理学第五节不定积分学习教案

1、会计学1理学理学(lxu)第五节不定积分第五节不定积分第一页，共120页。设, )()(ufuF )(xu 可导, )(dxF 则有uufd)(xxxfd)()( xxxfd )()( CxF)(第一类换元法xxxfd)()( uufd)( 原函数？cuFuuf )(d)(第1页/共120页第二页，共120页。定理(dngl) xxxfd)()( uufd)(第一类换元公式(gngsh) )(d)(xxf )(xu （凑微分(wi fn)法）证 xxxfd)()( dxduuf)( )(xu 则有换元公式设)(uf具有原函数)()(xxf )(xu ，)(uF连续)(),(xuf cxF )(

2、 )( xF dxduuF)( cxFcuFxu )()()( cuFuuf )(d)(第2页/共120页第三页，共120页。例 求 xxd2sin法一 xxd2sind2sin xCx 2cos21 法二 xxd2sin xxxdcossin2 )(sindsin2xx Cx 2sinxu2 uudsin21xusin Cu cos21 uud2Cu 221)2( x解Cxxx cosdsinCxxx 1d1 第3页/共120页第四页，共120页。 法三 xxd2sin xxxdcossin2 )(cosdcos2xx Cx 2cosxucos uud2Cu 2 同一个积分用不同的方法计算,

3、可能得到(d do)表面上不一致的结果,但是实际上都表示同一族函数. 注Cxxx 1d1 第4页/共120页第五页，共120页。 )(bxaf)(dbxa a11( ).u ax bf u dua 例第5页/共120页第六页，共120页。例 求xxd231 解xxd231 xxxd)23(23121 uud121 Cu |ln21Cx |23|ln21)23(d23121xx xu23 Cuuu|lnd1第6页/共120页第七页，共120页。xxd31 对第一(dy)换元积分法熟练后,可以不再写出 中间变量. Cx 23313231注31 )1(1d1 Cxxx)31(dx x31第7页/共1

4、20页第八页，共120页。例 若已知 dxx851dtt312dyyy1242求:（1） （2） (3) 解(1) 令 dxx851, 85 xudxx851)85(85151xdx, 85 xu令（ ）cxcuduu855252151解(2) dtt312由于(yuy) cucuduu34311343311112 tuCudxu111第8页/共120页第九页，共120页。dtt312ctcucuduu3434343) 12(83834321213121 (21)2tdt解(3) dyyy1242dyyy1242) 12(12122ydy 122yu令 cycuduu122212第9页/共12

5、0页第十页，共120页。 练习(linx) 计算下列(xili)不定积分（1） 32xdx（2） dxx2)2(3dtt541dxxx1332（3） （4） dxxx232dxxx431（6） （5） 例19 利用(lyng)不定积分公式 ， cuudusincoscuuducossin计算不定积分:（1） （2） dss)21cos(dttt) 11cos(12xdxtan（3） （4） xdxcot第10页/共120页第十一页，共120页。 )(nxfd .nxn12d .4xxx 2122d()4xx 2d4xxx 凑成高次方的导数保留高次方，把低次方例5 求解1222d(4)4xx 2

6、12ln(4.)xC cuduuln1第11页/共120页第十二页，共120页。.de22 xxx求求 )(dede2222xxxxxuudeCu e.e2Cx .d12 xxx求求)1 (d)21(1d1222xxxxx.)1(31232Cx 例3解例4解)1(1d1 Cxxx第12页/共120页第十三页，共120页。例 求解uude dxexxx221)()(xxdexx221222 dxexxx221)(cexx 2221Cu e第13页/共120页第十四页，共120页。()fx d .x2例6 求3ed .xxx 解 原式 =32 edxx 32ed(3)3xx 32e .3xCdxx

7、xsin例：第14页/共120页第十五页，共120页。例 求解 原式 = 213xxxfd)()( )(cosxdx11 )1d()1(xxfdxxx 21coscx )sin(1第15页/共120页第十六页，共120页。 )(sin xfdsin .x )(cos xfdcos .x 时要保留一个凑一个。当被积函数有xx cos,sin第16页/共120页第十七页，共120页。 )(sin xfdsin .x )(cos xfdcos .x 例 求.dtan xx解cossindxxx c sdcosoxx ln cos .xC xxdtandxxxcossin例：xdx coscoscx2

8、3)(cos32第17页/共120页第十八页，共120页。.dsin3 xx求求 xxxxxdsinsindsin23 )(cosd)cos1(2xx )(cosdcos)(cosd2xxx.cos31cos3Cxx 例解sincos,nnxx被积函数为或 注,n当 是奇数时 要拆项。第18页/共120页第十九页，共120页。例 求 xxdsin2解 xxdsin2 xxx2d2cos41d21Cxx 2sin412,n当 是偶数时sincos,nnxx被积函数为或用倍角公式(gngsh)降幂(jin m), 注 dxx)cos(2121第19页/共120页第二十页，共120页。.dcos4

