椭圆与双曲线的必背的经典结论

1、椭圆与双曲线的必背的经典结论1.点P处的切线PT平分PFF2在点P处的外角.2.PT平分PF1F2在点P处的外角,那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.5.假设外(%,)在椭圆2a2b222=1上,那么过R的椭圆的切线方程是x°xy°y一丁=1.6.2,2ab=1外,那么过Po作椭圆的两条切线切点为P、P,那么切点弦P1P2的直线方程是x0xV0V2.2-Jab以焦点半径PR为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.227.xy椭圆二十、=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点

2、P为椭圆上任意一点aby/F1PF2=¥,那么椭圆的焦点角形的面积为S庄1Pf2=b2tan3.22xy8.椭圆一2+=1(a>b>0)的焦半径公式：a2b2|MFJ=ae%,|MF2|=a-e%(F1(-c,0),F2(c,0)M(%,y.).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于MN两点,那么MFLNF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A、色为椭圆长轴上的顶点,AF和A2Q交于点M,A2P和AQ交于点N那么MFLNF.11.AB是椭圆2ab2b2=1的不平行于对称轴的弦,M(

3、x0,y0)为AB的中点,b2x020av.12.假设P0(x0,y0)在椭圆b2=1内,那么被Po所平分的中点弦的方程22x0x._y_y二迎.近.22,2bab2213.P0(x0,y0)在椭圆xy,二十=1内,那么过Po的弦中点的轨迹方程ab双曲线1 .点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2 .PT平分PFF2在点P处的内角,那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4 .以焦点半径PFi为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切:P在左支)X2V25 .假设B(Xo,y.)在双曲线-

4、7彳=1(a>0,b>0)上,那么过P0的双曲线的切线方程ab是W一里二1.abx2y26 .假设PA-cnVo)在双曲线-7=1(a>0,b>0)外,那么过Po作双曲线的两条切ab线切点为P1、P2,那么切点弦P1P2的直线方程是-0-Y0Yb2=1.7.22XV双曲线_2_=1(a>0,b>o)的左右焦点分别为abF1,F2,点P为双曲线上任8.意一点2EPF2=¥,那么双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2-bCOt3.x2y2.双曲线二22=1(a>0,b>o)的焦半径公式：(F1(c,0),F2(c,0)ab当M(-0,y0)在

5、右支上时,|MFI|=e%+a,IMF2|=e-0a.当M(X0,y0)在左支上时,|MF1|=-ex0+a,IMF21=e%-a9 .设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于MN两点,那么MFLNF.10 .过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A、4为双曲线实轴上的顶点,AP和A2Q交于点MA2P和A1Q交于点N,那么MFLNF.11 .12.x2y2AB是双曲线一2一一2=1(a>0,b>0)的不平仃于对称轴的弦,M(-0,y°)为ABabb2b2的中点,那么KomKab=T&#

6、176;,即Kabay.ay.22假设P0(-0,y0)在双曲线34=1(a>0,b>0)内,那么被Po所平分的中点弦的ab方程是22-0-y0y-0y=13.22-y右P0(-0,y0)在双曲线T-2=1(a>0,b>0)内,那么过Po的弦中点的轨迹万ab22程是今一看=等一巧abab1.2.3.4.椭圆与双曲线的对偶性质-(会推导的经典结论)椭圆X2V2椭圆-2+4=1(a>b>o)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0),与y轴平行的直ab22线交椭圆于Pi、P2时AiPi与A2P2交点的轨迹方程是与%=1.abx2y2过椭圆+2L=i(a>

7、0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直ab一,_一八,、-b2x线交椭圆于B,C两点,那么直线BC有定向且kBC=-°(常数).aV.22xy右P为椭圆=+22=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,Fi,F2是焦点,aba-c:工F,/PF|F2=口,/PF2F1=F,贝U=tan-cot一.ac2222xy设椭圆-2+=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上a2b2任意一点,在PF1F2中,记NF1PF2=,/PFF2=P,/FFzPnY,那么有sin二_c_sin.,sina225.假设椭圆W十4

