线性回归方程——非线性方程转化为线性方程

1、线性回归方程一一非线性方程转化为线性方程例1.2021高考全国卷I某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x单位：千元对年销售量y单位：t和年利润z单位：千元的影响,对近8年的宣传费笄口年销售量?布?1,2,?,8数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.%宣传费元?i-l46.65636.8289.81.61469108.8表中方与?,?=H1?_一?=*?而2,【答案】I?=?+?/?适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；n?=100.6+686?mi答案见解析；ii46.24千元.【解析】I由散点图可以判断,?=?+?6适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方

2、程类型.0.8X%7=2所以2021年该市特别困难的中学生有2800X(1-10%)=2520人,很困难的学生有4200X(1-20%)+2800X10%=3640人一般困难的学生有7000X(1-30%)+4200X20%=5740人.所以2021年的“专项教育基金的财政预算大约为5740X1000+364OX1500+252OX2000=1624万.试卷第2页,总6页汇8?=1?78,I根据散点图判断,?=?+?=?+?不哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型给出判断即可,不必说明理由；,II根据I的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程；III这种产品的年利润z与x,y

3、的关系为?=0.2?-?,根据II的结果答复以下问题:i年宣传费?=49时,年销售量及年利润的预报值是多少ii年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?附：对于一组数据?,?2,?,?其回归直线?=?+?砌斜率和截距的最小二乘估计分别为:?=?-?E(?)(?)例2.某地级市共有200000中小学生,其中有7痔生在2021年享受了“国家精准扶贫政策,在享受“国家精准5:3:2,为进一步帮助扶贫政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难,且人数之比为这些学生,当地市政府设立“专项教育基金,对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元.经济学家调查发现,当

4、地人均可支配年收入较上一年每增加?%一般困难的学生中有3?叫脱贫,脱贫后将不再享受“精准扶贫政策,很困难的学生中有2?%转为一般困难,特别困难的学生中有?专为很困难.现统计了该地级市2021年到2021年共5年的人均可支配年收入,对数据初步处理后得到了如下图的散点图和表中统计量的值,其中年份取13时代表2021年,巧?(万元)近似满足关系式?=?2?2?,其中?,为常数.(2021年至2021年该市中学生人数大致保持不变)yIfk工3-6工(y篙i£(七一工)3-¥)231.23.14/57一i其中?=10g2?=5'日?=1?(I)估计该市2021年人均可支配年收

5、入;(I)求t市2021年的“专项教育基金的财政预算大约为多少附：对于一组具有线性相关关系的数据(?,?),(?,?),?,(?(,其回归直线方程?=?+?的斜率和截距的最小二乘估计分别为?=与?=?(?：可；?),?=?u?=1(?-?)2皿,22%_217Jr丁2口.6“0加11/3.2p3.5©3.73J【答案】(I)2.8(万)；(II)1624万.【详解】(I)由于?1(13+14+15+16+17)=15,所以E?=1(?=(-2)2+(-1)2+12+22=10.5由?=叫得?=10g2?+?所以二"?也詈?箸=看,啕2?=?1.2-110X15=-0.3,所

6、以=2-0.3=0.8,所以?=0.8X2记.当?=18时,2021年人均可支配年收入?=0.8X21.8=0.8X3.5=2.8(万)(n)由题意知2021年时该市享受“国家精准扶贫政策的学生共200000X7%=14000人般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人,2021年人均可支配收入比2021年增长1=0.1=10%0.8x-0.8x"01例3.近期,某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人

7、次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次单位：十人次,统计数据如表l所示:表1234567y6_11213466101196根据以上数据,绘制了如右图所示的散点图.1根据散点图判断,在推广期内,?=?+?=?c,d均为大于零的常数哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型给出判断即可,不必说明理由,2根据1的判断结果及表1中的数据,求y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次;y£他工严62.14L54253550,12347|其中疔1?=；Z?=1?参考公式：对于一组数据,?,?,?,?,其回归直线=?勺斜率和截距的最小二乘估计公

8、式分别一?的为:?=?/2,?£?禽?2?=1,【答案】(1)?=?2,3470【详解】(1)根据散点图判断,?=?登?1适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数?勺回归方程类型;(2).?=?r?f?r?,两边同时取常用对数得：1?=1?(?5=1?1?设1?=?,.?=1?1?72_=?=1?7?50.12-7X4X1.547.?=4,?=1.54,汇?=140,l?=J'=1407V2=28=0.25,工7?=1一把样本中央点(4,1.54)代入?=1?1?#:l?N0.54,.?=0.54+0.25?,l?=0.54+0.25?.?关于的回归方程式：=100.54+0.

