高一数学解三角形知识点总结及习题测验练习

1、解三角形一、根底知识梳理一 a b c1正弦定理：=2R R为厶ABC外接圆半径，了解正弦定理以sin A sin B sinC下变形：2aba 2Rs inA,b 2Rsi nB,c 2Rs inCa .cbcsin A,sinB-,sinC2R2R2Ra :b: csi nA:sin B:sinCabca b csin Asin BsinCsin Asin B sinC3.余弦定理：a2b2c22bccosAcosAb22c2a2bcb22c2a2accosBcosB2c2ab22ca2c2ab22abcosCcosC2 ab22c最吊用三角形面积公式： Sabc aha -abs inC

2、 - acs in B - bcsi nA2 2 2 22正弦定理可解决两类问题：两角和任意一边，求其它两边和一角；唯一解2.两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.解可能不唯一了解：a, b和A,用正弦定理求 B时的各种情况：4.余弦定理可以解决的问题：1 三边，求三个角；解唯一2 两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角解唯一：3两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.解可能不唯一2课前热身1.教材习题改编 ABC中，a=g b=J3, B = 60°那么角 A等于A.135 °B.90 °C.45 °D.30 °

3、;2.在厶ABC中，a2.2 2b cbc,那么A等于)A.60° B .45° C.120 °D .30°3. 在 ABC 中，假设 A = 120 ° AB = 5, BC = 7,那么 ABC 的面积是3 .315 .315 .315 . 3A. 4 B. 2 C. 4 D. 84. 2022年高考广东卷a, b, c分别是 ABC的三个内角 A, B, C所对的边，假设a= 1, b = 3, A+ C= 2B,贝U sinA=.5.5. 在 ABC中，如果 A= 60° c=Q2, a = 76,那么厶ABC的形状是 .3考

4、点突破考点一正弦定理的应用利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是两角和一角的对边，求其他边角；二是两边和一边的对角，求其他边角.例1、12022年高考山东卷在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c.假设a=磁，b = 2, sin B+ cos B=2，那么角 A 的大小为.满足A= 45° a= 2, c=Q6的厶ABC的个数为 .考点二余弦定理的应用利用余弦定理可解两类三角形：一是两边和它们的夹角，求其他边角；二是三边求其他边角由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的.例2、在厶ABC中，内角A, B, C对边的边长分别是 a, b, c,c=

5、 2, C= n31假设厶ABC的面积等于，3，求a, b的值；假设sinB= 2$"人，求厶ABC的面积.考点三 三角形形状的判定判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考， 主要看其是否是正三角形、等 腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形与“等 腰三角形或直角三角形的区别.例3、(2022年高考辽宁卷)在厶ABC中，a, b, c分别为内角 A, B, C的对边，且2asin A = (2b + c)sin B + (2c + b)sin C.求A的大小； 假设sinB + sinC = 1，试判断厶ABC的形状.互动探究1假设本例条件变

6、为：sinC = 2si n(B + C)cosB，试判断三角形的形状.方法感悟：方法技巧解三角形常见题型及求解方法a b c(1)两角 A、B与一边a,由A + B+ C= 180 °及打敢=打石=sinC，可求出角 C 再求出b,c.两边b, c与其夹角A，由a2= b2+ c2 2bccosA,求出a,再由正弦定理，求出角B,C.(3)三边a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.ab两边a、b及其中一边的对角A,由正弦定理snB求出另一边b的对角B,由Cacab=n(A+ B),求出C,再由snA =尿，求出c,而通过snA =而求B时，可能出现一解,两解或无解的情况，其判断

7、方法如下表：4=90°r 一解r 一解一解ab一解a<b两解aAsim/l一解a<bsinA无解失误防范1用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解.2要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，那么必有一角为60°假设三内角的正弦值成等差数列，那么三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA =A B + C _sin(B + C), cosA= cos(B+ C), sin = cos-, sin2A= sin2(B + C), cos2A = cos2(B+ C)等.3 对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当

8、“放缩.五、标准解答(此题总分值12分)(2022年高考大纲全国卷n )在厶ABC中，D为边BC上的一点，BD=5333, sinB=乜，cos/ ADC= 5,求 AD 的长.3n【解】由cos/ ADC = >0知/ B<r,5212 4由得 cosB= 12, sin/ ADC = 4, 4 分13 5从而 sin/ BAD = sin( / ADC / B)=sin / ADCcosB cos/ ADC sinB4 123 533 八=一 一一一 一=9 分5 13 5 1365 分由正弦定理得佬=BD ；,sinB sin / BAD所以AD=BDs inBsin / B

9、AD33=25.12 分65【名师点评】此题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查此题从所处位置及解答过程来看，难度在中档以下， 只要能分析清各量的关系，此题一般不失分出错的原因主要是计算问题.名师预测1 .在 ABC 中,2、23C._63a = 15, b= 10, A = 60° 贝U cosB =( B麵3.6DE2 . ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且 Sabc=a2+ b2 g24，那么角C=3.在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2b c) cosA acosC= 0.

10、(1)求角A的大小；假设a = . 3, Saabc=，试判断厶ABC的形状，并说明理由.解：(1)法一：T (2b c)cosA acosC= 0,由正弦定理得，(2si nB si nC)cosA sin AcosC = 0,/ 2si nBcosA si n(A + C) = 0,即 sinB(2cosA 1) = 0./ 0<B< n,1 sinB 和,/ cosA =n 0<A<n A法二：/ (2b c)cosA acosC = 0,由余弦定理得,=0,b2+ c2 a2a2+ b2 c2(2b c) 2bC a 20b整理得 b2+ c2 a2= bc,c

11、osA =b2+ c2 a22bc=12.n os, A= n(2) 1Sa abc = bcsi nA =3 .3T，即 bcsinn=冷3,bc= 3,/ a2= b2 + c2 2bccosA, b2 + c2 = 6,由得b= c= 3, ABC为等边三角形.课后作业A. 900B. 1200C. 1350 D. 15001在厶ABC中，角代B均为锐角，且cosA sin B,那么厶ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()3在Rt ABC中，C 900，那么sin AsinB的最大值是 .4在厶ABC中，假设a b bc c ,那么A .5 ABC的三个内角分别为 A, B, C,向量m (sin B,1 cosB)与向量n (2,0)夹1角的余弦角为-.2(I)求角B的大小；(n)求s