9、xx求求224)(coscosxx 由于由于2)22cos1(x )24cos12cos21(41xx ),24cos2cos223(41xx d4cos21d2cos2d2341dcos4 xxxxxxx所以所以.4sin3212sin4183Cxxx 例解)2cos2cos21(412xx 第20页/共120页第二十一页，共120页。例 求解 xxxd2cos3cos)cos()cos(21coscosBABABA )5cos(cos212cos3cosxxxx xxxxxxd)5cos(cos21d2cos3cosCxx 5sin101sin21 不同角度(jiod)的正弦、余弦之积的积

10、分常用积化和差公式来化简.注第21页/共120页第二十二页，共120页。例.dcossin52 xxx求求解 xxxdcossin52 )(sindcossin42xxx )(sind)sin1(sin222xxx )(sind)sinsin2(sin642xxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明当被积函数是三角函数(snjihnsh)相乘时, 拆开奇次项去凑微分.第22页/共120页第二十三页，共120页。 )(tan xfdtan .xxdxxf2csc)(cot)7(xdxfcot)(cot。凑时要保留当被积函数有xxxx22sectansec,tan。凑时要保留当被

11、积函数有xxxx22csccotcsc,cot第23页/共120页第二十四页，共120页。例 求解 xxdsin1 xxdcsc xxdcsc xxxd2cos2sin21 2d2cos2tan12xxx 2tand2tan1xxCx 2tanlnCxx )cotln(csc（使用(shyng)了三角函数恒等变形）分步凑法一 xxxfdsec)(tan2 xxftand)(tan第24页/共120页第二十五页，共120页。例17.dsec6 xx求求 xxxxxdsec)(secdsec2226 )(tand)tan1(22xx )(tand)tantan21(42xxx.tan51tan32

12、tan53Cxxx 解第25页/共120页第二十六页，共120页。(arctan )fx arctadn .xa1a第26页/共120页第二十七页，共120页。例 求xxad122 解xxad122 xaxad111222 xaxad11122 Caxa arctan1xxad122 Caxa arctan1 xxd112Cx arctan axaxad1112分母不能因式分解第27页/共120页第二十八页，共120页。.32d2 xxx解: 原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC分母不能因式分解xxad122 Caxa arctan1第28页/共120页第二十

13、九页，共120页。例.d25812xxx 求求解xxxd25812 xxd9)4(12 xxd13413122 34d1341312xx.34arctan31Cx xxad122 Caxa arctan1第29页/共120页第三十页，共120页。例 求xxxxdarctan 214解: 原式xxxxx)darctan( 22114 )(arctanarctan22111214xdxxxdcxx )ln()(arctan221212第30页/共120页第三十一页，共120页。(arcsin )fx arcsidn .x22d (0).xaax 解2d1( )xaxa 2d( )1( )xaxa

14、arcsin .xCa 22dxax第31页/共120页第三十二页，共120页。例 解 dxxxx211arcsindarcsin原式原式xxxdarcsin 211cxx arcsin)(arcsin221第32页/共120页第三十三页，共120页。例 解 dxx2161)(原式原式xxxd 2251dxx 2611161)()()(6161112 xdxcx )arcsin(61第33页/共120页第三十四页，共120页。(e )xf dex)(xxede 111dxeexx 1解cex )ln(1第34页/共120页第三十五页，共120页。(e )xf dexd.1exx 解d1exx

15、(1e )ed1exxxx xd d()1ee1xx x ln(1e ) .xC第35页/共120页第三十六页，共120页。dteett 12dteett 1解ttdee 211)(cet arctan第36页/共120页第三十七页，共120页。例 xxxdln 解xxxdln )(lndlnxxCx 2)(ln2 )(ln xfdln .x第37页/共120页第三十八页，共120页。 )(ln xfdln .x.)ln21(d xxx xln21dln x解 原式 = xln2121)ln21(dx 1ln 12ln .2xC第38页/共120页第三十九页，共120页。小结(xioji)常见

16、的凑微分(wi fn)类型有 xbaxfd)( xxbaxfmmd)(1 )(d)()1(111baxbaxfmamm )0()(d)(1abaxbaxfa 2d)1(xxxf )1d()1(xxf xxxfd1)(ln )lnd()(lnxxf xeefxxd)()d()(xxeef xxxfd)()d()(2xxf 第39页/共120页第四十页，共120页。 xxxfdsec)(tan2 xxxfdcsc)(cot2 xxxfd11)(arcsin2 xxxfd11)(arctan2小结(xioji) xxxfdcos)(sin xxxfdsin)(cos xxfdsin)(sin xxf

