湖南省师大附中高三数学上学期月考试题(二)理(含解析)

1、时量：120分钟满分：150分-17-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合A=1,2,B=1,2,3,4，则满足AUX=B的集合X的个数为(D)A.1B.2C.3D.4【解析】集合X可以是3,4,1,3,4,2,3,4,1,2,3,4共4个，故选D.2.在ABC中，三个内角A,B,C满足sin2A+sin2B-sin2C=,；3sinAsinB，则角C的大小为(A)A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】222-a+bc%f3由正弦疋理知：a+bc=3ab，则cosC2,

2、又0°<C<180°,则C=30°.3 .已知随机变量X服从正态分布N(5，异)，且P(X<7)=0.8，贝UP(3<X<5)=(C)A.0.6B.0.4C.0.3D.0.22【解析】由题意，随机变量X服从正态分布N(5,6)，所以正态曲线的对称轴为x=5,因为P(X<7)=0.8,所以P(X>7)=0.2,根据正态分布曲线的对称性可知，所以P(3<X<5)=0.50.2=0.3，故选C.4 .已知数列an是首项为3,公差为d(dN*)的等差数列，若2019是该数列的一项，则公差d不可能是(D)A.2B.3C.

3、4D.5【解析】由题设，an=3+(n1)d,2019是该数列的一项，即2019=3+(n1)d，所以n-+d1，因为dN,所以d是2016的约数，故d不可能是5,故选D.5公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出n的值为(参考数据：1.732,sin15°0.2588,sin7.5°0.1305)(B)A.12B.24C.48D.96【解析】执行程序：n=6,S=3sin6

4、0=竽，不满足条件S>3.10;n=12,S=6sin30=3,不满足条件S>3.10;n=24,S=12sin15°12X0.2588=3.1056，满足条件S>3.10，退出循环.输出n的值为24.故选B.y>x,6.设变量x,y满足约束条件x+3yw4,则z=|x3y|的取值范围是（C）x>-2,A.2,8By>x,【解析】作出约束条件x+3y<4,对应的可行域如图,x>2|x3y|z=|x3y|=，10下0,其中|x3y|10表示可行域内的点（x,y）到直线x3y=0的距离，由图可知，点A(2,2)到直线x83y=0的距离最大，

5、最大为；又距离最小显然为0，所以z=|x3y|的取值范围为0,>/108，故选C.7.已知x-"的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项x为第k项，则k=(B)A.6B.7【解析】x1"的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，所以n=4+7=11,x第r+1项系数为Tr+1=C1(1)r=6时Tr+1最大，故展开式中系数最大的项为第7项.8.如图直角坐标系中，角0<a<3<0的终边分别交单位圆于A,B两点，若B点的纵坐标为一13'且满足3冗$oab=-，则sina+石的值为（A）A.¥B.13C.H1313

6、13【解析】由图知/xOA=a,ZxOB=3，且sin3=-513由于Saoab=，即nny，即a=3+.则n3+p=cos3='1sin3=121.故选A.9已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是(A)39n一45nA.+33B.4+C.D.49n1【解析】几何体为圆锥挖掉4个圆台.其表面积为:3 1X2nX2X4+X4 21-X2nX1x2+432121s表=4八2+4八1+x39n+33.故选a.10. 将函数f(x)=In(x+1)(x>0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角B(0,a),得到曲线C,若对于每一个旋转角0,曲线C都仍然是一个函数的图像，则a的最大值为

7、(D)nnnA.nB.2C.D.【解析】函数f(x)=ln(x+1)(x>0)的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅1当其任意切线都不经过y轴时，其图像都仍然是一个函数的图像.因为f'(x)=在0,.XII+m)是减函数且0<f'(x)<1,当且仅当x=0时等号成立，故函数f(x)=ln(x+1)(x>0)的图像的切线中，在x=0处切线的倾斜角最大，其值为n.由此可知amax=nn=n，故4244选D.11. 已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为3，则|AB|的最大值为(C)A.4B.6C.8D.10【解析】设A(X1,yj,B(X2,y2

8、)，贝UX1+X2=6,所以|AB|<|AF|+|BF|=X1+X2+2=8,当弦AB过焦点F(1,0)时取得最大值8.故选C.12. 在棱长为6的正方体ABCA1B1CD中，M是BC的中点，点P是正方形DCGD,面内(包括边界)的动点，且满足/APD=ZMPC则三棱锥PBCD的体积最大值是(D)A.36B.24C.18.3D.123PDad【解析】易知APSAMPC则pc=mc=2,欲使三棱锥PBCD的体积最大，只需高最大，通过坐标法得到动点P运动轨迹(一段圆弧)，进而判断高的最大值=3X2X6X6X2.'3=12.'3.二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分

