第九章梁的弯曲

1、第九章 梁的弯曲第九章 第一节 平面弯曲 第二节 梁的弯曲内力 习题 第三节 内力方程法绘制剪力图和弯矩图 第四节 微分关系法绘制剪力图和弯矩图 习题 第五节 叠加法画弯矩图 第六节 梁弯曲时的应力及强度计算 第七节 梁的变形（略） 第八节 梁的应力状态 习题梁：梁：以弯曲变形为主要变形的杆件。以弯曲变形为主要变形的杆件。 弯曲变形：弯曲变形： 变形特点：变形特点：原为直线的轴原为直线的轴线变为曲线。线变为曲线。 受力特点：受力特点：垂直于轴线的垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力横向力或轴线平面内的力偶。偶。 桥式起重桥式起重机的大梁机的大梁第一节 平面弯曲一一 平面弯曲平面弯曲纵向纵向横截面

2、横截面纵向对称轴纵向对称轴中性轴中性轴纵纵向向对对称称面面纵向对称轴纵向对称轴中性轴中性轴中性层：梁中只弯曲，不伸长也不缩短的层中性层：梁中只弯曲，不伸长也不缩短的层中性轴：梁的中性层与横截面的交线中性轴：梁的中性层与横截面的交线具有纵向对称面的平面弯曲梁具有纵向对称面的平面弯曲梁受力特点受力特点外力为横向力外力为横向力与梁轴线垂直与梁轴线垂直作用在梁的纵向对称面内作用在梁的纵向对称面内变形特点变形特点梁轴线变成纵向对称面内的一条平面曲线梁轴线变成纵向对称面内的一条平面曲线梁的计算简图梁的计算简图 静定梁静定梁 用静力学平衡方程即可求出全部支反力的梁。用静力学平衡方程即可求出全部支反力的梁。

3、用静力学平衡方程不能求出全部支反力的梁。用静力学平衡方程不能求出全部支反力的梁。 超静定梁超静定梁( (静不定梁静不定梁) ) 二二 单跨静定梁的几种形式单跨静定梁的几种形式简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁第二节第二节 梁的弯曲内力梁的弯曲内力-剪力和弯矩剪力和弯矩1.1.梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩 梁发生平面弯曲时，横截面上同时存在两个内力梁发生平面弯曲时，横截面上同时存在两个内力剪力剪力V 和弯矩和弯矩 M 剪力的常用单位剪力的常用单位为牛顿（为牛顿（N N）或千牛顿（）或千牛顿（kNkN），）， 弯矩的常用单位弯矩的常用单位为牛顿米（为牛顿米（N Nm m）或千牛顿米（）或

4、千牛顿米（kNkNm m）。）。 V一一 截面法求弯曲内力截面法求弯曲内力0yF0VRAARV 0OM0 MaRAaRMAVV2.2.剪力剪力 V与弯矩与弯矩 M 的正负号规定的正负号规定V计为计为“+”V计为计为“-”3.3.截面法计算梁的内力截面法计算梁的内力（1 1）计算支座反力（悬臂梁可以不求）计算支座反力（悬臂梁可以不求）（2 2）在需要计算内力的截面处，以一个假想的平面将梁截）在需要计算内力的截面处，以一个假想的平面将梁截开，选取其中一段为研究对象（一般选择荷载较少的部分开，选取其中一段为研究对象（一般选择荷载较少的部分为研究对象，以便于计算）为研究对象，以便于计算）（3 3）对研

5、究梁段进行受力分析，在其上画出已知外力，在）对研究梁段进行受力分析，在其上画出已知外力，在截面上按截面上按正号正号规定画出规定画出V V和和M M；（4 4）列平衡方程，计算）列平衡方程，计算V V；以所切截面形心处为矩心，列力；以所切截面形心处为矩心，列力矩平衡方程计算矩平衡方程计算M M。 10kNRARB1)求支座反力求支座反力MB=106-8RA=0RB=2.5kNRA=7.5kNY=RA-10+RB=0验算：验算：MC=-7.52+2.56=0( )( )10kNAB2m6m2)求求截面内力截面内力V1=7.5kN根据平面一般力系的平衡条件有根据平面一般力系的平衡条件有:10kNRA

6、=7.5kNRB=2.5kNRA=7.5kNv1M1Y=7.5-V1=0M1=0注意：注意：1）未知的内力假定为正方向）未知的内力假定为正方向 2）求截面内力可以选择截面以左或以右的部分为研究对象。）求截面内力可以选择截面以左或以右的部分为研究对象。 3）以截面一侧部分计算内力，以另一侧部分验算内力）以截面一侧部分计算内力，以另一侧部分验算内力M1C=0v2M2RA=7.5kN1）V=Y左或V=Y右梁内任意横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧所有外力在垂直于轴线方向投影的代数和（顺时针取正，反之取负）二二 简易法求内力（直接计算法）简易法求内力（直接计算法）2）M= M截面左（右）侧外力对截面

