高三T能力(类比思维2星)

1、能力：类比思维 5在学习立体几何时，常从平面几何中的知识获得启发, 勾股定理，它能推广到立体几何中去吗？发现立体图形的新知识平面几何里最著名定理莫过于拿长方体和直角三角形作类比，长方体的三度：长、宽、高，如图1-1 ,考察长方体的体对角线AIC和长Al BI a，宽BiCi b，高AAI C之间有何联系? CCi底面 AI BiCi Di，平面 AGAi BiCi Di,° CCiAC.令AlCd ,则d2 CCi2 AG2Ai BiBiCi ,A1Bi2B1C122 2a b ,又 CCi AAl代入，得d2a2 b2这一结果就是勾股定理在立体几何中的推广世界上许多事物是由相似的单

2、元， 层次排列组合而来的因此可以从某一类事物的性质， 推想与这一类事物相 似的另一类事物是否也具有类似的性质，这就是类比推理 也是自然科学中的一种有效的思维方法 在数学中，从 整数的因式分解通过类比研究整式的因式分解；从分数的基本性质，通过类比获得分式的基本性质 整数与整式, 分数与分式之间存在许多类似地定理，平面几何与立体几何也有许多类似定理当然事物存在相同的一面，同时也存在相异的一面相似就是客观事物中存在相同与变异的矛盾的统一因而 类比推理是合情推理，是发现真理的思维方法，但不是证明的工具等式与不等式有不少相似的性质：等式不等式1ab , bC ,则a C,ab ,bC,则aC 2ab则a

3、Cb C,ab ,则a CbG3ab ,则acbC,ab ,C0,则aCbe ；ab ,C0 ,则aCbc性质1、2等式与不等式是完全类同的，但性质3则是相异的，忽略这一点，常易导致错误12 min.例1()已知平面上的边等边多边形的面积为S,边长为a ,点P为其形内任意一点， 那么点P到各边的距离之和为定值通过类比，在立体几何中能获得类似地定理吗？S)，体积为定值V ,解：通过类比，可知空间多面体，如果每个面都是全等的多面边(面积为 则此多面体内任意一点 P到各个面的距离之和必为定值 点P与多面体的各个顶点的连线，将多面体分割成许多小棱锥，它们的体积之和:III1Sh -Sh2-Sh3 L

4、-ShI V .33333V h1 h2 h3 L hn （定值）.例2.（）平面上无三直线共点和二直线平行的n条直线能将平面划分成几个部分.通过类比能否获得空间无四平面共点，无三平面共线，无两平面平行的n个平面能将空间划分成几部分？解：设n条直线，无三直线共点和无二直线平行将平面划分成f n部分.（如图1-4）f 12, f 24, f 3 7, f 411,L这里有什么规律？由于f 12是很明显的，第二条直线与第一条直线相交，有一交点，将第二条直线分为两部分，故第三条直线与第一，二两条直线都相交，有两个交点将第三条直线分为三部分，故条直线与前三条直线都相交，有三个交点，将第四条直线分成四部

5、分，故按此规律，可知第n条直线与前 n 1条直线都相交，有 n 1个交点，将第n条直线分成n部分，故fnf n 1n将 f 12,f 2f12,13 f 23,L , 1F nf n 1 n （共）n个等式相加f 1 f 21F 3Lf n2 2 3 L nf1 F2 L fn 1 f n 2 2 3 Lnn n21 1.与此类似，设空间n个平面（无四平面共点，无三平面共线，无二平面平行）将空间划分成F n部分，则F 1 2, F 2 F 1 f 1 , F 3 F 2 f 2 , L .Fn F n 1f n 1这是由于第n个平面与前 n 1个平面都相交，共有n 1条交线，将第n个平面划分成

6、f n 1部分，所以Fn比F n 1增加f n 1部分.F 1 F 2 F 3 L FnF 1 F2LF n12f 1f2Lfn1故 Fn 211 211 2311 341L1n n1 122222ClCaC：LCnn1QC2nCi13Cn,n31c43c33c53C：LCn 1Cni2n1Cn1n 11n1n(n1)n 11n12 nn6 .6620 min.巩固练习:1. ()已知正三角形内切圆的半径是高的【解题思路：从方法的类比入手。】-,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是31 1解：原问题的解法为等面积法，即S Iah 3 Iar2 2r 1h ,类比问题的解法应为等体积法,3

7、V 1 Sh 4 1 Srr 1 h即正四面体的内切球的半径是高13 344【总结:(1)不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比(2)类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等】2. ()在 ABC中若 C 900 ,则Cos2A cos2 B 1 ,用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明 你的猜想。【解题思路：考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间。分析：由平面类比到空间，有如下猜想: 面所成的角分别为 ，则Cos2“在三棱锥 P ABC中，三个侧面 PAB,P

8、BC,PCA两两垂直，且与底 cos2cos21 ”。由PCPA, PCPB得PC 面PAB ,从而PCPM,又PMChhhcosSin PCO，cos，cosPCPAPBQVP ABC1 PA PB PC 1(1 PAPB cos1 PB PC cos1 PC63 222coscoscos2 22()h 1 即 coscoscos1PCPAPB证明：设P在平面ABC的射影为0,延长CO交AB于M ,记POhPA cos ) h【总结:(1) 找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等;(2) 找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线

9、面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等。3. ()现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶2点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为类比到4间，有两个棱长均为 a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心， 这两个正方体重叠部分的体积恒为 .3 解：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a84.()已知 ABC的三边长为a,b,c ,内切圆半径为r ,则S ABC-r(a b C)；类比这一结论有：若2三棱锥A BCD的内切球半径为 R ,则三棱锥体积 VABCD1解: 3 R(S ABCS ABD S ACDS BCD )5. ()在平面直角坐标系中，直线一般方程为AX By C 0,圆心在(Xo,y°)的圆的一般方程为(X X。)2 (y y0)2 r2 ；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为 ,球心解: AX By CZ D在