17、dcos)(cos xxftand)(tan xxfcotd)(cot xxfarctand)(arctan xdxfarcsin)(arcsin第40页/共120页第四十一页，共120页。例 求xxxd)1(3 解xxxd)1(3 xxd)1(3 )1(d)1(1)1(132xxx Cxx 2)1(2111 某些(mu xi)有理函数x1 1 第41页/共120页第四十二页，共120页。 下列(xili)各题求积方法有何不同? xx4d)1( 24d)2(xxxxxd4)3(2 xxxd4)4(22 24d)5(xx xx4)4(d 2)2(1)2(d21xx 224)4(d21xx xxd

18、4412 41 xdxx 2121 2)2(4x)2(d x 246xxdx)(第42页/共120页第四十三页，共120页。解（1） 令 dss)21cos()21 ()21cos(21sdssu21cscuduu)21sin(21sin21cos21（2） 令 dttt) 11cos(12) 11() 11cos(tdt11tuctcuudu) 11sin(sincos（3） xdxtanxdxdxxxxdxcoscos1cossintan 令 xucosCuduu|ln1Cx cosln即 Cxxdx|cos|lntan第43页/共120页第四十四页，共120页。(4) xdxcotxdx

19、cotxdxdxxxsinsin1sincosxusin令xdxcotCx sinln即练习(linx):计算下列不定积分（1） （2） （3） xdxxcossindxxx3cossindxxxxxcossincossindttt)sin()(cos2（4） （5） dxxx2cos例20 计算(j sun)不定积分 ( ) dxxa2210a第44页/共120页第四十五页，共120页。解 dxaxadxxa2222)(1111Caxaaxdaxaarctan1)(1112例21 当 时，求不定积分(b dn j fn) 0adxxa221解dxaxadxxa222)(1111Caxaxda

20、xarcsin)(112 即 dxxa221Cax arcsin 第45页/共120页第四十六页，共120页。练习(linx): 计算下列不定积分( 1) ( 2) (3) dxx221dxx231dxxx21arctan （4） （5） （6）dxxx21arcsindxxx21arccosdxxx229 （7） （8）dxxx2491dxxx2arcsin319例22 利用(lyng)不定积分公式 ,求不定积分 cxdxxln1dzzz2)(ln解 令 dzzz2)(lnzdzln)(ln2 zuln第46页/共120页第四十七页，共120页。cz3)(ln31=例23 求不定积分(b d

21、n j fn) .)ln21 (dxxx解 )ln21 (ln21121lnln211)ln21 (dxdxxdxxxxxuln21令cxcuduuln21ln21ln21121练习计算下列(xili)不定积分（1） （2）dttt321dttt231例24 利用(lyng)不定积分公式 求不定积分cedxexx.11dxex第47页/共120页第四十八页，共120页。解 dxex11dxeeexxx1)1 (dxeexx)11 ()1 (11xxededxcexx)1ln( 例25 求不定积分(b dn j fn) .32dxexxdxexx323331dxexcex331 解 练习(lin

22、x)计算(j sun)下列不定积分（1） （2） （3） （4）dyyeydtetett1dxeexx1dxeexx21常用的第一类换元积分法有如下的几种形式：第48页/共120页第四十九页，共120页。 （1）dxbaxf)()()(1baxdbaxfa0a （2）)()(1)(1baxdbaxfandxbaxfxnnnn0a 当被积函数(hnsh)中有 时,一般是保留高次方 ,将低次方 凑成高次方的导数 .nnxx,1nxx1nxndxn1（3） )()(2)(1xdxfdxxfx当被积函数(hnsh)中有 和 时,一般是保留 ,将 凑成 xx1xd2xx1 （4） )1()1()1(12

23、xdxfdxxfx当被积函数中有 和 时,一般(ybn)是保留 ,将 凑成 x121xx121x第49页/共120页第五十页，共120页。)1(xd（5） cxdxfxdxxfcos)(cossin)(coscxdxfxdxxfsin)(sincos)(sin（6） 当被积函数(hnsh)中有 和 时,根据题意,可以保留 , 将 凑成,也可保留 ,也可以保留 ,将 凑成 xsinxcosxdsinxsinxcosxcosxd cosxsin （7） cxdxfxdxxftan)(tansec)(tan2当被积函数中有 和 时,一般(ybn)是保留 ,将 凑成 xtanx2secxtanx2se

