理)二轮复习精品同步：第1部分重点保分题：教师用书：题型专题(20)选修4-5(不等式选讲)(通用版)

1、即所以a-2-12题型专题(二十)选修45(不等式选讲)考点一绝对值不等式师说考点含有绝对值的不等式的解法(1) |f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<a;(2) |f(x)|<a(a>0)?a<f(x)<a;对形如xa|+|xb|wc,|xa|+|xb|>c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.典例(2019全国丙卷)已知函数f(x)=|2xa|+a.(1)当a=2时，求不等式f(x)w6的解集；设函数g(x)=|2x1|.当xR时，f(x)+g(x)>3,求a的取值范围.解(1)当a=2时，f(x)=|2x2|

2、+2.解不等式|2x2|+2w6得一1wx<3.因此f(x)w6的解集为x|1wxw3.(2)当xR时，f(x)+g(x)=|2xa|+a+|12x|>3,a1x2+2一x3a2所以a的取值范围是2,+).类题通法1. 用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1) 求零点.(2) 划区间、去绝对值号.分别解去掉绝对值的不等式(组).(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.2.图象法求解绝对值不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，可在直角坐标系中作出不等式所对应函数的图象，利用函数图象求解.演练冲关(2019河南六市联考)设函数f(x)=|2xa|+2a.(

3、1)若不等式f(x)w6的解集为x|6wxw4，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若不等式f(x)w(k师说考点含有绝对值的不等式的性质|a|b|w|a±)|w|a|+|b|.算术一几何平均不等式定理1:设a,bR，贝Ua2+b2>2ab.当且仅当a=b时，等号成立.alb定理2：如果a、b为正数，则厂ab,当且仅当a=b时，等号成立.定理3：如果a、b、c为正数，贝VL3abc,当且仅当a=b=c时，等号成立.-1)x-5的解集非空，求实数k的取值范围.解:(1)/|2x-a|+2a<6,二|2x-a|<6-2a,3a-2a-6w2x-aw62a，a3wx&l

4、t;3q.不等式f(x)w6的解集为x|-6wxw4,4=a-2由得f(x)=|2x+2|-4.|2x+24W(k2-1)x-5,化简整理得|2x+2|+1<(k2-1)x,2x+3,x一1,令g(x)=|2x+2|+1=2x-1,x<-1,y=g(x)的图象如图所示,k2-K-1,要使不等式a1+a2+an丸aa2a,当且仅当a1=a2=an时，等号成立.k的取值范围是k|k>3或k<-.3或k=0.考点二不等式的证明典例(2019贵州模拟)已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|.(1)求f(x)的最小值m;(2)若a,b,c均为正实数，且满足.222bcIa、a

5、+b+c=m,求证：一+匸3.abc解(1)当x<1时,f(x)=2(x+1)-(x2)=3x(3,+);当一1<xV2时,f(x)=2(x+1)(x2)=x+43,6);当x>2时,f(x)=2(x+1)+(x2)=3x6,+).综上，f(x)的最小值m=3.证明：a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=3,222因为+(a+b+c)abc=2(a+b+c).(当且仅当a=b=c=1时，取“=”),222,222所以-+吕+-a+b+c,即b+c+a>3.abcabc类题通法证明不等式的3种基本方法(1) 比较法有作差比较法和作商比较法两种.(2) 用综合法证明不等式

6、时，主要是运用基本不等式证明，一方面要注意基本不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形.(3) 如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法.演练冲关(2019福建质检)已知函数f(x)=x+1|.(1) 求不等式f(x)<|2x+11的解集M;(2) 设a,bM，证明：f(ab)>f(a)f(b).解：当x<1时，原不等式可化为一x1<2x2,解得x<1;1 当1<x< 当x>1时，原不等式可化为x+1<2x，解得x>1.综上，M=xX<1或x>1.(2)证明：因为f(a)f(b)=|a+1

7、|b+1|w|a+1(b+1)|=|a+b|,所以，要证f(ab)>f(a)f(b)，只需证|ab+1|>|a+b|,即证|ab+1|2>|a+b|2,时，原不等式可化为x+1<2x2，解得x<1，此时原不等式无解;即证aa1. (2019广西质检)已知函数f(x)=+ax(a>0)在(1,+)上的最小值为15，函数g(x)X1=|x+a|+|x+1|.(1) 求实数a的值；求函数g(x)的最小值.aa解：/f(x)=+ax=+a(x1)+a,x>1,a>0,x1x1f(x)>3a,即有3a=15,解得a=5.(2) 由于|x+5+|x+1

