2.1-空间平面方程ppt课件

1、E-mail: 3 3 空间平面方程空间平面方程 本节以向量为工具，讨论平面及方程的特征，并建立平面方程。E-mail: 几何上，任给空间中某一点，及某一方向，几何上，任给空间中某一点，及某一方向，都可且只可做一条过该定点且垂直于给定方向的平都可且只可做一条过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用解析式描述此几何关系面。下面用解析式描述此几何关系.任取平面任取平面上一点上一点M(x, y, z).故故 nM0M=0.设：平面设：平面过定点过定点M0(x0,y0,z0)且垂直于方向且垂直于方向n=(A,B,C)由已知，由已知，n M0M，MxM0zy0n说明：平面的法向量必定垂直于说明：平面的法向

2、量必定垂直于 该平面内的一切向量。该平面内的一切向量。E-mail: (A, B, C)(xx0, yy0, zz0)= A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)= 0.即平面即平面上任意点上任意点M(x, y, z)都满足方程都满足方程(1).反之若反之若(x, y, z)满足满足(1)，则由，则由(1)可知可知(1)n与与 M0M 垂直垂直. 即即M在平面在平面 上上.( , , )P x y zP设为空间中任一点，则点 在平面 上的充要条件：00000,0P Pxxyyzznn P P 与此法向量 垂直，及E-mail: 我们称垂直于平面我们称垂直于平面 的任何非零向量为的任何非零

3、向量为的的法方向或法向，法方向或法向，因而，因而，n 即为即为 之一个法向量之一个法向量.方程方程(1)依赖于法向依赖于法向n及定点及定点M(x0, y0, z0). 故故(1)称称为平面为平面 的点法式方程的点法式方程.A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0点法式方程点法式方程E-mail: 解：由法点式，得所求平面方程为解：由法点式，得所求平面方程为2(x 1)+3(y 3) 4(z+2)=0,2x+3y 4z19=0.例例1 求过点求过点M0(1, 3, 2)且以且以n=(2, 3, 4)为法向为法向的平面方程的平面方程. 即即E-mail: 例例2 求过点求过点M1(2,

4、1, 4), M2(1, 3, 2)和和M3(0, 2, 3)的平面方程的平面方程.从图知，从图知，M1, M2, M3不共线，不共线，即三点不在同一直线即三点不在同一直线故可唯一确定一平面故可唯一确定一平面. 如何验证？如何验证？如何求？如何求？OxyzM1M2M3E-mail: 解：由于解：由于 3121MMMM=(3, 4, 6)(2, 3, 1)132643kjikji324312631364kji914=(14, 9, 1)0.故故M1, M2, M3不共线不共线.为所求平面之法向为所求平面之法向.3121MMMMn且E-mail: 故得平面方程为：故得平面方程为：=14(x2)+9

5、(y+1) (z4)=14x+9y z15 = 0,或=14(x+1)+9(y 3) ( z+2)=14x+9y z15 = 0.(xx1, yy1, zz1)n(xx2, yy2, zz2)nE-mail: 一般地，设平面一般地，设平面 过过M1, M2, M3三点三点, M1, M2, M3不共线不共线. 即即. 03121MMMM则得平面方程为：则得平面方程为：, 0)(31211MMMMMME-mail: 即即, 0),(111131312121212zzyyxxzzyyxxzzyyxxkji. 0131312121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx平面的三平面的三点式方

6、程点式方程.E-mail: 副产品：副产品：()=0, , 共面共面,称为称为 , , 的混合积的混合积. 三点共线三点共线03121MMMM或或03221MMMM或或. 01332MMMM()=()E-mail: 练习练习 已知平面通过已知平面通过P(2,0,3)和和y轴轴,建立此平面方程。建立此平面方程。解：由题意可知，向量解：由题意可知，向量与与y轴的单位轴的单位向量向量都在已知平面内，故该平面都在已知平面内，故该平面的法向量可取为：的法向量可取为：2,0,3OP 0,1,0j 203010 3,0,2ijknOPj 3(2)0(0)2(3)0320 xyzxz即：E-mail: 例例3

