线性方程组与矩阵秩的若干问题

1、线性方程组与矩阵秩的若干问题线性方程组与矩阵秩的若干问题 福建师范大学数计学院代数教研室 肖民卿 2008年10月引言引言矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的，它是矩阵的最重要数字特征之一。这里，我们结合“矩阵与线性方程组”的教学讨论以下内容：矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用；矩阵秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等号成立的充分必要条件。一一. .线性方程组解的判定定理在解析几何线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用中的一个应用m个方程n个未知元的线性方程组一般表示为：11 11221121 1222221 122(1)n

2、nnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb 线性方程组(1)的矩阵表示为：Axb 其中，111211121222221211121121222212,nnmmmnnmnnmmmnmaaaxbaaaxbaaaxbaaabaaabaaab AxbAA b线性方程组有解的判定定理 线性方程组(1)有解的充分必要条件是()rr AA 这里， 表示矩阵 的秩。特别地， 若 ，则线性方程组(1)有唯一解； 若 ，则线性方程组(1)有无穷多解。()()rrnAA()()rrnAA( )r AA 利用上述定理，可以简洁刻画一般方程表示的几何空间中直线及平面的位置关系。 1. 直

3、线与直线的位置关系 设几何空间中两条直线的方程分别为1111122220:0a xb yc zdLa xb yc zd3333244440:0a xb yc zdLa xb yc zd 这样， 与 的位置关系取决于线性方程组 解的情况。记1L2L11112222333344440000a xb yc zda xb yc zda xb yc zda xb yc zd1111111222222233333334444444,abcabcdabcabcdabcabcdabcabcdAA则有如下结论： （i） 与 相交1L2L()()3rrAA （ii） 与 重合1L2L()()2rrAA （iii）

4、 与 平行1L2L()2,()3rrAA （iv） 与 异面1L2L()3,()4rrAA 2. 直线与平面的位置关系 设几何空间中直线和平面的方程分别为111122220:0a xb yc zdLa xb yc zd:0axbyczd 记11111112222222,abcabcdabcabcdabcabcdAA则有如下结论： （i） 与 相交L()()3rrAA （ii） 在 上L()()2rrAA （iii） 与 平行()2,()3rrAAL 3. 三个平面的位置关系 设几何空间中三个平面的方程分别为22222:0a xb yc zd 记111111122222223333333,abc

5、abcdabcabcdabcabcdAA11111:0a xb yc zd 33333:0a xb yc zd 则有如下结论： （i）三个平面有一个公共点()()3rrAA （ii）三个平面有一条公共直线()()2rrAA （iii）三个平面平行 ()1,()2rrAA （iv）三个平面构成三棱柱 ()2,()3rrAA二二. . 矩阵秩不等式中的一些问题矩阵秩不等式中的一些问题关于矩阵的秩,有两个重要的不等式. lSylvester不等式：设 、 、 分别是 、 、 矩阵. ABCmnnllp( )( )()min( ( ), ( )rrnrrrABABABlFrobenius不等式：()(

6、)( )()rrrrABBCBABC 问题： 在这两个不等式中等号成立的条件是什么？ 即以下等式成立的条件分别是什么？ ( )( )()rrnrABAB()( )rrABB()( )rrABA()()( )()rrrrABBCBABC 许多教材以习题方式给出等式成立的充分必要条件：当且仅当齐次线性方程组 与齐()( )rrABB0Bx次线性方程组 同解.0ABx 利用这一结果，可以得到等式成立的充分必要条件： 当且仅当齐次线性方程组 与齐次线性方程组 同解.()( )rrABAT0A xTT0B A x 对于等式和等式，文献3、文献4均做了研究，给出等式成立的充分必要条件. 文献3的结论：()

7、( )( )rrrnABAB的充分必要条件是存在矩阵 和 ，使得 .XYXABYI()()()( )rrrCrABCABBB的充分必要条件是存在矩阵 和 ，使得 . 其中， 是XYXAHLCYIBHL 的任意取定的一个满秩分解.B 文献4的结论：()( )( )rrrnABAB的充分必要条件是,对于齐次线性方程组 的任一解 ,都存在 使得 .或0Ax()()()( )rrrCrABCABBB的充分必要条件是,对于齐次方程组 的任一形如 的解,都存在 ,使得 .B者说, 的零空间包含于 的象空间,即 .AB( )( )ABNU0AxBBCB 文献5利用矩阵的广义逆，分别给出等式等式成立的充分必要

8、条件. 引理引理1 对于任意适维矩阵 、 、 ，有A)()()()arrr ABIAA CABIAA C)()( ()()brrr BABAC IA AC IA ACB这里列出其主要结果： 引理引理2 对于任意 、 ，有A)()( )()()( )arrrrr ABAIAABIBBABB)( )( ()( ()( )brrrrr AAB IA ABA IB BB 引理引理3 设 有n列， 有n行，则对任意 、 ， 有AB0( )( )( )( )()()()rrrIrrrrrnr AABIA ABABIBBABIBBIA AABAB 定理定理1 在Sylvester不等式中，对任意 、 ， 有

9、AB()( )arr AABBIBB( )()( )( )()()0c rrrn ABABIBBIA A)()( )brr ABABIA A为列满秩；为行满秩； 引理引理4 对任意 、 ，有()AB0()()() ) () ()( )()rrrrrrABBCBABBCIBCBCB IABABBABC()BC 定理定理2 在Frobenius不等式中，对任意 、 ，有()AB()BC()()()( )()() ) () ()0rrrrABCABBCBIBCBCB IABAB参考文献参考文献1 陈志杰. 高等代数与解析几何M. 北京: 高等教育出版社, 2000.2 丘维声. 高等代数(第二版) M. 北京: 高等教育出版社, 2002.3 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记J. 武汉科技大学