第2章 控制系统的数学模型1

1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型南京工业大学南京工业大学自动化与电气工程学院自动化与电气工程学院2011.9第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型n 2.1 2.1 传递函数传递函数n 2.2 2.2 闭环控制系统的动态结构图闭环控制系统的动态结构图n 2.3 2.3 动态结构图的等效变换动态结构图的等效变换n 2.4 2.4 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数n 2.5 2.5 典型环节的传递函数典型环节的传递函数n 2.6 2.6 信号流图与梅逊公式信号流图与梅逊公式数学模型：数学模型：控制系统的数学模型是控制系统的数学模型是描述系统中各个元件的特性

2、以及内描述系统中各个元件的特性以及内部物理量（或变量）的传递和转换部物理量（或变量）的传递和转换之间关系的数学表达式。之间关系的数学表达式。n静态数学模型静态数学模型n动态数学模型动态数学模型n特性：特性：输入与输出间的种种关系，输入与输出间的种种关系，输入影响输出的关系。输入影响输出的关系。 n静态特性静态特性n动态特性动态特性n特性表示法特性表示法n曲线图形曲线图形n数学模型数学模型n时域内：微分方程时域内：微分方程n复域内：传递函数复域内：传递函数n频域内：频率特性频域内：频率特性n分析法分析法n实验法实验法n建模原则建模原则数学模型的建立数学模型的建立微分方程微分方程n建立元件的微分方

3、程建立元件的微分方程n确定输入量或者输出量，并根据需要引进中间变量；确定输入量或者输出量，并根据需要引进中间变量；n根据元件在工作过程中遵循的物理化学定律，列出微根据元件在工作过程中遵循的物理化学定律，列出微分方程。分方程。n消去中间变量消去中间变量n惯例：输入有关各项写在右，输出有关各项写在左，惯例：输入有关各项写在右，输出有关各项写在左，方程两边个导数降幂排列。方程两边个导数降幂排列。 n建立系统的微分方程建立系统的微分方程n 由电阻电容电感组成的无源网络，试着写出以由电阻电容电感组成的无源网络，试着写出以u ui i（t t）为输入，）为输入，u uo o（t t）为输出的网络微分方程）

4、为输出的网络微分方程 n弹簧质量阻尼器弹簧质量阻尼器机械位移系统，写出机械位移系统，写出质量质量MM在外力在外力F F(t)(t)作用作用下，质量块位移下，质量块位移y y(t)(t)的的运动方程。运动方程。 F(t)y(t)mkf 图2机械平移系统非线性方程的线性化非线性方程的线性化n问题产生：问题产生：n问题解决：问题解决：n两种简化方法两种简化方法n忽略弱非线性因素忽略弱非线性因素n小偏差法小偏差法小偏差法小偏差法n 实质：在一个很小的范围内，将非线性特性用一实质：在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替段直线来代替n 适用：具有连续变化的非线性特性函数适用：具有连续变化的非线性

5、特性函数非线性方程非线性方程 y y=f f( (x x) )，工作点，工作点( (x x0 0，y y0 0) )，求其小偏差线性化模型。，求其小偏差线性化模型。在工作点(x0，y0)处, 台劳级数展开式为2000001( )()()()()()2!yf xf xfxxxfxxx0 xyf(x)x0 x0+xy0y0+y增量较小时略去其高次幂项而取一次近似式，则有 )()()(0000 xxxfxfxfyy0 xxx0yyy令 式中，y=Kx则线性化方程为)(0 xfK K为工作点处f(x)的一阶导数值，即该点的切线斜率。忽略增量符号，可写成y=Kx (但应明确它是一个增量方程，y、x均为对

6、平衡工作点的增量)。几何意义：以工作点处的切线代替工作点邻域的曲线。实例：实例：2-14n 铁心线圈电流与磁通量的关系如下示，写出输入量铁心线圈电流与磁通量的关系如下示，写出输入量u ur r，输，输出量出量i i的微分方程的微分方程 拉普拉斯变换拉普拉斯变换(Laplace变换变换)n拉普拉斯变换拉普拉斯变换n拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 n拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换n拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为 设函数设函数 当当 有意义有意义, ,而且积分而且积分( )f t0t （ 是一个复参量） s0( )( )stF