7、 已知平面上一点已知平面上一点P1(a,0,0), P2 (0,b,0), P3 (0,0,c);若若abc0，求平面，求平面的方程。的方程。解：解：那么那么那么那么两边同除以两边同除以abc:其中其中a,b,c称为平面方程在称为平面方程在x轴，轴，y轴，轴，z轴上的截轴上的截距。距。121 3, ,0;,0, PPa bPPac 121300ijknPPPPabbciac jabkac ()(0)(0)0bc xaac yab z1czbyaxE-mail: 上面所介绍的平面方程都是关于上面所介绍的平面方程都是关于x,y,z的一次方的一次方程；事实上，任何一平面方程必是程；事实上，任何一平面

8、方程必是x,y,z的一次方的一次方程。在程。在(1)式中令式中令那么那么(1)式变成式变成反之，方程反之，方程(2)是否一定表示平面方程呢？是否一定表示平面方程呢？结论是肯定的。任取一个满足结论是肯定的。任取一个满足(2)的点的点P1(x1,y1,z1),那么那么(2)式减去式减去(3)式，可得与式，可得与(2)式等价的方程为：式等价的方程为：000DAxByCz 0(2)AxByCzD1110(3)AxByCzD111()()()0(4)A xxB yyC zzx,y,z的一次方程的一次方程E-mail: 而而(4)式正是过式正是过P1点且法向量为点且法向量为的平面方程的平面方程综上所述，我

9、们有如下结论：综上所述，我们有如下结论：定理定理 平面方程是平面方程是x,y,z的三元一次方程；反的三元一次方程；反 之，之， 任一任一x,y,z的三元一次方程都是平面方程。的三元一次方程都是平面方程。 方程方程2称为平面的一般式方程。称为平面的一般式方程。 【讨论】【讨论】 , , nA B C（1D=0等价于平面等价于平面:Ax+By+Cz+D=0经过原点；经过原点；（2A=0等价于平面等价于平面:By+Cz+D=0,平面法向量平面法向量为为 n=0,B,C,平面平面平行于平行于x轴；轴；（3A=D=0等价于平面等价于平面：By+Cz=0,平面法向平面法向量量 为为n=0,B,C,平面平面

10、过过x轴；轴； A=B=0等价于平面等价于平面：Cz+D=0,平面法向量平面法向量 为为n=0,0,C,平面平面平行于平行于XOY轴；轴；E-mail: ： Ax+By+Cz+D=0之特例之特例.(i) 平面过原点平面过原点 D=0,(ii) / x轴轴 A=0, / y轴轴 B=0, / z轴轴 C=0,(iii) A=B=0 / x轴轴, / y轴轴, / xy 平面平面, B=C=0 /yz 平面平面, C=A=0 /zx 平面平面, (iv) A=B=D=0 Cz=0 z=0 z轴轴.E-mail: 0000(,)P xy z 已知为平面 上一点，两个不共线例例4(,)(1,2)iii

11、ivX Y Zi向量平行于 ，求平面 的方程.( , , )P x y z解：设为平面 上任意一点，则存在唯一012,P Pvv的实数 ， ，使得用坐标表示为012012012xxXXyyYYzzZZ （ ， 为参数）平面的坐标式参数方程平面的坐标式参数方程E-mail: 12(0,4, 3)(1, 2,6)PPx 求通过和且平行与 轴的平面方程.xx解 因为平面平行与 轴，所以其法向量垂直 轴，(0, , ),0,nb cbyczd可法向量即平面方程可设为1230,260,bcdP Pbcd4将的坐标代入，得: :3:2:( 6),3260.b c dyz解得故所求平面方程为例例4E-mai

