正方形性质与判定

1、 正方形正方形矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形有一个角是直角有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等回顾：特殊的平行四边形回顾：特殊的平行四边形矩 形正方形邻边邻边相等相等发现：发现： 一组邻边相等一组邻边相等的矩形叫正方形的矩形叫正方形 菱菱 形形一个角一个角是直角是直角正方形发现：发现： 一个角为直角的一个角为直角的菱形叫正方形菱形叫正方形正方形的定义：正方形的定义：有一组有一组邻边相等邻边相等并且有一个角是并且有一个角是直角直角的的平行四边形平行四边形叫做正方形叫做正方形有一个角是有一个角是直角直角的的菱形菱形叫做正方形叫做正方形有一组有一组邻边相等邻边相等的的矩形矩形叫正方形叫正

2、方形正方形即是特殊的平行四边形又是特正方形即是特殊的平行四边形又是特殊的矩形和菱形殊的矩形和菱形 平行四边形，矩形，平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系菱形，正方形的关系!菱形菱形矩形矩形平行四边形平行四边形正正形形方方正方形具有平行四边形、矩正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质形、菱形的所有性质正方形有哪些性质？正方形的性质正方形的性质边边角角对角线对角线对称性对称性图图形形语语言言 文文字字语语言言 符符号号语语言言ACDBACDBACDBO对边平行，对边平行， 四条四条边都边都相等相等 四四 个个 角角 都是直角都是直角对角线互相垂直对角线互相垂直平分且相等，每平分且相等，每条对角

3、线平分一条对角线平分一组对角组对角四边形四边形ABCD是正方形是正方形ABCD ADBC, AB=BC=CD=AD四边形四边形ABCD是正方形是正方形A=B=C=D=90四边形四边形ABCD是正是正方形方形ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD轴对称图形轴对称图形CDBA正方形对边平行正方形对边平行且四条边相等且四条边相等数学语言：数学语言：四四边形边形ABCD是正是正方形方形ABCD ADBC, AB=BC=CD=AD正方形四个角都是直角数学语言：数学语言：四边形四边形ABCD是正方形是正方形A=B=C=D=90ABCD对角线互相垂直平分且相等，每对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平

4、分一组对角条对角线平分一组对角四边形四边形ABCD是正是正方形方形ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD1 1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） （A A）四条边相等）四条边相等 （B B）对角线互相垂直平分）对角线互相垂直平分 （C C）对角线平分一组对角）对角线平分一组对角 （D D）对角线相等）对角线相等2 2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） （A A）四个角相等）四个角相等 （B B）对角线互相垂直平分）对角线互相垂直平分 （C C）对角线相等）对角线相等 （D D）对角互补）对角互补3

5、 3、如图：正方形、如图：正方形ABCDABCD的周长为的周长为15cm15cm，则矩形，则矩形EFCGEFCG的周长的周长 为为 cmcm。 ABCDEGFDB7.57.56.正方形正方形ABCD中，中，M为为AD中点，中点，MEBD于于E，MFAC于于F,若若ME+MF =8cm，则，则AC=_.课堂练习课堂练习4.已知正方形已知正方形ABCD中中,AC=10,P是是AB上一点上一点,PEAC于于E，PFBD于于F,则则PE+PF=_.53016cm5.以正方形以正方形ABCD的边的边DC向外作等边向外作等边DCE,则则AEB=AEB=PABCDEFOEABCDMABCDEFO分析分析7.

6、 已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD为正方形，为正方形，E、F分别为分别为CD、CB延长线上的点，且延长线上的点，且DE=BF。 求证：求证：AFE=AEF。ABCDEF如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中AE与BF的关系。A AB BC CD DE EF FG G 你觉得什么样的四你觉得什么样的四边形是正方形呢边形是正方形呢?( ?( 判判断一个四边形是正方断一个四边形是正方形有哪些方法？）形有哪些方法？）平行四边形平行四边形正方形正方形一组邻边相等一组邻边相等且一内角是直角且一内角是直角1 1、 正方形正方形菱形菱形 2 2、一内角是直角一内角是直

