小学奥数几何(燕尾模型)

1、目M归燕尾定理：例题精讲page25of18在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O,那么，S:S=BD:DCAABOAACO上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为AABO和AACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径通过一道例题证明燕尾定理:如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S:S=S:S=BD:DC1423【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S:S=BD:DC；亠14三角形ABE与

2、三角形EBD同高，S:S=ED:EA；_亠12三角形ACE与三角形CED同高，S:S=ED:EA，所以S:S=S:S；431423综上可得，s:S=S:S=BD:DC.1423【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1,E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2，AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于.C【解析】方法一：连接CF,根据燕尾定理，SACF设S=1份，则SBDFDCF5BDDC2=2份，SABF=SCBF3份，SSABF所以S=SDCEF12ABC12方法二：连接DE，由题目条件可得到S些=1,ECAEFEFCABD3ABC-S=1

3、，所以BFSABD=-3ABC3FESADE11111x-xSX一XxS3显SS=S=-XADE2ADC2S=xSDEF2DEB23BEC232ABC12=1而S=-x-xSCDE32ABC3=3份，如图所标=1所以则四边形DFEC的面积等于丄12【巩固】如图，已知BD=DC,EC=2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，（法一）连接CF，因为BD=DC,EC=2AE，三角

4、形ABC的面积是30,所以S=丄S=10，SABE3ABCABDAE1根据燕尾定理，ABF=SCBF所以S=1S=7.5，SABF4ABCBFDEC2=丄S=15-2ABCS/ABF=SACFBDCD=15-7.5=7.5,所以阴影部分面积是30107.5=12.5.（法二）连接DE，由题目条件可得到S=1S=10,ABE3ABC112，所以AFS1BDE2BEC23ABCFDS1BDES_xS_xxS_xxxS_2.5，DEF2DEA23ADC232ABC而S_2x1xS_10所以阴影部分的面积为12.5.CDE32ABC【巩固】如图，三角形ABC的面积是200cm2,E在AC上，点D在BC

5、上，且AE:EC=3:5,BD:DC=2:3,AD与BE交于点F则四边形DFEC的面积等于.C【解析】连接CF,根据燕尾定理，SACF26=DC39BDAE36EC5一10S ABFS CBF_10份，S_9x丄EFC设s_6份，则s_9份,sABFACFBCF所以S_200十(6+9+10)x(45+6)_8x(45+6)_93(cm2)DCFE88CDF2=10x=6份，2+3【巩固】如图，已知BD=3DC，EC=2AE，BE与CD相交于点O，则AABC被分成的4部分面积各占AABC面积的几分之几？CC【解析】连接CO,设S二1份，则其他部分的面积如图所示，所以S二1+2+9+18二30份

6、，所以四部AEOABC分按从小到大各占ABC面积的丄士：5二匕2=色空=230306030103020【巩固】（2007年香港圣公会数学竞赛）如图所示，在AABC中，CP=2CB,CQ=1CA,BQ与AP相交于点X,若AABC的面积为6，则ABX的面积等于【解析】方法一：连接PQ.氏BPQ_2氏BCQ_6氏ABC由于CP_1CB,CQ_1CA，所以S,_-S,23ABQ3ABCabc_4:1，由蝴蝶定理知，AX:XP_Sa:_-Sa:1SABQBPQ3ABC6所以S二4S二-X1S二-Sa二-X6二2.4.ABX5ABP52ABC5ABC5方法二：连接CX设S=I份，根据燕尾定理标出其他部分面

7、积，CPX所以S=6三(1+1+4+4)X4=2.4ABXCE=2AE,AD与BE相交于点F，请写出这4部分【巩固】如图，三角形ABC的面积是1,BD=2DC,的面积各是多少?【解析】连接CF，设S=1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以AEF1._6_2_8_2+4_221ABF217BDF21FDCE217SAEFSBD1SAE2ABF,ABF/SDC2SEC3ACFCBF【解析】连接CF，根据燕尾定理，S2份，SABF设S1份，则S2份，BDFDCF4份，AFCS4x-1.6AEF2+3【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC2:3,BD:DC1:2，AD与BE

