湖南省师大附中高三数学上学期月考试题(三)文(含解析)

1、A.0,B.x|1<xw1C.xOvxv2D.x|x>0【解析】x>1,1x1111、0vy=2w2=2，二A=y0vyw则满足AnB=B的集合BA,故B可以是x0vx<2.故选C.2 .已知角a的终边上有一点R2,4)，则J"(n的值为(D)2COS(a2n)A.2B.1C.1D.1【解析】sin(na)2COS(a2n)Sina2COSatana2，又因为角a终边上有一点P(2,4)，所本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项

2、中，只有一项是符合题目要求的.X1已知集合A=yy=X>，则满足AnB=B的集合B可以是(C)-15-2 ,以tana=2,所以原式=1，故选D.3 .已知命题p:m=2;命题q:直线11：2(1)x+(m-3)y+75m=0与直线12：(m3)x+2y5=0垂直.则命题p是命题q成立的(D)A.充要条件B.既非充分又非必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件【解析】因为丨1丄12,贝U2(1)(m-3)+2(m-3)=0，解得m=3或一2,故选D.4.已知各项不为0的等差数列an满足a6a2+as=0,数列bn是等比数列，且b7=a7,则b2babn等于(C)A.1B.2C.8D.

3、4【解析】a6+asa7=0,.2a7a7=0,.a7=2,.b7=2,.b2bsbn=b3b7bn=b7=8,故选C.x+1>05.对满足不等式组x+y4W0的任意实数x、y,贝Uz=x2+y24x的最小值(A)xywoA.2B.0C.1D.6【解析】：Tz=x2+y24x表示点(x,y)到点(2,0)的距离的平方减去4,故z的最小值等于点(2,0)到直线xy=0的距离的平方减去4.zmin=|2'24=2,故选A.6.如图，在ABC中，/B=45长为(A)A.5,.62B.5.22【解析】,D是边BC上一点，AC=7,AD=5,DC=3，贝UAB的由余弦定理得cosC=三，s

4、inC=将，在ABC中，由正弦定理得AB=号,故选A.7.在区间(A)1A.3B.0,4上随机地选取一个数t，则方程2xtx+3t8=0有两个正根的概率为11C.2°，4A>0【解析】方程xtx+3t8=0有两个正根，则有X1+X2>0X1X2>0t>8或89<tw4,又t0,314，则所求概率为P=-，故选A.3y的最小值为4的是(D)22(x+3)y=x2+24sfX.-Xy=sinx+(0<x<n)D.y=e+4esinx4【解析】y=x+x，当x>0时y>4；当x<0时z.A.C.下列函数中，4 y=x+B.x60&

5、#176;函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选A.TV|A-1(f151工010长方体ABCBAiBiCD中，AB=1,BC、CD与底面ABCD所成的角分别为45则长方体ABCDABCD的外接球的体积为(A)A.767nB.雪nC.寥nD.n6336【解析】长方体ABCDABCD中，AB=1,BiCCiD与底面ABCD所成的角分别为45球的一条直径为60°,aBC=DD=3,长方体ABCDABCD的各顶点都在同一球面上,7,可得半径，因此，该长方体ABCDABCD的外接球的体积为故选A.11.已知双曲线C:22£一b2=1的左、右焦点分别是F1、F2,正三角形AF

6、H的一边AF与双曲线左支交于点B,且AF=2BF，则双曲线C的离心率为(B)A.1B.3+1C.-3-+1D.32+a3=_Z；【解析】由AF=2BF可知：B为AC之中点.BF丄AC|F1F2I=2c,|Bq=c,|B冋=辰e=血=倉=01.故选B.2X1X212.定义在R上的奇函数f(x)对任意X1,X2(X1X2)都有f(x_<0.若x,y满足不等式f(X22x)f(2y-右，则当1<xG时，册的取值范围是(D)A.3,B.C.5,D.则X1X2<0.由f(X1)f(X2)<0,知f(X1)f(X2)>0,即f(X1)>f(X2),设X1<X2,X

7、1X2所以函数f(x)为减函数.又因为y=f(x)为奇函数，所以f(x22x)wf(2yy2)=f(y22y),3，而在条件1+-x【解析】22y2x3x所以x2x>y2y，即(xy)(x+y2)>0.因为y=1二.=1x+yX+y122,所以丄1+yx(X一yX+y当n3时，an+1，an的关系可表示为an+1=2an+1_.3下，易求得纬1<x<4x3 1y2x1所以1y5,2，即x.y5,2，故选D.i+-yx选择题答题卡题号123456Z89101112答案CDDCAAADAABD第n卷本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.