24、cxd tan第50页/共120页第五十一页，共120页。 （8） cxdxfxdxxfcot)(cotcsc)(cot2 当被积函数中有 和 时,一般(ybn)是保留 ,将 凑成 . xcotx2cscxcotxd cotx2csccxdxfdxxxfarctan)(arctan11)(arctan2 （9） 当被积函数中有 和 时,一般(ybn)是保留 ,将 凑成 xarctan211xxarctan211xxd arctancxdarcxarcfdxxxarcfcot)cot(11)cot(2 （10） 第51页/共120页第五十二页，共120页。 当被积函数(hnsh)中有 和 时,一

25、般是保留 , 将 凑成 xarccot211xxdarccotxarccot211xcxdxfdxxxfarcsin)(arcsin11)(arcsin2 （11） xarcsin211x 当被积函数中有 和 时,一般(ybn)是保留 , 将 凑成 xd arcsinxarcsin （12） cxdxfdxxxfarccos)(arccos11)(arccos2 当被积函数(hnsh)中有 和 时,一般是保留 , xarccos211x211xxarccos第52页/共120页第五十三页，共120页。将 凑成 .211xxd arccos （13）cdeefdxeefxxxx)()(当被积函数

26、中有两个 时,一般保留(boli)一个 ,将另一个 凑成 xexexexde （14） xdxfdxxfxln)(ln)(ln1当被积函数(hnsh)中有 和 时,一般是保留 ,将 凑 成 xlnx1xlnx1xd ln 例26 求不定积分(b dn j fn) dxexx223第53页/共120页第五十四页，共120页。解 dxexx223cexdexx2323331)2(31例27 求不定积分(b dn j fn) d3)5cos(sind3)5cos(sin)5cos()5cos(3dc)5(cos414 = 解 例28 求不定积分(b dn j fn) xdx2cos 解 被积函数为正

27、弦或余弦函数的偶数(u sh)次方时，一 般用倍角公式降幂,再积分.第54页/共120页第五十五页，共120页。xdx2coscxxxxdxdxx)2sin(4121)2(2cos4121)2cos1 (21例29 求不定积分(b dn j fn) xdx4cos解 被积函数为正弦或余弦函数的偶数次方时，一般用倍角公式降幂(jin m)再积分.xdx4cosdxxxdxx)2cos2cos21 (41)2cos1 (4122 第55页/共120页第五十六页，共120页。dxxx)4cos212cos223(41cxxx)4sin812sin23(41cxxx4sin3212sin4183例30

28、 求不定积分(b dn j fn) xdxcscxdxcsc解 22cos2tan12cos2sin21sin12xdxxdxxxdxxcxxdx2tanln2tan2tan1cxxcotcscln第56页/共120页第五十七页，共120页。例31 求不定积分(b dn j fn) xdxsec解 利用(lyng)例29的结论,xdxseccxxxdx)2cot()2csc(ln)2()2csc(cxxtansecln例32 求不定积分(b dn j fn) xdx3sin解 被积函数为正弦或余弦函数的奇数次方时，一般拆项，凑微分.xdx3sinxdxx sinsin2xxd cossin2=

29、 第57页/共120页第五十八页，共120页。xdxcos)cos1 (2cxxxxdxd32cos31coscoscoscos = 例33 xdxx52cossinxdxx52cossinxxdxsincossin42 解 xdxxsin)sin1 (sin222xdxxxsin)sinsin2(sin642cxxx753sin71sin52sin31第58页/共120页第五十九页，共120页。例34 求不定积分(b dn j fn) xdxx3cos2sin解 若被积函数是两个(lin )不同角度的正弦函数和余弦函数相乘,或是两个(lin )不同角度的正弦函数相乘,或是两个(lin )不同

30、角度的余弦函数相乘,一般首先要经过积化和差公式,将被积函数化为两个(lin )三角函数相加减的形式,再积分.xdxx3cos2sincxxdxxx5cos101cos21)sin5(sin21第59页/共120页第六十页，共120页。例35 dxxx2cos3cosdxxx2cos3cos解 dxxx)5cos(cos21cxx5sin101sin21第一换元积分法是在已知 的条件下，要计算不定积分 ，需要通过(tnggu)变量替换 ，将 化为 的形式，再 利用已知的公式 ，求出不定积分，第一换元积分法为我们解决了一大部分复合函数的不定积分问题,但是cuFduuf)()(dxxxf)()()(