8、交于点F四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积份,S4x-2.4份，如图所标，所以S2+2.44.4份,S2+3+49份EFC2+3EFDCABC所以S22三4.4x945(cm2)ABC【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知AC2,CD2,CB3,AMBM，那么三角形AMN(阴影部分)的面积为多少？【解析】连接BN.ABC的面积为3x2十23根据燕尾定理，ACN:ABNCD:BD2:1；同理HCBNCAN=BM:AM=1:1F是DG的中点阴影部分的面积是多少设AMN面积为1份，则HMNB的面积也是1份，所以ANB的面积是1+1=2份，而ACN的面积就是2x2=4份，CBN也

9、是4份，这样ABC的面积为4+4+1+1=10份，所以HAMN的面积为3十10x1=0.3.【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE,平方厘米?xyyBBGGCDE【解析】设s=1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示sDEF=S阴影12BCD12=5平方厘米.AB=3BE,AD=3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边【例2】如图所示，在四边形ABCD中,形BODC的面积为.:S=AF:FD=1:2zS:S=AE:BE=2:1，设S=1，ABOBDOAODBODBEO则其他图形面积，如图所标，所以S=2s=2x12=24.BODCAEOF【解析】连接AO,BD，根据燕

10、尾定理S【例3】ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G,贝0四边形AGCD的面积是平方厘米.=1份，根据燕尾定理得S=1份，S=1份，则S=(1+1+l)x2=6BGC正方形【解析】连接AC、GB，设SAGCAGB份，S=3+1=4份，所以S=122十6x4=96(cm2)ADCGADCG【例4】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是平方厘米【解析】连接BH，根据沙漏模型得BG:GD=1:2，设S=1份，根据燕尾定理S=2份，S=2份，BHCCHDBHD因此Sh七匸+2+2）x2=10份，S

11、=-+-=7,所以S=120一10x-=14（平方厘米）.正方形BFHG236BFHG6D是AE的中点，那么AF:FC=【例5】如图所示，在AABC中，BE:EC=3:1,【解析】连接CD.由于S:SABDBED根据燕尾定理,AF:FC=S=1:1，:SBCD:SABDBCDSBED=3:4,所以S:S=3:4.ABDBCD=3:4，【巩固】在AABC中，BD:DC=3:2,AE:EC=3:1，求OB:OE二?CC【解析】连接OC.因为BD:DC=3:2，根据燕尾定理，又AE:EC=3:1,所以s=4SAAOC3AAOE所以OB:OE=S:S=2:1.AAOBAAOE:S二BD:BC二3:2A

12、AOBAAOC334.贝gs=_S=_x_SAAOB2AAOC233，即S=-SAAOB2AAOC1二2SAAOEAAOE【巩固】在AABC中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求OB:OE=?C解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC.连接OC.因为BD:DC=2:1,根据燕尾定理，S:S=BD:BC=2:1，即S=2SAOBAOCAOBAOC又AE:EC=1:3，所以S=4s

13、.则S=2S=2x4S=8S,AAOCAOEAAOBAAOCAOEAAOE所以OB:OE=S:S=8:1.AAOBAAOE【例6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=1AB，CF=1BC，AF与CE相交于G,若矩形ABCD的面积为120，则AAEG与ACGF的34【解析】（法1）如图，过F做CE的平行线交AB于H，则EH:HB=CF:FB=1:3,所以AE=1EB=2EH,AG:GF=AE:EH=2，即AG=2GF,2所以S=1x-xS=2x-x1S口=10.AAEG33AABF22311且EG二HF二xEC二EC，故CG=GE，贝

14、QS=1xxS=5.3342ACGF2AAEG所以两三角形面积之和为10+5=15.（法2）如上右图，连接AC、BG.S:S=BE:AE=2:1,ABCGAACG根据燕尾定理，S:S=BF:CF=3:1AABGAACG而S=1So=60,AABC2ABCD所以SAABGS=x60=30,AABC2SABCGS=丄x60=20,AABC3贝US=1S=10,S=1S=5,AAEG3AABGACFG4ABCG所以两个三角形的面积之和为15.【例7】如右图，三角形ABC中，BD:DC=4:9，CE:EA=4:3，求AF:FB.【解析】根据燕尾定理得S:S=BD:CD=4:9=12:27 AOBAOC

