热点，应加强训练。教学多媒体课件准备1不等式的性质教比较两实数大小的方法求差比较法学a b a b 0 ；过a b a b 0 ；程a b a b 0。定理 1：若 a b，则 b a；若b a，则 a b即a b b a。说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。定理 2：若 a b，且 b c，则 a c 。 说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理 2 称不等式的传递性。定理 3：若 a b ，则

3、 a c b c。说明：（ 1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；（2）定理 3的证明相当于比较 a c与 b c的大小，采用的是求差比较法；（ 3）定理 3 的逆命题也成立； （4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。定理 3 推论：若 a b,且 c d,则a c b d 。 说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3 然后由定理 2 证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相 加，所得不等式与原不等式同向； （ 3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异 向不等式：两个不等号方向相反的不

4、等式。定理 4如果 a b 且 c 0，那么 ac bc ；如果 a b且 c 0，那么 ac bc。 推论 1：如果 a b 0且c d 0，那么 ac bd 。说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等 号方向改变； （2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式 同向；（ 3）推论 1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这 就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式 同向。推论 2：如果a b 0，那么 a nb n (n N且n1)。定理 5：如果a b 0，那么 n an

5、b ( n N且n1)。2基本不等式定理 1：如果 a, bR ，那么 a2 b22ab （当且仅当 ab 时取“ ”）。说明：（1）指出定理适用范围：a,bR ；（ 2）强调取“”的条件 ab。定理 2：如果 a, b是正数，那么ab2ab （当且仅当 ab时取“=”）说明：（1）这个定理适用的范围： a,b R ；（2）我们称 a b 为a,b的算术平均2数，称 ab为 a, b的几何平均数。 即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3常用的证明不等式的方法（1）比较法比较法证明不等式的一般步骤： 作差变形判断结论； 为了判断作差后的符号， 有时要把这个差变形为一个常数，或者变形

6、为一个常数与一个或几个平方和的形式，也 可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。（2）综合法 利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的 性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等 式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。综合法证明不等式的逻辑关系是： A B1 B2Bn B ，及从已知条件A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B 。（3）分析法证明不等式时， 有时可以从求证的不等式出发， 分析使这个不等式成立的充分条件， 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都

7、已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把 证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然 后用综合法的形式写出证明过程。典例解析题型 1：考查不等式性质的题目例 1（1）如果 a 0,b 0 ，那么，下列不等式中正确的是（ ）（A） 1 1（B） a b（C） a2 b2（D）| a| | b |ab（2）设 a、b、 c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（A）|a b| |a c| |b c|（B） a

8、2 12 a 1a 2 a（C） |a b| 1 2（ D） a 3 a 1 a 2 aab解析：（1）答案： A；显然 a 0,b 0 ，但无法判断 a,b与|a|,|b|的大小；（ 2）运用排除法， C选项 a b12，当 ab<0 时不成立，运用公式一定ab要注意公式成立的条件，如果a,b R,那么a2 b2 2ab（当且仅当 a b时取" "号） ，如果 a,b 是正数，那么 a bab（当且仅当 a b时取 " "号）.2 点评：本题主要考查 . 不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合 选择支，才能得出正确的结论。例 2（

9、1）设 a，b，c，d R，且 a>b，c>d，则下列结论中正确的是（abA. a+c>b+dB.ac>b dC. ac>bdD.dc（ 2）若 a<b<0，则下列结论中正确的命题是（ ）11A和11 均不能成立ab|a|b|1111B.和均不能成立abb|a|b|均不能成立C. 不等式11和1 2 1 2 （ a+ ） 2>（ b+ ） 2均不能成立ababaD.不等式11和（1 2 1 2 a+ ） >（ b+ ） 均不能成立|a|b|和（ab解析：（1）答案： A；a>b，c>d， a+c>b+d；（2）答案：B解析

10、： b<0， b>0， a b>a，又 a b<0， a<0，11aba1ab不成立。aa<b<0，|a|>| b| ，111故|a| |b| 故|a|1不成立。由此可选 B。|b|1 11 2 1 2另外， A中成立.C与 D中（a+ ）2>（b+ ）2成立。a bb a111111a<b<0，<0，a+ <b+ <0，|a+ |>|b+bababa其证明如下：1 2 1 2 故（ a+ ）2>（b+ ） 2。ba点评：本题考查不等式的基本性质。题型 2：基本不等式a2 b2例 3 “ a>

11、b>0”是“ ab< ab ”的（ ）2（A） 充分而不必要条件（C） 充分必要条件（ B） 必要而不充分条件（D） 既不允分也不必要条件解析： A； a2 b2 2ab 中参数的取值不只是指可以取非负数。均值不等式满足abab,（a 0,b 0） 。2 点评：该题考察了基本不等式中的易错点。例4（1）若实数 a、b满足a+b=2，则 3a+3b的最小值是（）A.18B.6C.2 3 D.2 4 31 a b（2）若 a> b>1，P lga lgb ，Q 1（lg a lg b），Rlg （ a b ），则（ ） 22A. R< P< QB. P<Q