31、xudxxxf)()(duuf)(第60页/共120页第六十一页，共120页。还有一类函数(hnsh)的不定积分用第一换元积分法不能解决,如: dxxadxaxdxxadxx222222,111这一类的不定积分(b dn j fn)可以利用第二换元积分法解决. 二、第二类换元积分法第二类换元积分法是在已知 的前提下，要计算(j sun)不定积分 ，这样需要通过变量替换 将 化为 的形式，从而求出其不定积分。ctFdxttf)()()(dxxf)()(txdxxf)(dxttf)()(第61页/共120页第六十二页，共120页。定理(dngl)第二类换元积分法) 设 具有原函数 ,即 ,而 是单

32、调(dndio)可导函数,则有换元公式： )()(ttf)(tFctFdxttf)()()()(txdxxf)(cxFdxttftx)()()(1)(. 其中(qzhng) 是 的反函数.)(1xt)(tx证明 由复合函数和反函数的求导法则可得dxdtdtdFcxFdxd)(1)(tF)()(ttf)()()(ttftFdtd 是 的原函数 第62页/共120页第六十三页，共120页。又 是单调可导函数(hnsh),具有反函数(hnsh),且 )(tx)(11tdtdxdxdtdxdtdtdFxFdxd)(1)()()(1)()(xftftttf即 是 的原函数 )(1xF)(xfdxxf)(

33、cxF)(1在应用第二类换元积分法时,关键的是寻找(xnzho)变量替换,做题的基本思路是怎么能去掉根号就怎么做.第63页/共120页第六十四页，共120页。例36 求不定积分(b dn j fn) dxx21解 在本题中,为了去掉根号(n ho),可以令 则 , ,代入原式 , tx 2tx tdtdx2dxx21tdtt221cttdttdttt2ln42)221 (222)2(2cxx2ln42第64页/共120页第六十五页，共120页。,nndcxbaxbax注（1）当被积函数含有(hn yu) ,可将无处理的部分设成 .t （2）当被积函数含有 两种或两种以上(yshng)的根式可令

34、 ,其中 为各根指数 ,lkxxntx n练习(linx)1. 求不定积分 dxxx)1 (132.求不定积分 dxxxx11第65页/共120页第六十六页，共120页。当被积函数含有 时,一般可以(ky)利用三角代换去掉根号.222222,xaaxxa例37 求不定积分(b dn j fn) ( )dxxa220a解 设 , ,有 ,taxsin2,2ttdtadxcosaxtarcsin dxxa22 dtttftdtataa)()(222cossin =ctatatdtatdtta2sin42coscoscos22222cttatacossin2222 =第66页/共120页第六十七页，

35、共120页。cxaxaxa2222arcsin2 = (还原(hun yun) 根据(gnj) ,作辅助直角三角形:axt sintax第67页/共120页第六十八页，共120页。例38 求不定积分(b dn j fn) （ ） dxax2210a解 设 , ,有 ,2,2ttaxtantdtadx2sec当 时, 单调(dndio),有反函数,且taxtan2,2tttsecsecdxax221tdtdttttdtaatasecsecsecsectan122222ctt tansecln=为了(wi le)将 上式换元成的函数,一般需要作一个辅助直角三角形.x第68页/共120页第六十九页，

36、共120页。根据(gnj)taxtantax22ax 则aaxt22sec第69页/共120页第七十页，共120页。所以(suy)dxax221caaxxctt22lntansecln= 122lncaxx例39 求不定积分(b dn j fn) （ ）dxax2210a解 设 , ,则taxsec)2, 0(xtdttadxtansec 第70页/共120页第七十一页，共120页。当 时, ,即 有反函数,且)2, 0(xaxt secxat costttantandxax221tdttdttaatasectansecsec1222ctttansecln为了还原(hun yun)函数,由 ,

37、作一个辅助直角三角形,axt sec第71页/共120页第七十二页，共120页。tx22ax 可求出aaxt22tan所以(suy)dxax221ctttansecln第72页/共120页第七十三页，共120页。caaxax22ln122lncaxx注 由例37、例38、例39可以看出它们都是进行的三角代换,有如下(rxi)规律:(1)当被积函数(hnsh)为 ,一般作替换 ,dxxaf)(22taxsin2,2t(2)当被积函数(hnsh)为 ,一般作替换 ,dxxaf)(22taxtan2,2t第73页/共120页第七十四页，共120页。(3)当被积函数为 ,一般(ybn)作替换 ,dxa

38、xf)(22taxsec)2, 0(x我们想想为什么要作这样的替换呢?可以看出来,经过这样的三角替换,可以把根式去掉(q dio),从而使被积函数容易积分,下面我们再举例看看这些规律怎么应用于实践.例40 求不定积分(b dn j fn)dxxx2322)9(第74页/共120页第七十五页，共120页。解 设 , ,txsin32,2txdtdxcos3dxxx2322)9(tdtttcos3)sin99(sin92322tdtttcoscossin9393223cttdtttdttan) 1(sectan22由 ,作一个(y )辅助直角三角形.3sinxt 第75页/共120页第七十六页，共