15、S:S=AE:CE=3:4=12:16 AOBBOC（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S:S=27:16=AF:FBAOCBOC【点评】本题关键是把AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC=3:4,AE:CE=5:6，求AF:FB.【解析】根据燕尾定理得S:S=BD:CD=3:4=15:20 AOBAOCS:S=AE:CE=5:6=15:18 AOBBOC（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S:S=20:18=10:9=AF:FBA

16、OCBOC【巩固】如图，BD:DC=2:3,AE:CE=5:3，则AF:BF=【解析】根据燕尾定理有S:S=2:3=10:15,S:S=5:3=10:6，所以ABGACGABGBCGS:S二15:6二5:2二AF:BFACGBCG【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC=2:3，EA:CE=5:4，求AF:FB.【解析】根据燕尾定理得S:S=BD:CD=2:3=10:15 AOBAOCS:S=AE:CE=5:4=10:8 AOBBOC（都有AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S:S=15:8=AF:FBAOCBOC【点评】本题关键是把AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比

17、例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例8（2008年“学而思杯”六年级数学试题）如右图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2,且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为，三角形AGE的面积为，三角形GHI的面积为CC【分析】连接AH、BI、CG.由于CE:AE=3:2，所以AE=-AC，故S=-S5AABE5AABC5根据燕尾定理，S:S=CD:BD=2:3AACGAABGS:S:S=4:6:9，则S=AACGAABGABCGAACG19,S:S=CE:EA=3:2，所以ABCGAABG9SNBCG19那么S=-S=

18、-x=；AAGE5AAGC519959，贝0EG:EH=SAACH19同样分析可得S=:S=4:9,EG:EB=S:S=4:19，所以AACGAACHAACGAACBEG:GH:HB=4:5:10，同样分析可得AG:GI:ID=10:5:4,所以s=S=X-=1,S=S=X-=ABIE10ABAE1055AGHI19ABIE19519【巩固】如右图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积C6份C【解析】连接BG,S=AGC根据燕尾定理，S:S:SAGCBGC得S=4（份）,SBGCABG=AF:FB=3:2=6:4，SABGA

19、GCS=BD:DC=3:2=9:6=9（份），则SABC=19（份），因此AGCSABC19同理连接AI、CH得SABC19-6-6-6119BIC=SABC19所以=SABC三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是191919【巩固】（2009年第七届走进美妙的数学花园”初赛六年级）如图，AABC中BD=2DA,CE=2EB,AF=2FC，那么AABC的面积是阴影三角形面积的倍.【分析】如图，连接AI根据燕尾定理，S:S=BD:AD=2:1,S:S=CF:AF=1:2,ABCIAACIABCIAABI所以，S:S:S=1:2:4,AACIABCIAABI那么，S=-S=-SABCI1

20、+2+4AABC7AABC同理可知AACG和AABH的面积也都等于AABC面积的2，所以阴影三角形的面积等于AABC面积7的1_2x3=-，所以AABC的面积是阴影三角形面积的7倍.77【巩固】如图在AABC中,FBDCEAFAGHI的面积的值ABC的面积=2，求=2（份），S=4（份）则S=7（份），因此$agc=-伺理连接AI、CH得ABGABCS7ABC得SAGCS2 ABH=S7 ABC所以SABCS2ABIC=,S7ABC7-2-2-21【解析】连接BG,设S=1份，根据燕尾定理S:S=AF:FB=2:1，S:S=BD:DC=2:1，BGCAGCBGCABGAGC点评】如果任意一个三