12、<RC. Q< P< RD.P< R<Q解析：（ 1）答案： B；3a+3b2 3a 3b 2 3a b =6，当且仅当 a=b=1 时取等号。 故 3 +3 的最小值是 6；1（ 2）答案： B；lg a>lg b>0， 1 （lg alg b）> lga lgb ，即 Q> P，2又 a> b>1， a b2ab ， lg(a2b) lg ab1( lg a lg b)，2即 R> Q，有 P< Q< R，选 B。点评：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件。题型3：不等式的证明1 25b+

13、1 ) 25 。b41 例 5已知 a> 0， b> 0，且 a+b=1 求证 （ a+ ）（a证法一： （ 分析综合法） 欲证原式，即证 4(ab) 2+4( a2+b2) 25ab+40，21即证 4(ab) 2 33( ab)+8 0，即证 ab 或 ab84a>0，b>0，a+b=1， ab8不可能成立1 1=a+b2 ab ， ab ，从而得证。4证法二： （ 均值代换法 ）设 a=1+t 1，b=1+t 2。 22a+b=1，a>0，b>0，t1+t2=0，|t 1|<12，|t2|1<，21 1 a2 1(a 1)(b 1) a 1

14、a b a(12 t2)21 t222121)( t2 t224t222( t1)2 121t121(1 t1 t14b2 1b(14t1t122 t2 t22 1)1)11(12 t1)(21 t2) (54 t2 )2 t21425 3 2 4 t2 t216 2 2 21 t224 t2t22显然当且仅当 t =0，2516 25.1 4 .4即 a=b=1 时，等号成立。2证法三： （ 比较法 ）a+b=1，a>0，b>0，a+b2 ab，1 1 25 a2 1 b2 (a )(b )a b 4 a b11 25(a )(b )ab41 254ab 1 ，44a2b2 33

15、ab 84ab(1 4ab)(8 ab) 04ab证法四： （综合法 ）a+b=1， a>0，b>0， a+b2ab ，1ab ，41 ab1 4 4 (1 ab)(1ab)22516(116ab)2 1ab25ab即(a )(b a1 25)。b4证法五：（三角代换法 ） a>0，b>0，a+b=1，故令a=sinb=cos 2(0， 2 )，1(a )(basin11b)cos4(sin22sin2sin2 21,4sin2 24 2sin22162511sin22444sin22即得(a 1)(b 1) 25.a b 44sin 2 24 1 3.(4 sin2

16、2 )2 2524sin2 24)(cos2sin cos22(41cos2 ) cos22sin )16点评：比较法证不等式有作差 （商） 、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量 的二次式，则考虑用判别式法证。例 6求使 x y a x y （x>0，y>0）恒成立的 a的最小值。分析：本题解法三利用三角换元后确定 a 的取值范围，此时我们习惯是将x、y 与cos 、 sin 来对应进行换元，即令x =cos， y =sin （0 << ，这样也得2 asin +cos ，但是这种换元是错

17、误的其原因是： （1） 缩小了 x、y 的范围； （2） 这样换元相当于本题又增加了“ x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的。a 满足不等除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数关系， af(x) ，则 amin=f ( x) max 若 a f ( x) ，则 amax=f (x) min，利用这一基本事实，可以 较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题。还有三角换元法求最值用的恰当好 处，可以把原问题转化。解法一：由于 a 的值为正数，将已知不等式两边平方，得： x+y+2 xya2(x+y)，即 2 xy (a21)( x+y)，x，y>0，x+y2

18、xy ，当且仅当 x=y 时，中有等号成立。a2=2，比较、得 a 的最小值满足 a21=1，a= 2 ( 因 a>0) ， a的最小值是 2 。解法二：x y ( x y)2x y 2 xyx y x yxy设u1 2 xy xyx>0，y>0，x+y2 xy ( 当 x=y 时“ =”成立 )，2 xy 1， 2 xy 的最大值是 1。 x y x y从而可知， u的最大值为 1 1 2 ，又由已知，得 au， a的最小值为 2 ， 解法三： y> 0，原不等式可化为x +1 a x 1 ，yyx设=t an，(0， ) 。y2tan +1 a tan2 1，即 t

19、 an+1asec asin +cos= 2 sin( + ) ，4又 sin( + )的最大值为 1(此时 = ) 。44 由式可知 a 的最小值为 2 。点评：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力。该题实质 是给定条件求最值的题目，所求 a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式 的有关性质把 a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想 和重要不等式等求得最值。题型 4：不等式证明的应用例 7已知函数 f (x)=x 3+ x 3，数列 xn (x n >0)的第一项 x n 1，以后各项 按如下方式取定： 曲线 x=f (x) 在