9、.Z113. 已知xR,复数zi=1+xi,Z2=2+i，若一为纯虚数，则实数2：3,所以(VpBcDmaxx的值为一2乙1+xi(1+xi)(2i)2+x2x1+【解析】Z22+i(2+i)(2i)5i为纯虚数，则辛=0，即x=5Z2-2.22v是平行于x轴的单位向量，则v上的投影与v模长的乘积，故求14. M、N分别为双曲线916=1左、右支上的点，设|MN-v|的最小值为6【解析】由向量数量积的定义，MN-v即向量祈在向量|MN-v|的最小值，即求祈在x轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图像可知|mn-v|的最小值为6.15. 某单位周一至周五要安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人至少值

10、一天班，则甲连续1值两天班的概率为続.B.【解析】记甲连续值2天班为事件A,每人至少值一天班记为事件则m(A)=4启=24,m(B)=C4a5=240,则P(A+B)=A)=16.已知函数f(x)In(2x)x，关于x的不等式f2*(x)af(x)>0只有2个整数解，则实有2个整数解，由图可知：ln6<a<ln2;3没有整数解，则f(x)>a综上可知：aln6,ln2数a的取值范围是葺23-Jmvil：a-mmnrn玉匸Dj|s!SrF广*/I23【解析】作出函数f(x)的图像： 若a>0,由f而f(x)>0有无数多个整数解，不符题意，舍去；(x)af(x)

11、>0，可得f(x)<0或f(x)>a，显然f(x)<0三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.（本小题满分12分）N,入工一2）,且3ai,4a2,已知数列an的前n项和为S,a1=1,an+1=（入+1）Sn+1（na3+13成等差数列.（1）求数列an的通项公式；若数列bn满足anbn=砸4&+1,数列bn的前n项和为Tn,【解析】（1）因为an+1=（入+1）Sn+1,所以当n2时，an=（入+1）Sn1+1，由一得an+1a

12、n=（入+1）an,即卩an+1=（入+2）an（n2）,又因为入工一2,且a1=1，所以数列an是以1为首项，入+2故玄2=入+2,a3=（入+2）,16证明:Tn<-.2分2为公比的等比数列,2由题知8a2=3a1+a3+13,所以8（入+2）=（入+2）+16,2整理得入一4入+4=0，解得入=2,4分所以an=4.6分（2）因为anbn=log4an+1,即即4n1bn=log44n,所以bn=41,8分则Tn=1+4+賁+十n1+角，4444112n1n小4Tn=4+F+盯+旷，3 111n41n一得；Tn=1+；+T2+71jn=1亦7,4 4444344164+3nTn=9

13、9,11分*16又nN,所以Tn<§.12分18. （本小题满分12分）如图，aQB=I，二面角aI3的大小为0,Aa,，点A在直线I上的射影为A,点B在I上的射影为B1.已知AB=2,AA=1,BB=(1)若0=120°,求直线AB与平面3所成角的正弦值;若0=90°,求二面角AiAB-Bi的余弦值.如图，过点A作平面3的垂线交于点G连接GBGA,【解析】(1)则/ABG是AB与3所成的角.因为AGL3.RtGAA中,GAiA=60°,AA=1,RtAGB中,AB=2,AG=#sinAG=J.ZABG=#,故AB与平面乎.5分4/BB丄a,平面A

14、BB丄a.在平面a内过A作AE丄AB交AB于E,则AE3所成的角的正弦值为(2)解法一：丄平面ABB.过E作EF±AB交AB于F,连接AF,则由三垂线定理得AF丄AB,AFE就是所求二面角的平面角.在RtABB中，/BAB=45°,AB=B1B=/2.RtAAB中，AB=#ABAA=<41厂亠ZBAAAB1X书羽=73.由AAAB=A1FAB得AF=ab吋比解法二:二面角z)，则存在tR,使得AF=tAB,即(x,y,z1)=t(、/2,1,0),B(.2,1,亠亠AE伍在RtA1EF中，sin/AFE=誦=寸,0).在AB上取一点F(x,y,1),点F的坐标为(2t

15、,t,1t).要使A1F丄AB须AFB=0,即C,2t,t,1t)(2,1213t1,1)=0,2t+t(1t)=0,解得t=4,点F的坐标为亍,4,4,A1F=:1.设E为AB的中点，则点E的坐标为0,-,；.EF=¥,：,：.44422444又EF-AB=乎,1,1(2,1,1)=110,EF丄罷/AFE为所444244求二面角的平面角.又cos/AFE=AFEF|AF|EF|.面角AAB-Bi的余弦值为f.12分319. (本小题满分12分)某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，当k>85时，产品为一级品；当75Wk<8

16、5时，产品为二级品，当70<k<75时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视频率为概率)A配方的频数分配表:指标值分组75,80)80,85)85,90)90,95)频数10304020B配方的频数分配表:指标值分组70,75)75,80)80,85)85,90)90,95)频数515253025(1)若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C,求事件C发生的概率P(C)；t,k>85,2若两种新产品的利润率y与质量指标k满

