1353角平分线的性质及判定

1、知识回顾1、角平分线的概念、角平分线的概念:把一个角分成两个相等的角的射线，把一个角分成两个相等的角的射线， 叫做这个角的平分线。叫做这个角的平分线。oBCA122、点到直线距离、点到直线距离:从直线外一点从直线外一点到这条直线的到这条直线的垂线段垂线段的长度，的长度，叫做叫做点到直线的距离点到直线的距离。OPAB垂线段垂线段长度长度知识回顾折纸活动观察两次折叠后形成的观察两次折叠后形成的三条折痕三条折痕，你能得出什么结论？你能得出什么结论？猜想猜想: :角的平分线上的点到角角的平分线上的点到角的两边的距离相等的两边的距离相等. .探索新知活活动动一一已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分A

2、OBAOB，CDOACDOA于点于点DD，CEOBCEOB于点于点E E求证求证: CD = CE: CD = CE活活 动动 二二证明：证明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） DOC = EOC（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）（已知） CDO = CEO=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在CDO和和CEO中中 CDO CEO（AAS）CD=CE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）ACDEBOCDO = CEO（已证）（已证）DOC = EOC（已证）（已证） OC = OC （公共边）（公共边）角平分线性质定理：角平分线性质定理：角平

3、分线角平分线上的点到上的点到角两边的距离角两边的距离相等相等。用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOPED12 1= 2 1= 2 PD OA PD OA ，PE OBPE OB推理的理由有推理的理由有三个三个，必须写完全，不，必须写完全，不能少了任何一个。能少了任何一个。获取新知PD=PEPD=PE( (角的平分线上的点到角的两边的距角的平分线上的点到角的两边的距离相等离相等) ) 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 角平分线上的点到角两边角平分线上的点到角两边的距离相等。的距离相等。ADCBBD CD判断判断1： 如图，如图， DCAC，DBAB （已知）（已知

4、） = ，( ) 角平分线上的点到角两边角平分线上的点到角两边的距离相等。的距离相等。ADCBBD CD判断判断2： AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = （ ） DBDC角平分线上的点到角两边的角平分线上的点到角两边的距离相等距离相等ADCB判断判断3：如图，如图， OC是是AOB的平分线，的平分线， 又又 _PD=PE ( )PDOA，PEOBBOACDPE角平分线上的角的两边的距离相等角平分线上的角的两边的距离相等例题示范例题示范例1： 已知：如图，E是AOB的平分线上一点， ECOA于C点，EDOB于D点，求证：ECD =EDCOADECB证明：E是AOB的平

5、分线上一点ECOA，EDOBDE=CE（角平分线上的点到角两边距离相等）ECD=EDC（等边对等角）例题示范例题示范例2： 已知：如图，在RtABC中A=90，ABC 的平分线BD交AC于点D，AD=3， BC=10,求：BCD的面积ABDCE解：过点D作DEBC于点EBD平分ABCDAAB ,DEBCDA=DE= 3= 15（角平分线上的点 到角两边的距离相等）SBCD= BC DE 12= 10312到角两边的距离相等的点，是否一定在这个角的平分线呢？到角两边的距离相等的点，是否一定在这个角的平分线呢？ 已知：如图已知：如图,PCOA，PDOB，点，点C、D为垂足，为垂足， PCPD求证：

6、点求证：点P在在AOB的平分线上的平分线上角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等。那么反过来呢？那么反过来呢？PABDOC证明：PCOA，PDOBPCO=PDO=90在RtPCO和RtPDO中OP=OP（公共边）PC=PD（已知）RtPCO RtPDO（HL）COP=DOP（全等三角形对应角相等）即OP是AOB的平分线过点P作射线OP角平分线判定定理：角平分线判定定理： 角的内部角的内部,到角两边距离相等到角两边距离相等的点在的点在角的平角的平分线上。分线上。QDOA,QEOB,QDOA,QEOB,且且QD=QEQD=QE符号语言符号语言: :推理的理由有推理的理由有

7、三个三个，必须写完全，不，必须写完全，不能少了任何一个。能少了任何一个。获取新知OQOQ是是AOBAOB的平分线的平分线例题示范例题示范例3： 已知：如图，BDAC于点D，CEAB于点E， BD与CE相交于F，BF=CF求证：点F在BAC的平分线上CFEADB证明：BDAC，CEABFDC=FEB=90（垂直的定义）在FDC和FEB中FDCFEB（AAS）FD=FE（全等三角形对应边相等）点F在BAC的平分线上（到角两边距离相等 的点在角平分线上）又BDAC，CEABFDC=FEB（已证）CFD=BFE（对顶角相等）BF=CF（已知）例题变形例题变形变式训练：已知：如图，在ABC中，D是BC的

8、中点， DEAB，DFAC，垂足分别是E、F， 且 BECF。求证：AD是ABC的角平分线。A AB BC CE EF FD DED = FDBDECDF证明：DEAB，DFACDEB=DFC=90（垂直的定义）在RtDEB和RtDFC中BD=CDBE=CFRtDEB RtDFC（HL）DE=DF（全等三角形，对应边相等）D点在BAC的平分线上（到角两边距离相等的点在角平分线上）AD是ABC的角平分线角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. CDOA,CEOB,OC平分AOB CDCE数学语言表示：角平分线性质定理：角平分线性质定理：角平分线判定定理：角平分线

9、判定定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 CDOA，CEOB，CDCE OC平分AOB数学语言表示：OCDEBA常用方法：常用方法：角平分线到角两边距离相等得到得到例题示范例题示范例4： 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P也在A的平分线上。过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F证明：ABCPMNEFD点P在ABC的角平分线上PDAB，PEBCPD=PE（角平分线上的点 到角两边距离相等）同理可得：PE=PFPD=PF点P在A的角平分线上又PDAB，PFAC之之扩展提高扩展提高例题示范例题示范变式训练：已知：如图，ABC的外角CBD和BCE相交 于点F。