20、(xn1,f(xn 1)处的切线与经过 (0，0)和(xn,f (xn) 两点的直线平行(如图)求证：当 n N*时，()x2nxn3xn212xn1;()(1)n1xn(1)n222证明：(I )因为 f '(x) 3x2 2x,所以曲线 y f(x)在(xn1,f(xn1)处的切线斜率 kn1 3xn21 2xn 1. 因为过 (0,0) 和(xn, f(xn)两点的直线斜率是 xn2 xn, 所以 xn2 xn 3xn 12 2xn 1.(II )因为函数 h(x) x2 x 当 x 0 时单调递增，2 2 2 2而 xnxn3xn 12xn 14xn 12xn 1(2xn1)2

21、xn 1，所以 xn 2xn 1 ，即 xn 1 1,xn2因此 xnxnxn 1xn 1 xn 2x2x1(12)n又因为 xn2 xn2( xn2 1xn 1), 令 yn2 xnxn,则 yn 1 1n1yn22因为 y1 x121 n 1x1 2,所以 yn (2)n 1y1(12)n2.因此 xn xn2xn (12) n2 1 n 12,故(21)n1xn(12)n2.点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明， 同时考查逻辑推理能力。2例 8已知 a> 0，函数 f （ x） ax bx2。（1）当 b>0 时，若对任意 xR都有 f （

22、x） 1，证明 a2 b ；2）当 b>1时，证明：对任意 x0，1，| f（x）| 1的充要条件是 b1 a2 b；3）当 0< b1时，讨论：对任意 x 0， 1，| f （ x）| 1的充要条件。）证明：依设，对任意xR，都有 f （ x） 1，a2f (x) b(x 2ab)22 a 4b ，2aa f ( ) 1，a>0，b>0， a2 b 2b 4b）证明：必要性：对任意x0，1，| f（x）| 1 1 f （ x），据此可以推出1 f（1），即 ab1， ab1；对任意 x 0，1，| f（x）|1 f（x）1，因为 b>1，可以推出 f （ 1 ）

23、1 1，即 a· 1 1， a2bb；b1 a2 b 充分性：因为 b> 1， a b1，对任意 x 0，1，2 2 2可以推出： axbx2b（xx2）x x 1，即 axbx21；因为 b> 1， a2 b ，对任意 x 0，1，可以推出 axbx22 b x bx21，2即 ax bx21。 1 f （x） 1。综上，当 b>1时，对任意 x0，1，| f（x）| 1的充要条件是 b1 a2 b （）解：因为 a>0， 0< b1时，对任意 x 0，1：2f（x） ax bx2 b 1，即 f（x） 1；f （ x）1 f （ 1）1 a b1，即

24、 a b 1，2ab1 f（x）（ b1）xbx21，即 f （x）1。所以，当 a> 0， 0<b1时，对任意 x 0， 1， | f （ x）| 1的充要条件是 ab 12222. 解：原式（xa）（xa2）< 0， x1a，x2a2。2 2 2当 a=a 时，a=0或 a=1， x ，当 a<a 时，a>1或 a<0，a<x<a， 当 a>a2时 0<a<1，a2<x< a，2 2 2当 a<0 时 a< x<a2，当 0<a<1 时， a2< x<a，当 a>1

25、 时， a<x<a2，当 a=0 或 a=1 时， x 。点评：此题考查不等式的证明及分类讨论思想。题型 5：课标创新题例 9三个同学对问题“关于 x的不等式 x225| x35x2| ax在上恒成立， 求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路。甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”； 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”；丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图像”；参考上述解题思路， 你认为他们所讨论的问题的正确结论， 即 a的取值范围是。答案： a10。点评：该题通过设置情景，将不等式知识蕴含在一个对话情景里面，考

26、查学生阅读 能力、分析问题、解决问题的能力。例 10在 m（m2）个不同数的排列 P1 P2 Pn中，若 1i<jm时 Pi >Pj （即前面 某数大于后面某数） ，则称 Pi与 Pj 构成一个逆序 . 一个排列的全部逆序的总数称为该排 列的逆序数 . 记排列 （n 1）n（n 1） 321的逆序数为 an，如排列 21 的逆序数 a1 1，排列 321 的逆序数 a3 6。）求 a4、a5，并写出 an 的表达式；)令 bn an an 1 ，证明 2n b1 b2bn 2n 3， n=1,2,an 1 an2 1 n(n 1)2解 ()由已知得 a4 10,a5 15， an

27、n (n 1)）因为 bnanan 1 nan 1ann 22,n 1,2,所以 b1 b2bn 2n .又因为 bnnn n 2 2 2 2 ,n2n n n 2所以b1 b222n 322n3。n1n2综上，2nb1b2bn 2n 3,n 1,2,1,2, ，1 1 1 111bn 2n 2( ) ( )( )1 3 2 4nn2。点评：该题创意新，知识复合到位，能很好的反映当前的高考趋势。思维总结1不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最 基本的方法。（1）比较法证不等式有作差 （商） 、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式 分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量 的二次式，则考虑用判别式法证；（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为 前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。2不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、 判别式法、数形结合法等。换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时， 要注意代换的等价性。 放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一， 放缩要有的放矢， 目标可以从要证的结论中考查。有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证 法 凡是含有“至少”、