9、25?=100.54X(100.25)?=3.47X100.25?把?=8代入上式,?=3.47X102=347,活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470,例4.近年来,随着我国汽车消费水平的提升,二手车流通行业得到迅猛开展.某汽车交易市场对2021年成交的二手车交易前的使用时间以下简称“使用时间进行统计,得到频率分布直方图如图1.OD©H.H7WLC-I!印it用动脉第1记“在2021年成交的二手车中随机选取一辆,该车的使用年限在8?16为事件?试彳t计的概率；2根据该汽车交易市场的历史资料,得到散点图如图2,其中?单位：年表示二手车的使用时间,单位：万元表示相应的二手车的平均交

10、易价格.由散点图看出,可采用?=e?+?为二手车平均交易价格长于其使用年限的回归方程,相关数据如下表表中方ln?2?=-040=1?,X*1010£-110小二hl7PL*3014479.7*SBBP根据回归方程类型及表中数据,建立长于酌回归方程;该汽车交易市场对使用8年以内含8年的二手车收取成交价格4%的佣金,对使用时间8年以上不含8年的二手车收取成交价格10%的佣金.在图1对使用时间的分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值.假设以2021年的数据作为决策依据,计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金.附注：对于一组数据,?,?,?,?!,其回归直线?=?+?勒斜率和截距

11、的最小二乘估计分别为侬£?=1?%?奢?=?参考数据：e2.9519.1?氐75=5.75?8551.737?e0.650.527?e1.85=0.16,【答案】10.40;2?=e3.55.3?0.29万元【详解】1由频率分布直方图得,该汽车交易市场2021年成交的二手车使用时间在8,12的频率为0.07X4=0.28,在12,16的频率为0.03X4=0.12,所以=0.28+0.12=0.40,2由?=?+?ln?=?+?即铁于酌线性回3方程为?=?+?L10q工?=1?10?豁79.75-10X5.5X1.9q今由于?=?1=12.丁="c"怠=-0.3,

12、?=?-沏?1.9-0.3X5.5=3.55工?=渴?10?吊385-10X5.52'',所以长于的线性回D3方程为?=3.55-0.3?即长于的回归方程为昨e3.55-0.3?根据中的回归方程?=e3.55-.3?和图1,对成交的二手车可预测：使用时间在0,4的平均成交价格为e3.55-0.3X2=e2.9519.1,对应的频率为0.2,使用时间在4,8的平均成交价格为e3.55-0.3X6=e1.75-5.75,对应的频率为0.36,使用时间在8,12的平均成交价格为e3.55-0.3x10=e0.55=1.73,对应的频率为0.28,使用时间在12,16的平均成交价格为e

13、3-55-0-3x14=e-0.650.52,对应的频率为0.12,使用时间在16,20的平均成交价格为e3-55-0-3x18=e-1-850.16,对应的频率为0.04所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为(0.2X19.1+0.36X5.75)X4%+(0.28X1.73+0.12X0.52+0.04X0.16)X10%=0.290920.29万元例5.菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以预防害虫的危害,但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药,食用时需要用清水清洗干净,下表是用清水x单位：千克清洗该蔬菜1千克后,蔬菜上残留的农药y单位：微克的数据作了初步处理,得到下面的

14、散点图及一些统计量的值.y微克20x千克O1?82汇?-?=18汇0?2?=18汇?=18汇0?=13381110374121-751其中?=?I根据散点图判断,=?芍吟?+?哪一个适宜作为蔬菜农药残量药用水量?勺回归方程类型给出判断即可,不必说明理由；n假设用解析式?=?+?为蔬菜农药残量有用水量的回归方程,求出巧的回归方程.c,d精确到0.1出对于某种残留在蔬菜上的农药,当它的残留量低于20微克时对人体无害,为了放心食用该蔬菜,请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜?精确到0.1,参考数据卷=2.236附：参考公式：回归方程昨?+【答案】1见解析；2?=?叩斜率和截距的最小二乘估计公式分

15、别为：肉.器?%?在?/?=?务?,-2.0?2+60.0;3需要用4.5千克的清水清洗一千克蔬菜I根据散点图判断=?+?宜作为蔬菜农药残量哂用水量的回归方程类型;n令?=?,先建立y关于w的线性回归方程,由于处岑?7?曾二穹-心-2.0.?=38+2X11=60.学?=*?M374,.y关于w的线性回归方程为=-2.0?+60.0,.y关于x的回归方程为?=-2.0?2+60.0.出当?<20时,-2.0?2+60.0<20,?>2v5=4.5.为了放心食用该蔬菜,估计需要用4.5千克的清水清洗一千克蔬菜.L8II令=V?先建立长于勺线性回归方程,由于於?=8_?：.=曙=68,£?=<?-?21.6.?