21、角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【巩固】如图在AABC中,DC=EA=FB=1求GHI的面积的值DBECFA3求ABC的面积【解析】连接BG,设S=1份，根据燕尾定理S:S=AF:FB=3:1，S:S=BD:DC=3:1，BGCAGCBGCABGAGC得S=3（份），S=9（份），则S=13（份），因此agc=伺理连接AI、CH得AGCABGABCS13ABCS13S ABH=13fBICSS ABCABC所以注13-3-3-34SABCGHI=13

22、1313【巩固】如右图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=4:3，且三角形ABC的面积是74，求角形GHI的面积CC【解析】连接BG，S=12份AGC根据燕尾定理，S:SBGCAGC=AF:FB=4:3=12:9,S:S=BD:DC=4:3=16:12ABGAGC得S=9（份），S=16（份），则SBGCABGABCS=9+12+16=37（份），因此-gcSABC123712S同理连接AI、CH得SABCS37-12-12-121GHISABC所以371237SABCBIC=3737三角形ABC的面积是74，所以三角形GHI的面积是74x丄=237例9】两条线段把三角形分为

23、三个三角形和一个四边形，如图所示，则阴影四边形的面积是多少？三个三角形的面积分别是3，7，7，解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形设三角形为ABC,BE和CD交于F，则BF=FE，再连结DE.所以三角形DEF的面积为3设三角形ADE的面积为x,则x:(3+3)=AD:DB=(x+10):10，所以x=15，四边形的面积为18.方法二：设S=x，根据燕尾定理S:S=S:S，得到S=x+3，再根据向右下ADFABFBFCAFEEFCAEF飞的燕子，有(x+3+7):7=x:3，解得x=7.5四边形的

24、面积为7.5+7.5+3=18巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是-解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：2:S=(1+3):4，解得S=2-阴影阴影方法二：回顾下燕尾定理，有2:(S+4)=1:3，解得S=2.阴影阴影【例10】如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?【解析】设S=x，由题意知BD:DC=4:3根据燕尾定理，得BOFS:S

25、=S:S=4:3，所以S=x(84+x)=63+x， ABOACOBDOCDOACO44再根据S:S=S:S，列方程(84+x):(40+30)=(63+-x-35):35解得x=56ABOBCOAOECOE4S:35=(56+84):(40+30)，所以S=70 AOEAOE所以三角形ABC的面积是84+40+30+35+56+70=315【例11】三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分的面积【解析】令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN.在AABC中，根据燕尾定理，S:S=AE:CE=1:1,S:S=AD:BD=1:1,

26、ABMBCMACMBCM所以s=S=S=sABMACMBCN3ABC由于s=-S=-SS,所以BM:ME=2:1AEM2AMC2ABM在AEBC中，根据燕尾定理，S:S=BF:CF=1:1S:S=ME:MB=1:2BENCENCENCBN设S=1（份），则S=1（份）,S=2（份）,S=4（份）,CENBENBCNBCE所以S=1S=1S，S=1S=1S，因为BM:ME=2:1,F为BC中点,BCN2BCE4ABCBNE4BCE8ABC所以SBMN所以S=阴影2=xS3BNE3（11）+_S1128ABC8ABC=S24ABC=S/S=1S=1X1=1S12ABCBFN2BNC248ABC=丄

27、X15=3.125（平方厘米）24【例12】如右图，AABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M,AF与BG交于N，已知ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则AABC的面积是多少平方厘米？【解析】连接CM、CN根据燕尾定理，SABM:S=AG:GC=1:1，S:SCBMABMACM=BD:CD=1:3，所以S=1SABM5ABC再根据燕尾定理，S:S=AG:GC=1:1，所以SABNCBNAN:NF=4:3，那么ANG=X=,所以SS2AFC根据题意，有1S-S5ABC28ABC4+37FCGNABN:SFBN2V=4:3，所以:SFBN=xS7

28、4ABC28ABC=SCBN5AFC=7.2，可得S=336（平方厘米）ABC【巩固】（2007年四中分班考试题）如图，AABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点,若AABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是.【解析】由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积.连接CM、CN.根据燕尾定理，S:S=BF:CF=2:1，而S=2S，所以S=2S=4S，那AABMAACMAACMAADMAABMAACMAADM么BM=4DM，即BM=4BD.5那么SBMBFxx