7、sf t edt称上式为函数 的拉普拉斯变换式 ( )f t( )F s ( )f t叫做( )f t的拉氏变换,象函数.( )F s叫做的拉氏逆变换,象原函数,( )f t( )F s一、拉普拉斯变换的概念0)(dtetfsts( )f t= )(1sF一些常用函数的拉普拉斯变换一些常用函数的拉普拉斯变换 求单位阶跃函数求单位阶跃函数 的拉氏变换的拉氏变换 u t解解 0( )( )1sttt edt求单位脉冲函数求单位脉冲函数 的拉氏变换的拉氏变换 t解解 011( )00sts tu tedteRe sss 1u ts求函数求函数 的拉氏变换的拉氏变换 ( )k tf te.kR解解 (

8、)001( )ktsts k tf te edtedtRe sksk 1ktesk 求单位斜坡函数求单位斜坡函数 的拉氏变换的拉氏变换 000ttt uttt解解 200111( )00sts tstttedtteedtRe ssss 21( )( )ttu ts 正弦函数正弦函数 0sin00t t t f(t) dteeejdtetf(t)Lsttjtjst 0021sin dteej)tj(s)t-(s-j 021 001121)tj(s)tj(sejsejsj 22222211121 ssjjjsjsj利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换 一

9、些常用函数的拉氏变换典型信号的拉氏变换（典型信号的拉氏变换（2 2）（1 1）线性性质）线性性质三三 拉氏变换的几个重要定理拉氏变换的几个重要定理（2 2）微分定理）微分定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)faL2121 0fsFstfL （3 3）积分定理）积分定理 0111-fssFsdttfL （4 4）实位移定理）实位移定理 )()(00sFetfLs （5 5）复位移定理）复位移定理 )()(AsFtfeLtA （6 6）初值定理）初值定理)(lim)(lim0sFstfst （7 7）终值定理）终值定理)(lim)(lim0sFstfst （终值确实存在时）（终值确实存在时）

10、( )12(1)( )( )(0)(0)(0)nnnnnfts F ssfsff拉氏反变换拉氏反变换 jjstdsesFjtf )(21)(（1 1）反演公式）反演公式（2 2）查表法（分解部分分式法）查表法（分解部分分式法）a)s(sa)-s(saF(s) 1a)s(sF(s) 1例例1 1 已知已知，求，求?)( tf解解. . ateaf(t) 11 assa1112.2.用留数法分解部分分式用留数法分解部分分式一般有一般有其中：其中：)(.)()()(011011mnasasabsbsbsAsBsFnnnnmmmm 设设)()(.)(21011nnnnnpspspsasasasA 0)

11、( sAI. 当当 无重根时无重根时 niiinnpsCpsCpsCpsCF(s)12211 nitpitpntptpineCeCeCeCtf12121)().F(s)p(sCipsii limipsi(s)AB(s)C 0)()()(1 npspssAII. 当当 有重根时有重根时nnmmm-m-mms-pCs-pCs-pC)(s-pC)(s-pCF(s) 11111111( (设设 为为m m重根，其余为单根重根，其余为单根) )1p1111111s-pC)(s-pC)(s-pCLf(t)m-m-mm .F(s)p(sdsd)(m-C .F(s)p(sdsdjC .F(s)p(sdsdC.

12、F(s)p(sCmmmpsmjjpsm-jmpsm-mpsm11)1(11)(1111111lim!11lim!1lim! 11lim11nnmms-pCs-pC tpmm-mm.eCtCt)(mCt)(mC1!2!112211 tpnmiiieC 1)3()1(2)(2 sssssF例例 已知已知，求，求?)( tf解解. .31143122 scscsc)(scF(s)(s)s(ss)(sCs3121lim2212 )(s)s(ss)(sdsdCs3121lim! 112211)(s)s(sss.Cs312lim203 31121132114311212 s.s.s.)(s.F(s)ttt

13、eetef(t)3121324321 )(s)s(sssCs312)3(lim234 2131121 )(221)3(3)2()3(lim ssssssss43 32 121 .F(s)p(sdsd)(m-C .F(s)p(sdsdjC .F(s)p(sdsdC.F(s)p(sCmmmpsmjjpsm-jmpsm-mpsm11)1(11)(1111111lim!11lim!1lim! 11lim常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端

14、取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.传递函数传递函数传递函数传递函数: :线性定常系统线性定常系统的传递函数，定义为的传递函数，定义为在在零初始条件零初始条件下，系统下，系统输出量的拉氏变换输出量的拉氏变换与与输入输入量的拉氏变换量的拉氏变换之之比比。零初始条件输入信号的拉氏变换输出信号的拉氏变换传递函数 )()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn 设线性定常系统