8、第2223题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 将某班参加社会实践编号为：1,2,3,，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知4号，20号，28号，36号，44号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是_12_.【解析】根据系统抽样的概念，所取的6个样本的编号应成等差数列，故所求编号为12.14. 在厶ABC中，I凋=4，|AC=3，I为BC的垂直平分线且交BC于点D,E为I上异于D的任意一点，贝yae-（Ab-Ac）的值为_=_.【解析】Xe-（Ab-AC=（AD（Ab-AC=XD-（Xb-Ac）+6e-（Ab-Ac）=XD-

9、（AbAC=2（Ab+AC（AB-AC=2（ABAC）=苏（169）=7.15. 过点（2，1）且在x轴上截距是在y轴上截距的两倍的直线的方程为x2y=0或x+2y4=0一.1【解析】截距都为零时直线过原点，斜率为k=$直线为x2y=0，当截距不为零时，设方程为石+£=1，代入点（2，1）得a=2，所以方程为x+2y4=0.16. 小张和小王两位同学课余时间玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”有甲、乙、丙3个柱子，甲柱子上有n（n3）个盘子，从上往下大小不等，大的在下，小的在上（如图），把这n个盘子从甲柱子全部移到乙柱子上游戏结束，在移动过程中每次只能够移动一个盘子，甲、乙、丙3个柱子

10、都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为an，则：三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.甲689654081L3A2g11617. (本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85.(1) 计算甲班7位学生成绩的方差S2;(2) 从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班，乙班各一人的概率.【解析】(1)T甲班学生的平均分是85,92+96+80+80+x+85+79+78八7=85,二x=5.3分则甲班7位学生成绩

11、的方差为21222S=7(-6)+(-7)+(-5)+02+02+72+112=40.6分(2)甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为AB,乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C,D,E.从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：(A,B),(A,C),(A,D),(A,日,(B，C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E).8分其中两人均来自甲班(或乙班)共有4种情况：(A,B),(D,C),(E,D),(C,曰.10分记“甲班，乙班各一人”为事件M则P(M=1-故从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班，乙班各一人的概率为3.12分=,10518.

12、(本小题满分12分)如图，PA±平面ABCD矩形ABC的边长AB=1,BC=2,E为BC的中点.(1)证明：pelden如果异面直线AE与PD所成的角的大小为-,求PA的长及三棱锥A-PED的体积.【解析】(1)证明：连接AE由AB=BE=1，得AE=2,1分同理DE=；：.:2,AE+dE=4=aD,由勾股定理逆定理得/AED=90°,DELAE3分/PA!平面ABCDPAIDE又PAnAE=A,.DEL平面PAE5分PEIDE6分(2)取PA的中点MAD的中点N,连MCNCMNAC/NC/AEMIN/PD/MNC勺大2nn小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小，

13、即/MN=m或石.(或者由观察可知，/mn=2n,不需分类讨论)设PA=x,贝yNC=2,MNk2n若/MN=,由cos/MN=21+弓，m=2x1+7+2-5-442x5+77.4得PA=2.9分V-PDE=VP-DAh3X2X2xx2八2=3.10分22xx1+匸+2-5-7彳n441若/MN(=,由cosZMN=:2=,显然不适合题意.11分2、声农综上所述，PA=2,三棱锥A-PED勺体积为|.12分319. (本小题满分12分)已知数列an的前n项和为S,且满足a=-2,an+1+3S+2=0(nN).(1) 求数列an的通项公式；2(2) 是否存在整数对(mn),使得等式an-m-

14、an=4n+8成立？若存在，请求出所有满足条件的(mn);若不存在，请说明理由.【解析】(1)当n2时，(an+1an)+3(SSt)=0,即(an+131)+3an=0,an+1=-2an(n2),2分另由a2=2a1得an+1=2an,所以数列an是首项为一2,公比为一2的等比数列，3分n八an=(2).4分22n(2)把an=(2)代入an-m-an=4n+8中得(一2)m-(2)=4n+8,m=(-2)2n-8(-2)n+4,=(-2)n-4+8(-2)n+4(2)2n16+8(-2)n+48n要使m是整数，则须有是整数，(-2)+4能被8整除，7分(2)+4n8当n=1时，(一2)+