29、SABMFBDBCABCD=电X2X1=土,S53215四边形CDMF471530另解：得出SAABM=2sAACM=4S后，可得S=S=丄丄=-AADMAADM5AABD5210=s四边形CDMFAACF-SAADM31030【例13】如图，三角形ABC的面积是1，请写出这9部分的面积各是多少?BD=DE=EC，CF=FG=GA，三角形ABC被分成9部分,【解析】设BG与AD交于点P,BG与AE交于点Q,BF与AD交于点M,BF与AE交于点N.连接CP,CQ，CM，CN.根据燕尾定理，s：sABPCBP=AG:GC=1:2，S:S=BD:CD=1:2，设SABPACP=1（份），则ABCAB

30、P5同理可得，s=-，S，而S=1/所以s21=3，s12ABQ7ABN2ABG3APQ7_5一35AQG一37同理，s=3s1，所以S1239/BPM一35BDM21四边形PQMN2一7一357013951151。1115s=/s=一,S=四边形MNED3357042四边形NFCE321426四边形GFNQ3216421=1+2+2=5（份），所以S121点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四【巩固】如图，AABC的面积为1,ABP边形JKIH的面积是多少?CDFEG【解析】连接CK、CI、根据燕尾定理，CJ.s：sAACKAABK=CD:BD=1：2所以s:sAAC

31、KAABK：sACBK=I：2：4，那么SsAABK1：sACBK1AACK=AG:CG=1:2，S=-SAAGK3AACK21类似分析可得SAAGI15又S:S=AF:CF=2:1AABJACBJ,S:S=BD:CD=2:1，可得SAABJAACJAACJ41117那么，SCGKJ42184根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为17，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为84SX2+S+SCGKJAAGIAABE=84x2+15+3=70，所以四边形jkih的面积为1-70=70【例14】如右图，面积为1的AABC中，BD:DE:EC=1:2:1,CF:FG:GA=1:2:1,AH:HI

32、:IB=1:2:1,求阴影部分面积【解析】设IG交HF于M,IG交HD于N,DF交EI于P连接AM,IFAI:AB=3:4,AF:AC=3:4S=9SAIF16ABCTS:S=IH:HA=2，S:S=FG:GA=2，FIMAMFFIMAIMS=1S=STAH:AI=1:3二S=SAIM4AIF64ABCAHM64ABCAH:AB=1:4AF:AC=3:4S=丄S.AHF16ABC同理S=S=SCFDBDH16ABCSFDH16ABCHM:HF3:=1:4,6416AI:AB=3:4,AF:AC=3:4,IFBC,又IF:BC=3:4,DE:BC=1:2,DE:IF=2:3,DP:PF=2:3,

33、同理HN:ND=2:3,THM:HF=1:4,HN:HD=2:5,SHMN=丄S10HDFSABC同理6个小阴影三角形的面积均为Z160阴影部分面积丄x6=21.16080【例15】如图，面积为1的三角形ABC中，D、影部分面积.F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点，求阴解析】三角形在开会,那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI与CD的交点为M,AF与CD的交点为N,BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP求S:在AABC中，根据燕尾定理，四边形ADMIS:S=AI:CI=1:2S:S=AD:BD=1:2ABMCBMACMCBM设S=1（份），

34、则S=2（份）,S=1（份）,S=4（份）,ABMCBMACMABC所以S=S=1S，所以S=1S=丄S/S=丄SABMACM4ABCADM3ABM12ABCAIM12ABC所以S=（丄+丄）S=1S，四边形ADMI1212ABC6ABC同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC面积的16求S:在ABC中，根据燕尾定理五边形DNPQES:S二BF:CF二1:2S:S二AD:BD二1:2/ABNACNACNBCN所以S=1S=-X1S=S，同理S=SADN3ABN37ABC21ABCBEQ21ABCSACP=BF:CF=1:2/S:S=ABPCBPr11111二S-SBEP:52121JABC105AB