15、由下述n阶线性常微分方程描述： n 式中式中c c( (t t) )是系统输出量，是系统输出量，r r( (t t) )是系统输入量，是系统输入量， ai ai和和bi bi 是与系统结构和参数有关的常系数。是与系统结构和参数有关的常系数。)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn nnaaaa,110 nnbbbb,110 )()(11101110sRasbsbsbsCasasasammmmnnnn 于是，由定义得系统传递函数为：设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0时的值

16、均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)Lc(t)，R(s)=Lr(t)，可得s的代数方程为：mmmmbsbsbsbsM 1110)(nnnnasasasasN 1110)()()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm )()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm G(s)R(s)C(s)(动态)方框图：njjmiipszsK11*)()(njjmiisTsK11) 1() 1(M(s) 分子多项式N(s) 分母多项式，又称特征多项式，它决定着系统响应的基本特

17、点和动态本质。(零极点形式、首一多项式形式、伊万思形式)(时间常数形式、尾一多项式形式、伯德形式)zi 传递函数的零点，即M(s)=0的根。pj 传递函数的极点，即特征方程N(s)=0的根，又称特征根。传递函数的阶：特征多项式的阶次n即为传递函数的阶次，对应的系统为n阶系统。静态放大系数(静态增益)：输出量与输入量静态值之比。)()()()0()0()0(0rcabsGRCGKnms根轨迹增益：00*abK njjmiinnnnmmmmpszsKasasasabsbsbsbsRsCsG11*11101110)()()()()(传递函数由系统的结构和参数确定，与输入信号的形式与大小无关。传递函数

18、是复变量s的有理真分式函数，所有的系数均为实常数，且mn。性质1：性质2：传递函数的特点传递函数的特点dtdS微分方程传递函数 如果传递函数已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。性质3：传递函数与微分方程之间可以互相转换。性质4：)()()()()()(1)()(11sGLsCLtksRsGsCtLsR传递函数的拉氏变换是系统的单位脉冲响应。性质5：传递函数的局限性：传递函数只适用于描述线性定常单输入、单输出系统，只直接反映系统在零状态下的动态特性。传递函数的求法传递函数的求法n 根据系统的微分方程求传递函数根据系统的微分方程求传递函数n 求系统传递函数的几个步骤求系统传递函数

19、的几个步骤n 选定系统或元件的输入量、输出量选定系统或元件的输入量、输出量n 列写原始方程。利用适当的物理定律、化学定律列写原始方程。利用适当的物理定律、化学定律或其它学科的公式和定律或其它学科的公式和定律如牛顿定律、基尔霍如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）夫电流和电压定律、能量守恒定律等）n 在零初始条件下进行拉氏变换，消去中间变量，在零初始条件下进行拉氏变换，消去中间变量，得到传递函数得到传递函数cuidtC1解： 根据基尔霍夫定律，列写出方程试求图所示RLC网络的传递函数。输入量为ur(t)，输出量为uc (t) 。,1ruidtCRidtdiL在零初始条件下将以上两式

20、进行拉氏变换后，得)()(1)()(sUsICssRIsLsIr)()(1sUsICsc消去中间变量I(s)后得)()() 1(2sUsURCsLCsrc则求得传递函数11)()()(2RCsLCssUsUsGrcuruc图 RLC网络RLCi用复阻抗概念求电路的传递函数用复阻抗概念求电路的传递函数用复阻抗概念求电路的传递函数用复阻抗概念求电路的传递函数无源网络 试求图所示电路的传递函数。 ur和uc分别是电路的输入量和输出量uruc图RLC网络R2LCR1u1Ur(s)Uc(s)R2Ls1/CsR1U1(s)LsCsRRLCsRRCsRRCsRRLsCsRRsUsUr) 1()() 1()/

21、1/()/1/()()(212212121211)(11)(/1/1)(1212sUCsRsUCsRCssUcLsCsRRLCsRRRsUsUsGrc) 1()()()()(212211传递函数：解F(t)y(t)mkf 机械平移系统m 质量块的质量f 阻尼器的阻尼系数k 弹簧的弹性系数F(t) 外力y(t) 质量块的位移设有一质量-弹簧-阻尼器的机械平移系统，如图所示。外力F(t) 为输入量， 质量块的位移y(t) 为输出量，试求系统的传递函数G(s)。解：弹簧的恢复力)()(1tkytF阻尼器的阻力dttdyftF)()(2根据牛顿第二定律，得到22)()()()(dttdymdttdyf