7、角矩形矩形3 3、一组邻边相等一组邻边相等正方形正方形平行四边形平行四边形正方形正方形对角线垂直且相等对角线垂直且相等4 4、 矩形矩形6 6、对角线垂直对角线垂直正方形正方形正方形正方形菱形菱形对角线相等对角线相等5、正方形的判正方形的判定定1、有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。2、一组邻边相等的矩形是正方形。3、有一个角是直角的菱形是正方形。4、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。5、对角线相等的菱形是正方形。6、对角线垂直的矩形是正方形。总之，既是矩形又是菱形的四边形是正方形总之，既是矩形又是菱形的四边形是正方形(1)(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的

8、正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形（等腰直角三角形（ ）(2)(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）(3)(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形是正方形 （ ）(4)(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形一定是正方形 （ ）(5)(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（是正方形（ ）1不能判定四边形是正方形的是（）A对角线互相垂直且相等的四边形 B对角线互相垂直的矩形C对角

9、线相等的菱形 D对角线互相垂直平分且相等的四边形2、（绵阳）四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是（）AAB=BC=CD=DA BAO=CO，BO=DO，ACBDCAC=BD，ACBD且AC、BD互相平分 DAB=BC，CD=DAAC3.已知四边形ABCD是菱形，则只须补充条件： （用字母表示）就可以判定四边形ABCD是正方形4.已知四边形ABCD是矩形，则只须补充条件： （用字母表示）就可以判定四边形ABCD是正方形例例2.已知已知:如图如图,ABC中中.ABC=90,BD是角平分是角平分线线,DEAB,DFBC,垂足分别是垂足分别是E、F.FABCDE求证：四边形求证：

10、四边形DEBF是正方形是正方形.证明证明: DEAB,DFBCBED=BFD=ABC=900,四边形四边形DEBF是矩形是矩形, BD平分平分ABC,且且 DFBC , DEAB, DE= DF, 四边形四边形DEBF是正方形是正方形. （有一组邻边相等的矩形是正方形）（有一组邻边相等的矩形是正方形）例例3 3：在正方形中，点：在正方形中，点 ， ， ， 分别是，分别是，的中点，四边形的中点，四边形 是正方形吗？是正方形吗？为什么？为什么？DCB 变式训练：正方形中，点变式训练：正方形中，点 ， ， ， 分别在，上，分别在，上，且且 .四边形四边形 是正方形吗？为什么？是正方形吗？为什么？DC

11、BADCBA变式练习:正方形中，对角线正方形中，对角线AC和和BD交于点交于点O，点，点，分分别是别是O，O，O，O的中点，判断的中点，判断四边形四边形的形状。说明原因的形状。说明原因DCBO变式练习:正方形中，对角线正方形中，对角线AC和和BD交于点交于点O，点，点，分别在分别在AC、BD上，且上，且=.判断四边形判断四边形的形状的形状DCBO例例3：（淄博）已知：如图，在：（淄博）已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，ADBC，垂足为点，垂足为点D，AN是是ABC外角外角CAM的平分线，的平分线，CEAN，垂足为点，垂足为点E，（1）求证：四边形）求证：四边形ADCE为矩形；（为矩形；（

12、2）当）当ABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形ADCE是一个正是一个正方形？并给出证明方形？并给出证明例例4、如图，、如图，ABC中，点中，点O是是AC边上一个动点，过点边上一个动点，过点O作直线作直线MNBC，设，设MN交交BCA的平分线于的平分线于E，交，交BCA的外角平分线于点的外角平分线于点F.(1)求证：求证：EO=FO(2)当点当点O运动到何处时，四边形运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你是矩形？并证明你的结论的结论.(3) 当点当点O运动到何处时，四边形运动到何处时，四边形AECF是有可能是正方是有可能是正方形？并证明你的结论形？并证明你的结论. 边边角角对对 角角 线线对对 称称 性性平平 行行四边形四边形 矩矩 形形菱菱 形形正方形正方形几种特殊四边形的性质几种特殊四边形的性质 对边平行对边平行 且相等且相等对边平行对边平行 且相等且相等对边平行对边平行四边相等四边相等对角相等对角相等邻角互补邻角互补 四个角四个角都是直角都是直角对角相等对角相等邻角互补邻角互补对角线互相平分