39、120页。t3x29x由直角三角形可得29tanxxtdxxx2322)9(cxxxctt3arcsin9tan2第76页/共120页第七十七页，共120页。由直角三角形可得29tanxxtdxxx2322)9(cxxxctt3arcsin9tan2例41 求不定积分(b dn j fn)dxx252)15(解 此例题可用三角(snjio)替换,令 , ,则txtan152,2ttdtx2sec15dxx252)15(tdtt2252sec15)15tan15(第77页/共120页第七十八页，共120页。tdt32cos15ctt)sin31(sin1532由 ,作一个(y )辅助直角三角形,

40、可得15tanxt 15sin2xxttx152x第78页/共120页第七十九页，共120页。dxx252)15(ctt)sin31(sin1532cxxxx)15(315(225123222 上面我们归纳的三种不定积分需要进行三角替换(t hun),以便能顺利地去掉根号,我们还可以进行另一种替换(t hun),即倒代换,可能使得积分运算更简便一些.一般,当一个分式的分母 的方幂大于分子的方幂时,可以尝试用倒代换.tx1x第79页/共120页第八十页，共120页。例42 求不定积分(b dn j fn)dxxx 4122解 此题被积函数是分式,且分母(fnm) 的方幂大于分子的方幂,我们设 ,

41、则有xxtx1dttdx21dxxx 4122dtttt)1(4111222dttt142) 14(1418122tdtct14412cxx442第80页/共120页第八十一页，共120页。例43 求不定积分(b dn j fn)dxxx )2(17解 此题被积函数是分式,且分母 的方幂大于分子(fnz)的方幂,我们设 ,则有tx1xxdttdx21dxxx )2(17dtttt)1(2)1(22dttt7621 =ct721ln141cxxln212ln1417第81页/共120页第八十二页，共120页。练习(linx) 求下列不定积分dxx411（1）dxxx92（2）（3）32)1 (x

42、dx322)(axdxxxdx1)2(dxxx23412xxdx（4）（5）（6）（7）第82页/共120页第八十三页，共120页。三、分部积分法每一个微分法则，都对应一个积分法则，例如，复合函数的微分法则对应着换元积分法，两个(lin )函数乘积的微分法则对应着分部积分法,设 可微，那么)(),(xvxu)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu,对等式(dngsh)两边求不定dxxvxuxvxuxvxu )()()()()()(dxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(可以(ky)简单写成 （1）dxvuuvdxvu第83页/共120页第八十四页，共120页。上式也可

43、变成)()()()()()(xduxvxvxuxdvxu可以(ky)简单写成 (2)duvuvdvu公式(gngsh)(1)和公式(gngsh)(2)称为分部积分公式(gngsh).一般，被积函数为两个函数乘积时，可以用分部积分法.例44 .sinxdxx解1 ，则xxvxxusin)(,)(xxvxucos)(, 1)(由公式(gngsh)(1)dxvuuvdxvudxxxxdxxxvuvuvu)cos(1)cos(sin第84页/共120页第八十五页，共120页。cxxxsincos解2 ，则xdxxdvxxusin)(,)(由公式(gngsh)(2)xxvdxxducos)(,)()()

44、()()()()(xduxvxvxuxdvxudxxxxxxduvvudvudx)cos()cos(sinxdxxxcoscoscxxxsincos在上面(shng min)例题中,我们假设 ,为什么不设 呢?我们可以这样做一下,xdxxdvxxusin)(,)(xdxxdvxxu)(,sin)(第85页/共120页第八十六页，共120页。看看(kn kn)有什么结果:xdxxdvxxu)(,sin)(设221)(,cos)(xxvxdxxdu应用(yngyng)公式: duvuvdvudxxxxxxxdxdxxcos21sin21)21(sinsin222 我们发现应用(yngyng)公式后

45、 比原式的积分 更复杂了,那么应用(yngyng)分部积分公式应该遵循什么规律呢?dxxxcos212xdxxsin应用分部积分公式时，恰当选取 是关键，选取 的一般原则是：)(),(xdvxu)(),(xdvxu第86页/共120页第八十七页，共120页。（1） 要容易(rngy)求（2） 比 容易(rngy) 求.)(xv)()(xduxv)()(xdvxu例45 求不定积分(b dn j fn)dxexx 2xexvxxu)(,)(2xexvxxu)(,2)(dxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(解 ，则 ，由分部积分(jfn)公式：dxexexvxuvxu)2(2dx