8、|>|(x+5)(x+1)|=4，当且仅当一5<x<1时等号成立，g(x)=|x+5|+|x+1|的最小值为4.12. (2019全国甲卷)已知函数f(x)=x2+x+2,M为不等式f(x)<2的解集.(1) 求M;(2) 证明：当a,bM时，|a+b|<|1+ab|.2x,xw2一11解：(1)f(x)=1,2<x<2,I12x,x>1当xw2时，由f(x)<2得一2x<2，解得x>1;11当2<x<2时，f(x)<2恒成立；当x>2时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1.所以f(x

9、)<2的解集M=x|1<x<1.222(2)证明：由(1)知，当a,bM时，一1<a<1,1<b<1，从而(a+b)(1+ab)=a+ba2b21=(a21)(1b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.b2+2ab+1>a2+2ab+b2,即证a2b2a2b2+1>0,即证(a?1)(b?1)>0.因为a,bM，所以a2>i,>1,所以(a21)(b21)>0成立，所以原不等式成立.高看超型全能烁3. (2019贵阳模拟)设f(x)=|x1|2X+1|的最大值为m.(1) 求实数m的值；若a、b、c(0

10、,+s)，且a2+2b2+c2=m，求ab+be的最大值.解：(1)当x<1时，f(x)=3+xw2;当一1<x<1时，f(x)=13x<2;当x>1时，f(x)=x3<4.故当x=1时，f(x)取得最大值m=2.(2) a+2b+c=(a+b)+(b+c)>2ab+2bc=2(ab+be).当且仅当a=b=c=¥时，等号成立.此时，ab+bc取得最大值1.重庆模拟)设a,b,cR且a+b+c=1.c2w12ab+bc+ca+qw2；2,22,22t.2a+cb+ac+b-+2.bca4.(2019(1)求证:求证:证明：(1)因为1=(a+

11、b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca>4ab+2bc+2ca+c2,(当且仅当a=b时等号成立)所以2ab+bc+ca+1=*(4ab+2bc+2ca+c2)w|2i22|22t.2因为宁-譽宁-警,宁-竽ab2丄2,2222,(半+-)=a(b+b)+bQbabe，ca+c.b+a,c+b,ac.ab所以+>(二+)+bcabc'V.ccb+a2a+2b+2c=2,当且仅当a=b=c=£时等号成立.5. (2019郑州质检)已知函数f(x)=|x+6|mx|(mR).(1) 当m=3时，求不等式f(x)5的解集；(2) 若不等式f(x)w7对任意

12、实数x恒成立，求m的取值范围.解：(1)当m=3时，f(x)>5，即为|x+6|3x|>5, 当x<6时，得一9>5,所以x?; 当一6wxw3时，得x+6+x3>5,即x>1，所以1wxw3; 当x>3时，得9>5，所以x>3.故不等式f(x)>5的解集为x|x>1.(2)因为|x+6|mx|w|x+6+mx|=|m+6|,由题意得|m+6|w7,则一7Wm+6W7,解得一13wmw1,故m的取值范围是13,1.56. (2019西安质检)设函数f(x)=x2+Xa|,xR.(1)求证：当a=2时，不等式Inf(x)>1

13、成立；关于x的不等式f(x)>a在R上恒成立，求实数a的最大值.解：证明：由绝对值不等式的性质，f(x)=x5+x+2>2x+x+1=3,故函数f(x)的最小值为3,从而f(x)3>e，所以Inf(x)>1成立.5f5、5由绝对值不等式的性质得f(x)=x2+|xa|>|X-(xa)|=a?,5所以f(x)的最小值为-a,55从而2aaa，解得aw4.5因此a的最大值为5.47. (2019兰州模拟)设函数f(x)=|2x1|x+2|.(1) 解不等式f(x)>0;若？x°R，使得f(x°)+2m<4m，求实数m的取值范围.解：不等

14、式f(x)>0，即|2x1|>|x+2|,即4x1x3,x>2，故f(x)的最小值为计=:.因为？x°R,使得f(x°)+2m2<4m,所以4m2m2>；,4x+1>/+4x+4,213x8x3>0，解得x<3或x>3,所以不等式f(x)>0的解集为ix|x<x+3,x<2,f113x1,2wxw(2) f(x)=|2x1|x+2|=2'15解得-<m<2,即所求实数m的取值范围为8. (2019石家庄模拟)已知函数f(x)=|x|+|x1|.(1)若f(x)>|m1|恒成立，求实数m的最大值M;在(1)成立的条件下，正实数a,b满足a2+b2=M，证明：a+b>2ab.解：由绝对