12、l: 我们目前已对平面本身的解析关系描述得较我们目前已对平面本身的解析关系描述得较清楚了清楚了. 现在讨论两平面间的关系现在讨论两平面间的关系.一般说来，两平面的关系有以下几种一般说来，两平面的关系有以下几种两平面平行不重合两平面平行不重合两平面平行重合两平面平行重合两平面不平行相交两平面不平行相交 两平面法向一致但无交点两平面法向一致但无交点 两法向一致且有交点两法向一致且有交点两平面垂直两平面垂直相交但不垂直相交但不垂直两法向量垂直两法向量垂直两法向量不两法向量不 共线也不垂直共线也不垂直桥梁桥梁法向量夹角法向量夹角E-mail: 1: A1x+B1y+C1z+D1=0, 2: A2x+B

13、2y+C2z+D2=0.如何求其间夹角如何求其间夹角？分别为分别为 1， 2的法向量，的法向量， 故故cos1212| |n nnn ,222222212121212121CBACBACCBBAA20定义定义1 两平面两平面 1, 2 的法方向的法方向n1, n2的夹角的夹角称为称为 平面平面1和和 2 的夹角的夹角.由平面方程，知由平面方程，知n1=(A1, B1, C1)、 n2=(A2, B2, C2)E-mail: 2320 xyzxyz 求平面与平面的夹角。解 因为平面的法向量分别为：12(1, 1, 2),(1,2,1)nn 由夹角公示可得：1 1 1 22 11cos21 1 4

14、1 4 1 例例523所以夹角12从代数角度看，两平面和的位置关系有如下定理：E-mail: A1A2+B1B2+C1C2=0;两平面平行两平面平行0222111CBACBAkjikBABAjCACAiCBCB)()()(122112211221=) , ,(122112211221BABACACACBCB=A1:A2=B1:B2=C1:C2.两平面垂直两平面垂直n1n2=0n1n2=0 A1:A2=B1 : B2=C1 : C2000即E-mail: 平行不重合平行不重合重合重合 A1:A2=B1:B2=C1:C2 D1:D2;A1:A2=B1:B2=C1:C2= D1:D2 .特殊情形：特

15、殊情形：E-mail: 例例6 设平面设平面 过点过点M1(1, 0, 0), M2(1, 1, 1)且与且与平面平面1：x+y+z=0垂直，垂直， 求平面求平面 .而而 过点过点M1, M2. 故故平面平面 / M1M2 .设设1法向法向n1=(1, 1, 1).因而，平面因而，平面 n1M1M2 .n1M1M2即即 的法向的法向 n =n1M1M2 .那么那么 平面平面 / n1 .解：解：E-mail: 110111kjikj ).1 , 1 , 0(故得平面故得平面方程为方程为. 0)0()0() 1(0zyx即即. 0zy)01 , 01 , 11 () 1 , 1 , 1 (nE-

16、mail: 例例7 设平面设平面 过点过点P(1, 0, 1)且垂直于直线且垂直于直线求平面求平面 .设平面设平面的法向量的法向量n，其余两平面的法向量分别为其余两平面的法向量分别为 n1，n2，解解1：00 xzxyz121012111ijknnnijk 则平面 的方程为：(x-1)-2(y-0)+z-1=0E-mail: 平面平面 经过经过M(1,0,1),所以可令平面所以可令平面的点的点法式方程为：法式方程为：解解2：(1)(0)(1)0A xB yC z因平面因平面 与两已知平面垂直，所以与两已知平面垂直，所以00ACABC解得：解得：0,2ACBC (1)2 (0)(1)020C x

17、C yC zxyz则：E-mail: 练习练习 设平面设平面 过原点及点过原点及点(6, -3, 2)且与平面且与平面垂直，求平面垂直，求平面 .由于平面由于平面过原点，所以可设平面过原点，所以可设平面方程为：方程为：Ax+By+Cz=0解：解：428xyz63203,4202ABCAB CBABC 则：2230 xyz则平面 的方程为：E-mail: 例例8 求平面外一点到平面的距离求平面外一点到平面的距离解：如图解：如图设平面设平面 : Ax+By+Cz+D=0. 那么那么平面上点平面上点M1(x1, y1, z1)满足满足 A1x+B1y+C1z+D1=0.由于由于 M0N 为之法向量为之法向量.故故M0N / n=(A, B, C).nM1NM0|0NMd |cos|10MM即即E-mail: 0|