17、足如下关系：y=5t,75<k<85,其中2t,70Wk<75,10<t<匚，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？52【解析】(1)由题意知，从B配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为-，则没有抽5中二级品的概率为3，所以p(C)=153=卷5分(2)A配方产品的利润分布列为yt5t2P0.60.4所以E(y)a=0.6t+2t2,8分B配方产品的利润分布列为yt5t2t2p0.550.40.05所以E(y)b=0.55t+2.05t2,11分12因为0<t<，所以E(y)bE(y)a=0.05t0.05t=0.05t(t1)<0,5

18、所以从长期来看，投资A配方产品的平均利润率较大12分.20. (本小题满分12分)如图，已知圆E:(x+1)+y=8,点F(1,0),P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.(1) 求动点Q的轨迹r上的方程；(2) 已知A,B,C是轨迹r上的三个动点，点A在一象限，B与A关于原点对称，且|CA|=|CB|，问ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB的方程；若不存在，请说明理由.【解析】TQ在线段PF的垂直平分线上，-|QP|=|QF|,得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=22又|EF|=2V2,：2,.Q的轨迹是以E,F为焦点，长轴长为

19、2,;2的椭圆，2x2r的方程为-+y=1.5分(2)由点A在第一象限，B与A关于原点对称，设直线AB的方程为y=kx(k>0),-|CA|=|CB|,C在AB的垂直平分线上，1直线0C的方程为y=匚X.k2：2：1),7分y=kx,由x=42(1+2k2)x2=2,|AB|=2|OA|=2x2+y2=2+y=1同理可得|0C|=2(k+1)k+2'224(k+1)r29分(2k2+1)(k2+2)，1Saabc=q|AB|X|OC|=方法1:设t=k2+1>1,贝Uk2=t1,故Saabc=4t2(2t1)(t+1)由二次函数的图像及性质可求得当t=2,即即k=1时,Sm

20、bc有最小值为3.12分方法2:22/(1+2k)(k+2)w(1+2k2)+(k2+2)29(1+k2)2-SaABC2、24(1+k)22(1+2k)(k+2)43当且仅当1+2k2=k2+2,即卩k1时取等号.Saabc-.34综上，当直线AB的方程为y=x时，ABC的面积有最小值-.12分321. (本小题满分12分)已知函数f(x)=ax+2alnx,aR,g(x)=ex_1+alnx+x，其中e为自然对数的底数.(1) 若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线经过(0，-2)，证明：f(x)<g(x)1；(2) 若函数y=f(x)与y=2g(x)lnx的图像有且仅有一个公

21、共点P(xo,yo)，证明：xo<.42a【解析】(1)f'(x)=a+,k=f'(1)=3a,入a(2)10由3a=a+2得a=1,2分1令F(x)=g(x)f(x)=ex1lnx(x>0)，贝UF'(x)=ex1一，3分x当x(0,1)时F'(x)<0，函数F(x)单调递减，当x(1,+s)时F'(x)>0,函数F(x)单调递增，故函数F(x)的最小值为F(1)=1,即f(x)wg(x)1.5分(2)G(x)=2g(x)lnxf(x)=2elnx+2xax，由题意函数G(x)有且仅有一个零11点，因为G(x)=2ex1-+2a

22、,G'(x)=2ex1+r>0,7分Xx则G(x)为(0,+)上的增函数，且其值域为R,故G(x)在(0,+)上有唯一的零点，设为t,则当x(0,t)时G(x)<0，则G(x)单调递减，当x(t,+s)时G(x)>0,贝UG(x)单调递增，从而函数G(x)在x=t处取得最小值，又函数G(x)有唯一零点X0,则必有t=X0,9分1G'(X0)=0,2ex°1+2a=0,所以：XoG(X0)=02ex01lnx0ax0+2x0=0,消去a整理得：(22x0)ex01+1lnx0=0,令H(x)=2(1x)ex1+1lnx，显然x。为其零点，1而h，(x)

23、=x2eX1+X2<0,故H(x)在(0,W)上单调递减，73377而H(1)=1>0,H;=1-ln<0,所以H(x)在1,内有且仅有一个零点，424447在4,+m内无零点，7即x°<：.12分4(二)选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程,x=2+cosatn在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为t为参数，a0,y=1+sinat2以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2'2ncosB+.4(1) 分别写出直线I的普通方程与曲线C的直角坐标方程；2(2) 已知点P(2,1)，直线I与曲线C相交于MN两点，若|MN=6|PM|PN，求直线I的斜率.X=2+COSat【解析】将(t为参数)消去参数t可得y+1=tana(x2),y=1+sinat直线l的普通方程为ytanax+2tan