8、=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、F2,左准线为L,那么当0ab<e<J2-1时,可在椭圆上求一点P,使得PE是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.226.P为椭圆十一=1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,a2b27.椭圆(x-x0)22a.(y-y0)2b2=1与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是那么2a-|AF2|W|PA|+|PF1户2a+|AE|,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成A2a2B2b2-(AxBy0C)2.228.椭圆"十一=1(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆

9、上两动点,且OP_LOQ.ab11114a2b2(1)2+2=+-2;(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为-22；(3)Spq|OP|OQ|abab的最小值是2,2ab22i.ab29.xy过椭圆+22=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦a2b2M弼垂直平分线交x轴于巳那么J-PLL=-|MN|210.22椭圆二y.a2b2=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分11.12.13.14.15.线与x轴相交于点设P点是椭圆2.22.2a-ba-bP(Xo,0),那么一<Xo<aaxy-2+2=1(a>b&

10、gt;0)上异于长轴麻?点的任一点2b2记/F1PF2=0,设A、B是椭圆,F1、F2为其焦点皿2b22,那么(1)IPFiIIPFzIi+cosG.(2)S点“=btan.22xy二+22=1(a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,abNPAB=a,ZPBA=P,ZBPA=¥,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,那么有22,22ab|cos二|2c2ab,|PA|=122.(2)tan=tan.=1-e.(3)Spab=万2cot.a-ccosb-a22xy椭圆一2+2=1(a>b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点Fab的直线与椭圆相交于A、B

11、两点,点C在右准线l上,且BC_Lx轴,那么直线AC经过线段EF的中点.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17 .椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.椭圆与双曲线的对偶性质-(会推导的经典结论)双曲线22xV1.双曲线F4=1(a>0,b>0)的两个顶点

12、为A(a,0),A2(a,0),与y轴ab2218 .椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中央的比例中项平行的直线交双曲线于Pl、P2时APl与A2P2交点的轨迹方程是勺+与=1.ab22xV2.过双曲线不-4=1(a>0,b>o)上任一点A(X0,y0)任意作两条倾斜角互abb2Xc补的直线交双曲线于B,C两点,那么直线BC有定向且kBC=-20(常数).ay02 2XV3 .右P为双曲线=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,abF2是焦点,ZPF1F2,ZPF2F1=P,那么=12上82(或ca22c-aP:工=tanco1.ca22x2v

13、24.设双曲线-2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)ab为双曲线上任意一点,在PF1F2中,记ZF1PF2=«,/PF1F2=B,NF1F2P=丫,那么有sn背=c=e.(sin-sin-)a22XV5.F、已,左准线为L,右双曲线下=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为ab那么当1vewJ2+1时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PE的比例中项.22XV6 .P为双曲线一2'-2=1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线ab内一定点,那么|AF2|22工厂人|十|,

14、当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在V轴同侧时,等号成立x2v27 .双曲线工_22=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条ab件是A2a2-B2b2_C2.22xv8 .双曲线二三=1(b>a>0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,ab且OP_OQ.(1)112-2|OP|OQ|12；(2)|OP|+|OQ|的取小值为b2A2.24ab722b-a；(3)S.QPQ2b2的最小值是4-.b2-a2229.过双曲线二-与=1ab(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,那

15、么|PF|=e|MN|一210.11.线段AB的2.2ab.a离心率,那么有(1)(2)tan二tan:22ab|cos|PA|一12221|a-ccos|2=1e.(3)Spab-2,22abx22cot.ba22xy双曲线、=1(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,ab2.2ab垂直平分线与x轴相父于点P(x0,0),那么x0至或x0E-a22xv设P点是双曲线二方=1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、Faab2b2为其焦点记F1PF2=Q,那么(1)|PF1|PF2|=.(2)1-cos1C,2,S.PF1F2-bcot2.2212.设A、B是双曲线与_匕=1(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的a2b2一点,/PAB=a,/PBA=P,/BPA=¥,c、e分别是双曲线的半焦距2213.双曲线与一4=1(a>0,b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过双曲ab线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BC_Lx轴,那么直线AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半