22、tkytF传递函数kfsmssFsYsG21)()()(RLC网络机械平移系统11)()()(2RCsLCssUsUsGrckfsmssFsYsG21)()()(令LCT LCR21，则121)(22TssTsG12)(22TssTKsG令kmT mkf21，kK1，则T 时间常数， 阻尼比， (静态)放大系数或增益。(3) 模拟技术：有了相似系统的概念，可以利用对一种系统的研究来代替对另一种系统的研究，这就是所谓的模拟技术。特别是用电子模拟装置模拟机械系统及其它物理系统。讨论：(1) 两个完全不同的系统可能具有相同的传递函数。(2) 相似系统：物理量不同的两个系统具有相同形式的微分方程(数学

23、模型)，这种系统称为相似系统。而在微分方程中占据相同位置的物理量称为相似量。机械系统Fmfkyv电路系统urLR1/Cqi表:相似量(uc=q/C)RLC网络11)()()(2RCsLCssUsUsGrc机械平移系统1)/()/(/1)()()(2skfskmksFsYsG典型环节的传递函数典型环节的传递函数n 比例环节比例环节nc c(t)=(t)=KrKr(t)(t)，t0t0nG G(s)=(s)=K K（常数）（常数）典型环节的传递函数典型环节的传递函数n 积分环节积分环节 1( )( )c tr t dtT1( )( )C sR sTs1( )G sTs典型环节的传递函数典型环节的传

24、递函数n微分环节微分环节 n纯微分环节纯微分环节 n一阶微分环节一阶微分环节 n二阶微分环节二阶微分环节 ( )( )ddr tc tTdt( )dG sT s( )( )( )dr tc tr tdt( )( )1( )C sG ssR s222( )( )2( )( )d r tdr tr tc tdtdt22( )21G sss典型环节的传递函数典型环节的传递函数n 一阶惯性环节一阶惯性环节 ( )( )( )dc tTc tKr tdt( )1KG sTs典型环节的传递函数典型环节的传递函数n 二阶震荡环节二阶震荡环节 222( )( )2( )( )d c tdc tTTc tr t

25、dtdt22( )1( )( )21C sG sR sT sTs典型环节的传递函数典型环节的传递函数n 滞后环节滞后环节 ( )()c tr t22111( )1112!ssG seesss动态结构图的概念、组成动态结构图的概念、组成n概念：概念：n描述系统各个环节之间信号传递关系的数学图描述系统各个环节之间信号传递关系的数学图形表示法形表示法 n基本要素：基本要素：n方框方框n信号线信号线n综合点综合点n引出点引出点结构图的等效变换结构图的等效变换、改变结构图的形式，便于分析某些环节在系统中所占的地位或所起的作用；、改变结构图的形式，便于求出任一对输入输出变量之间的传递函数。等效变换的目的等

26、效变换原则变换前后有关部分的输入量、输出量之间的数学关系(传递函数)保持不变。三种基本连接形式：信号引出点和或综合点的移动两种等效变换方式：环节的合并串联、并联、反馈结构图的等效变换法则结构图的等效变换法则 图 串联连接的等效变换 (1) 串联连接 、环节的合并 特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。)(1sG(s)D(s)(2sGC(s)(a)()(21sGsG(s)C(s)(b)()()()()(21sGsGsRsCsG结论：环节串联的等效传递函数等于各串联连接传递函数的乘积。niisGsG1)()(n为相串联的环节数)D(s)G1(s)R(s)C(s)G2(s)D(s)C(s)G2

27、(s) G1(s)R(s) 图 并联连接的等效变换 (2) 并联连接特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输出C(s)为各环节的输出之和。)()(21sGsG(s)C(s)(b)()()()()(21sGsGsRsCsGniisGsG1)()(n为相并联的环节数，包括“-”的情况)C1(s)G1(s)R(s)C2(s)G2(s)R(s) )(1sG(s)C1(s)(2sGC(s)(a)C2(s)C(s)C1(s)+C2(s)G1(s)+G2(s)R(s)结论：环节并联的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。(3) 反馈连接 图 反馈连接的等效变换 )()(1)(sHsGsGR(

28、s)C(s)(b)(sGR(s)(sHC(s)(a)B(s)E(s)特点：输入信号R(s)有与反馈信号B(s)在综合点代数相加，所得信号作为前向通道G(s)方框的输入信号。)()(1)()()()(sHsGsGsRsCs C(s) G (s)R(s)H(s)C(s)结论：C (s)G (s)E(s)B(s)H(s)C(s)E(s)R(s)B(s)反馈通道传递函数前向通道传递函数前向通道传递函数闭环传递函数1“-”对应正反馈“+”对应负反馈符号的移动 )(sGR(s)(sHC(s)(a)B(s)E(s)(sGR(s)(sHC(s)(b)B(s)E(s)1单位反馈 图 单位反馈连接的等效变换 )(