46、exvx u2（再一次应用分部积分公式）)(22dxexeexxxxcexeexxxx222第87页/共120页第八十八页，共120页。注 选取(xunq) 的规则是：)(xu（1）当被积函数是多项式 与三角函数(snjihnsh)、指数函数相乘时，即)(xPndxexPxdxxPxdxxPxnnn)(,cos)(,sin)()(xu取多项式， 取三角函数(snjihnsh)和指数函数。)(xv（2）当被积函数是多项式 与反三角函数、对数函数相乘时，即xdxxPxdxxPxdxxPnnnln)(,arccos)(,arcsin)()(xPn 取反三角函数和对数函数， 取多项式函数。)(xu)(

47、xv（3）当被积函数是两个函数的乘积，按“反对幂三指” 的顺序，前者为 ，后者为)(xu)(xv第88页/共120页第八十九页，共120页。反: 反三角函数对: 对数函数(du sh hn sh)幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数例46 计算(j sun)不定积分xdxlnxvdxxdu,1解 设 则有 由公式(gngsh)(2) ,lndxdvxuduvuvdvuxdxlncxxxdxxxdxxxxxlnln1ln第89页/共120页第九十页，共120页。例47 计算(j sun)不定积分.ln2dxxx解 设 则有,ln2xdxdvxu.1,1xvdxxduduvuvdvu由公式(g

48、ngsh)（2）cxxxxdxxxdxxx1lnlnln22例48 已知 的一个(y )原函数为 ,求)(xfx2lndxxf x)(解 用分部积分公式可以处理这类题目.dxxf x)(dxxfxxfxxdf)()()(第90页/共120页第九十一页，共120页。cxxx22ln)(lncxx2lnln2注 在不定积分运算中,若被积函数含有 ,可以考虑利用(lyng)分部积分法,设)(xf ).(xfv 例49 计算(j sun)不定积分xdxexsin解 利用(lyng)分部积分法，xvdxeduxdxdveuxxcos,.sin,xdxexsindxxexexdexxxcoscos)cos

49、(xdexexxsincosdxxexexexxxsinsincos第91页/共120页第九十二页，共120页。cxxexxexx)cos(sin21dsin例50 计算(j sun)不定积分dxxxarcsin解 首先作变量替换,去掉根号,然后利用(lyng)分部积分公式.设tdtdxtxtx2,2dxxxarcsindttttttdttdttt2112arcsin2arcsin22arcsincxxxcttt12arcsin212arcsin22第92页/共120页第九十三页，共120页。例51 计算(j sun)不定积分xdxInncos设xdxdvxunsin,cos1xvxdxxnd

50、unsin,sincos) 1(2则由分部(fn b)积分公式，duvuvdvuxdxInncosdxxxnxxnn221sincos) 1(cossindxxxnxxnn)cos1 (cos) 1(cossin221dxxnxdxnxxnnncos) 1(cos) 1(cossin21由此解出xdxInncosxdxnnxxnnn21cos1cossin1第93页/共120页第九十四页，共120页。即211cossin1nnnInnxxnI类似(li s)的，可以得到xdxInnsinxdxnnxxnnn21sin1sincos1特别(tbi)的，当 时，2ncxxxxdx)sin(cos2

51、1cos2cxxxxdx)sincos(21sin2下面(xi mian)对分部积分法中 的选择作个小结：dvu,第94页/共120页第九十五页，共120页。第95页/共120页第九十六页，共120页。练习:1.计算下列(xili)不定积分（1） （2）xdxxcosdxx )1ln(（3） （4） xdxx sin2xdxxarctan2.已知 是函数(hnsh) 的一个原函数(hnsh),求xxsin)(xf.)(3dxxfx3.设函数(hnsh)的 一个原函数(hnsh)为 ,求)(xf2xe .)(dxxf x第96页/共120页第九十七页，共120页。四、有理函数(yu l hn s

52、h)的不定积分 前面已经介绍了两种基本积分法，对于一些有理函数(yu l hn sh)的积分，如xabxAdxaxd)(13xxxxxxd142443232xxxd2212 ,其实我们完全可以第一换元积分法求出结果,而对于 ， 这种有理函数的不定积分只用上述方法(fngf)是不够的. dxxxx6532dxxx6532下面介绍有理函数的积分以及可以化成有理函数的积分.第97页/共120页第九十八页，共120页。有理函数(hnsh)是指由两个多项式的商所表示的函数(hnsh) 即具有如下形式的函数(hnsh):mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其中 和