15、4=2,.=4,此时m=2,8分(2)十4n8当n=2时，(一2)+4=8,=1，此时mr1,9分(2)十4n8当n=3时，(一2)+4=4,n=2,此时m=14,10分(-2)+4n8当n4,|(2)+4|>20,f不可能是整数，11分(2)十4综上所述，所求满足条件的整数对有(2,1),(1,2),(14,3).12分20. (本小题满分12分)2已知椭圆C:孑十b=1(a>b>0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，3.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若椭圆C有一个内接的平行四边形，其一组对边分别过椭圆C的左右两焦点R和F2,求这个平行四边形面积

16、的最大值.【解析】(1)椭圆C:22十b2=1(a>b>0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形,且该三角形的面积为3,2.22a=b十c,依题意a:b:c=2:3:1,解得a=2,b=3,c=1,bc=3,22椭圆C的方程为：x十y=1.4分4 3(2)设过椭圆右焦点F2的直线l:x=ty十1与椭圆交于A,B两点,x=ty十1,22则22整理，得：(3t+4)y+6ty9=0,3x+4y=12,由韦达定理，得：6t9小八屮十y2=3t2+4y1y2=3t2+4,6分144t2+14412t2+1|y1y2|=一(y1+加4y1y2=3?十4=3上2十4SOA=SAOFA+SAO

17、FB=1x|OF|x|y1y?|=二1231十4椭圆C的内接平行四边形面积为S=4&。心即于,10分令m=1十t2>1,贝yS=f(m=1,3m十-m注意到S=f(n)在1,十8)上单调递减，Smax=f(1)=6,当且仅当m=1,即t=0时等号成立.故这个平行四边形面积的最大值为6.12分21. (本小题满分12分)设f(x)=ex(ax2+x十1).(1)若a>0，讨论f(x)的单调性；nx=1时，f(x)有极值，证明：当0,-2时，|f(cose)f(sin0)|<2.1【解析】f'(x)=ex(ax2+x+1)+ex(2ax+1)=aexx+(x+2)

18、,1分a11当a=§时，由f'(x)=2ex(x+2)2>0，所以f(x)在R上单增递增；2分11当0vav2时，由f'(x)>0,得x>2或xv;1由f'(x)v0，得一vxv2,a1、”1c、f(x)在一8,；和(2,+)上单调递增，在一，一2上单调递减.4分aa11当a>-时，由f'(x)>0,得x>一或xv2,2a1由f'(x)v0，得一2vxv,1、2,-上单调递减.6分aaf(x)在(一g,2)和一£+3上单调递增，在a(2)证明：x=1时，f(x)有极值，-f'(1)=3e(a

19、+1)=0,.a=1,7分f(x)=ex(x2+x+1),f'(x)=ex(x1)(x+2).8分由f'(x)>0，得一2vxv1,.f(x)在2,1上单增.9分n/e0,cose,sin00,1,10分|f(cose)f(sine)|wf(1)f(0)=e1v2.12分请考生在第2223两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。22. (本小题满分10分)选修44:极坐标与参数方程x=/3cosa+sina已知在平面直角坐标系xOy中，0为坐标原点，曲线C：(a为参y=sinacosa数)，在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，

20、取相同单位长度的极坐标系，,n直线l:psine+=1.(1) 求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2) 曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标.【解析】(1)曲线x=.3cosIa+sina,y=.3sinacosa,x2=3cos2a+2_3sinacosa+Sin2a,可得：22y=3sina23sin2acosa+cosa,曲线C的普通方程:x2+y2=4.3分直线I:psinB+6=1=2psin10+2pcos0,直线I的直角坐标方程:/圆C的圆心(0,0)半径为2,圆心C到直线的距离为1,这三个点在平行直线Il与I2上，如图：直线Il与I

21、2与I的距离为1.I1：x+：3y=0,12：x+Z3y4=0.22“x=.3y=1,x=3,y=1X+y=1,厂可得x+：3y=0,两个交点(.''3,1)、(.'3,1);2|2解得(1,'3),8分x+y=1,x+:3y4=0,11n5nn这三个点的极坐标分别为：2,、2，-孑、2,-.10分23. (本小题满分10分)选修45:不等式选讲x,0<x<1,已知函数f(x)=1,g(x)=af(x)|x1|.x>1xb的取值范围;(1)当a=0时，若g(x)<|x2|+b对任意x(0,)恒成立，求实数当a=1时，求g(x)的最大值.【解析】(1)当a=0时，g(x)=|x1|,|x一11<|x一2|+bbw|x11+|x2|,/|x1|+|x2|>|x1+2x|=1,bw1,b一1.5分2x1,0<x<1,当a=1时，g(x)