29、1)(sGsGR(s)C(s)(b)(sGR(s)C(s)(a)E(s)(1) 综合点前移)(sGR(s)C(s)(a)X(s)(sGR(s)C(s)(b)X(s)(1sG C(s) R(s)G (s)X(s)= R(s)X(s)/G (s)G (s)综合点从方框的输出端移到输入端(2) 综合点后移 C(s)R(s)X(s)G(s)=R(s)G (s)X(s)G (s)综合点从方框的输入端移到输出端)(sGR(s)C(s)(b)X(s)(sG(a)(sGR(s)C(s)X(s)(3) 引出点前移 引出点从方框的输出端移到输入端(4) 引出点后移 引出点从方框的输入端移到输出端)(sGR(s)C

30、(s)(a)C(s)(sGR(s)C(s)(b)C(s)(sG(a)(sGR(s)C(s)R(s)(sGR(s)C(s)(b)(1sGR(s)(6) 相邻引出点位置的交换 (5) 相邻综合点位置的交换与合并 C(s)R1(s)R2(s)R3(s)R1(s)C(s)(a)R3(s)R2(s)R1(s)C(s)(b)R2(s)R3(s)C(s)(c)R2(s)R3(s)R1(s) (b)R(s)R(s)R(s)R(s)(a)R(s)R(s)R(s)R(s)结构图等效变换举例结构图等效变换举例例 试化简如图所示系统结构图，求出传递函数(s)=C(s)/R(s)。1GR(s)HC(s)(a)2G3G2

31、1GG R(s)HC(s)(b)3GHGGGGGG321321)(1)(R(s)C(s)(d)321)(GGG R(s)HC(s)(c)HGGGGGGsRsCs321321)(1)()()()(例 试化简如图所示系统结构图，求出传递函数(s)=C(s)/R(s)。1GR(s)1HC(s)(a)2G2H1GR(s)1HC(s)(b)2G2H1H1GR(s)1HC(s)(c)2G-2H1H1GR(s)1HC(s)(b)2G2H1H1GR(s)1HC(s)(c)2G-2H1H1GR(s)21HHC(s)(d)2G-1H1GR(s)21HHC(s)(d)2G-1HR(s)21HHC(s)(e)1211

32、1GGG H(f)R(s)C(s)121112121GGG HGG H H12111212( )( )( )1GGC ssR sG HGG H HR(s)21HHC(s)(e)12111GGG H简化系统结构图的步骤：1、确定系统的一个输入量与一个输出量。对于多个输入量或输出量，保留其中一个；2、移动引出点和/或综合点以便消除交叉连接；3、多回路无交叉连接时，应从内回路开始，从里向外进行变换。在移动引出点和/或综合点时，应遵循以下两条原则：1、变换前后有关回路中各方框传递函数的乘积应保持不变；2、变换前后有关前向通道中各方框传递函数的乘积应保持不变。试化简如图所示系统结构图，求出传递函数(s)

33、=C(s)/R(s)。1GR(s)C(s)(a)3G4G2G1GR(s)C(s)(b)3G24/GG2G1/1 G1GR(s)C(s)(b)3G24/GG2G1/1 G1GR(s)C(s)(c)3G24/GG2G1/1 G21211GGGGR(s)C(s)(d)243/GGG 1/1 G1GR(s)C(s)(c)3G24/GG2G1/1 G4322143211)(GGGGGGGGGR(s)C(s)(e)21211GGGGR(s)C(s)(d)243/GGG 1/1 G4322143211)()()()(GGGGGGGGGsRsCs梅逊公式梅逊公式n n：从输入到输出的前项通路条数n pk：第k

34、条前向通路的传递函数n k：第k条前向通路的余子式n ：特征式n Li：单独回路的增益n Li Lj：两两不接触回路的n k：第k条前向通路的余因子，即把图中第k条前项通路相接触的回路去掉后，的值11( )nkkkG sp1iijijkLLLLL L 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数 n 闭环控制系统的典型结构闭环控制系统的典型结构 n 开环传递函数开环传递函数n 开环传递函数前向通路传递函数开环传递函数前向通路传递函数反馈通路传递函数反馈通路传递函数 n 例：求开环传递函数例：求开环传递函数n 给定输入信号给定输入信号r r(t)(t)作用于系统的闭环传递函数作用于系统的闭环传递函数 n 扰动信号扰动信号NN(t