53、 都是非(shfi)负整数 及mnnaaaa,210mbbbb,210都是实数(shsh) 并且 当 时称这有理函数是真分式 而当 时，称有理函数是假分式0, 000bamn mn 对于一些简单的有理函数的不定积分，我们试着用第一换元积分法解出来例52 求不定积分 （ ）xabxAd0,Ab第98页/共120页第九十九页，共120页。解 CabxbAxabxAlnd例53 求不定积分(b dn j fn)xaxd)(13解 Caxxax23)(21d)(1例54 求不定积分 （特点(tdin)：分子xxxxxxd142443232能凑成分(chng fn)母的导数）解xxxxxxd142443

54、232第99页/共120页第一百页，共120页。Cxxxxxxdxxx142ln) 142(1421232323例55 （特点(tdin)：分母不能因式分解）xxxd2212解 xxxd2212) 1d() 1(11d) 1(1122xxxxCx )1arctan(由上面例题可以看出，对于下面四种(s zhn)类型的不定积分，可以由换元积分法求出其结果.第100页/共120页第一百零一页，共120页。xabxd1（1） （2） （ ） xabxnd)(10, 0nb)()(122qpxxdqpxxn（3）)()(112qpxdqpx（4） （ ） 0p对于(duy)更一般的有理分式，如何求不定

55、积分？ 1 如果(rgu)被积函数是假分式，即在分式mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(第101页/共120页第一百零二页，共120页。中，有 首先对假分式进行(jnxng)多项式除法，将假分式表示成多项式与真分式的和.mn 分子分母，找到商和余式，分母余式商分母分子假分式例56 计算(j sun)不定积分dxxxx13解 分式 是假分式，首先要进行(jnxng)多项式除法.13xxx第102页/共120页第一百零三页，共120页。222221222233xxxxxxxxxxxxx13xxx即2221xxx则有dxxxx13dxxxx)122(2第10

56、3页/共120页第一百零四页，共120页。Cxxxx1ln22213123类似的，对于假分式，都可以先进行多项式的除法(chf)，再求不定积分.2 如果被积函数是真分式，尽可能对分母因式分解.（1）分母 能分解成一次因式的乘积(chngj).利用比较系数法或赋值法,将有理分式拆成几个有理分式的和.)(xQ)()()(2211kkbxabxabxaxQ例57 计算(j sun)不定积分dxxxx6532第104页/共120页第一百零五页，共120页。解3(2)(3)()( 23 )(2)(3)32(2)(3)(2)(3)xABA xB xA B xABxxxxxxxx 则有)3()2(3xBxA

57、x有两种方法(fngf)可以计算出A,B.) 3() 2(3xBxAx赋值法： 在中，令 ，可得：令 ，可得：3x6A2x 5B比较(bjio)系数法：在 中，比较(bjio)32()(3BAxBAx第105页/共120页第一百零六页，共120页。等式两边变量(binling)同次幂的系数，可得： 解出方程，A=6,B=-53321BABA这样,被积函数拆成了两个(lin )分式的和.) 3)(2(3xxx2536xxdxxxx6532Cxxdxxx2ln53ln6)2536(我们(w men)可以总结出这样的规律,对于有理分式第106页/共120页第一百零七页，共120页。mmmmnnnnb

58、xbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(如果分母(fnm) 能分解成一次因式的乘积,)(xQ)()()(2211kkbxabxabxaxQkkkbxaAbxaAbxaA222111则 ,用赋值法或待定系数法求出 ,则可以(ky)求出 的不定积分. kAAA,21dxxQxP)()(2)分母 能分解成可重复(chngf)的一次因式的乘积.)(xQ第107页/共120页第一百零八页，共120页。2222211)()()()(kkbxabxabxaxQ例58 计算(j sun)不定积分dxxxxxx2343331解 首先(shuxin)将分母因式分解3234) 1(33xxxxx

59、x再将有理分式拆成几个(j )简单的有理分式的和.32332343) 1() 1() 1() 1(1331xDxCxBxAxxxxxxxx323) 1() 1() 1() 1(xxDxxCxxBxxA比较系数, DxxCxxBxxAx) 1() 1() 1(1233第108页/共120页第一百零九页，共120页。2, 1, 2, 1DCBA可得被积函数(hnsh) 可以拆成了四个分式的和:xxxxx234333132) 1(2) 1(1) 1(21xxxxdxxxxxx2343331dxxxxx) 1(2) 1(1) 1(21(32cxxxx2) 1(1111ln2ln我们(w men)可以总结出这样的规律,对于有理分式第109页/共120页第一百一十页，共120页。mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(如果分母 能分解成可重复(chngf)的一次因式的乘积,)(xQkbaxxQ)()()()(xQxP则kkbaxAbaxAbaxA)()(221,用赋值法或待定系数(xsh)法求出