7、形心梁内任意横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力对横截面形心的力矩的代数和（下凸变形取正，反之取负）10kNRA=7.5kNRB=2.5kNV1=7.5kNM1=0V2=7.5kNM2=7.52=15kNmV3=7.5-10=-2.5kNM3=7.52=15kNmV4=-2.5kNM4=0例题1：求指定截面的内力6kNAB2m2m2m12kNm例题2：求指定截面的内力习题例题例题1：求指定截面的内力20kNAB2m2m2m20kNm20kNm2m2m20kN/mRA=20kN（ ）RB=40kN（ ）例题例题2 一外伸梁，所受荷载如图示，试求截面一外伸梁，所受荷载如图示，试求截面A右，

8、右，E左，左，E右，右，C左，左，B左，左，B右，右，D左上的剪左上的剪力和弯矩。力和弯矩。例题例题3：求截面的内力15kNAB2m2m2m5kN/m2m例题例题4 4：计算计算1-1,2-21-1,2-2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。kN10kN50RRBAFF:11 kN)5 . 01020(R1AFVmkN)25. 05 . 0105 . 05 . 120(R1AFM:22kN)5 . 1105020(2VmkN)2075. 05 . 1105 . 1505 . 220(2M解：解：计算支反力计算支反力 kN25mkN25. 6mkN25. 6kN15FRBFRA-+203010V

9、图（kN)第三节第三节 用内力方程绘制梁的剪力图和弯矩图用内力方程绘制梁的剪力图和弯矩图在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面位置不在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面位置不同而变化的。如果横截面在梁轴线上的位置用横坐标同而变化的。如果横截面在梁轴线上的位置用横坐标 x 表示，则表示，则各横截面上的剪力和弯矩可表示为横坐标各横截面上的剪力和弯矩可表示为横坐标 x 的函数，即的函数，即)(xVV )(xMM 即为即为剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程。 一一 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图以平行于梁轴的横坐标以平行于梁轴的横坐标 x

10、表示横截面的位置，以纵坐标表示表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力或弯矩。这种图线分别称为相应截面上的剪力或弯矩。这种图线分别称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图。与绘制轴力图一样，也可用图线表示梁的各横截面上剪力和与绘制轴力图一样，也可用图线表示梁的各横截面上剪力和弯矩沿轴线变化的情况。弯矩沿轴线变化的情况。1）剪力图正值画在基线的上方，负值画在基线的下方）剪力图正值画在基线的上方，负值画在基线的下方2）弯矩图正值画在基线的下方，负值画在上方，即弯）弯矩图正值画在基线的下方，负值画在上方，即弯矩图总是画在受拉的一侧矩图总是画在受拉的一侧3）剪力图、弯矩图的要素要求同轴力图）剪力图、弯矩

11、图的要素要求同轴力图三、绘制内力图的目的三、绘制内力图的目的1）形象地表达内力在梁内的变化规律）形象地表达内力在梁内的变化规律2）进行梁的强度和刚度的计算）进行梁的强度和刚度的计算3）为梁的结构设计提供依据）为梁的结构设计提供依据例例1：列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：解：1.1.计算计算支反力支反力 2RRqlFFBA2.2.剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 )0(2)(lxqxqlxV)0(22)(2lxxqxqlxM3.3.作作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 822maxmaxqlMqlVxFRAFRB2ql2ql281ql+v

12、M四、例题四、例题例例2：列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。列剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。 解：解：1.1.计算计算支反力支反力 00RlFFbMAB00RFalFMBAlFaFlFbFBA/RR2.2.剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 )0()(axlFbxV)0()(axxlFbxMAC段：段： xFRAFRBx)()(lxalFaxV)()()(lxaxllFaxMCB段：段： 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 )0()(axlFbxV)0()(axxlFbxM)()(lxalFaxV)()()(lxaxllFaxM3.3.作作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图(

13、(设设 a 0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：223122xyxx）（三、梁的主应力及主应力迹线三、梁的主应力及主应力迹线2 21 1 1 1 3 3 3 33 3 1 1 3 34 4 1 1 1 1 3 35 50450 A1A2D2D1CO A2D2D1CA1O 20 D2D1CD1O20= 90 D2A1O 20CD1A2 A2D2D1CA1O拉力压力主应力迹线主应力迹线（Stress Trajectories)：实线表示拉主应力迹线； 1 3 1 3虚线表示压主应力迹线。 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。两组曲线正交.qxy主应力迹线的画法：主应力迹线的画法：11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bacd 1 3 3 1例例1：用图解法求图示单元体的：用图解法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和剪应力指定斜截面上的正应力和剪应力;(2)主应力值及主平面方位角，并画在单元体上；主应力值及主平面方位角，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。最大剪应力值。单位：单位：MPa30201045401030习题例例2 图示悬臂梁，横截面由两根不等边角钢2125 80 8组成，许用应力试校核梁的正应力强度F=7kN1.5