《分式方程的解法》

1、复习提问复习提问1、什么是一元一次方程？什么是方程的什么是一元一次方程？什么是方程的解？解？2 2、解一元一次方程的基本方法和步骤是、解一元一次方程的基本方法和步骤是什么？什么？3 3、分式有意义的条件是什么？、分式有意义的条件是什么？4 4、分式的基本性质是怎样的？、分式的基本性质是怎样的？ 轮船在顺水中航行轮船在顺水中航行8080千米所需的时千米所需的时间和逆水航行间和逆水航行6060千米所需的时间相同千米所需的时间相同. .已已知水流的速度是知水流的速度是3 3千米千米/ /时，求轮船在静时，求轮船在静水中的速度水中的速度. .分析：分析：设轮船在静水中的速度为设轮船在静水中的速度为x千

2、米千米/ /时，根据题意，得时，根据题意，得360380 xx这个方程有何特点？这个方程有何特点？360380 xx分式方程的主要特征：分式方程的主要特征：（1 1）含有分式）含有分式 （2 2）分母中含有未知数）分母中含有未知数. . 方程方程 中含有分式，并且分母中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程分式方程.360380 xx你还能举出一个分你还能举出一个分式方程吗？式方程吗？判断下列各式哪个是分式方程判断下列各式哪个是分式方程(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)(1)(1)(1)(1)、(2)(2)是整式方程是整式方程. .

3、(3)(3)是分式是分式. .(4)(5)(4)(5)是分式方程是分式方程23(1)0132(2)42(3)3 01xxxxxx 下列下列方程方程哪些是分式方程：哪些是分式方程：2334(4)249141(5)1(6)1xxxxxxxy思考：思考：怎样解分式方程呢？怎样解分式方程呢？为了解决这个问题，请同学们先思考并为了解决这个问题，请同学们先思考并回答以下问题：回答以下问题：1 1）、回顾一下解一元一次方程时是怎么）、回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？去分母的，从中能否得到一点启发？2 2）、有没有办法可以去掉分式方程的分）、有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转

4、化为整式方程呢？母把它转化为整式方程呢？试动手解一解方程：试动手解一解方程：360380 xx方程两边同乘以（方程两边同乘以（x+3x+3）( (x-3)x-3)，约，约去分母，得去分母，得 80 80（x-3x-3）=60(=60(x+3)x+3)解这个整式方程，得解这个整式方程，得 x=21x=21所以轮船在静水中的速度为所以轮船在静水中的速度为2121千米千米/ /时时. .275 xx解方程：解方程：方程两边同乘以方程两边同乘以x（x-2），约去分，约去分母，得母，得 5（x-2）=7x解这个整式方程，得解这个整式方程，得 x=-5x=-5上述解分式方程的过程，上述解分式方程的过程，实

5、质实质上是上是将方将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程式方程转化为整式方程来解来解. .所乘的整式通所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母常取方程中出现的各分式的最简公分母. .解方程：解方程：12112xx例题讲解与练习例题讲解与练习例例1 1解方程：解方程：12112xx解：解：方程两边同乘以方程两边同乘以( (x+1)(+1)(x-1),-1),约去分母，得约去分母，得 x+1=2+1=2解这个整式方程，得解这个整式方程，得 x =1=1事实上，当事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分时，原分式方程左边和右边的

6、分母（母（x x1 1）与（）与（x x2 21 1）都是）都是0 0，方程中出现的两，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程不是原分式方程的根，应当舍去的根，应当舍去. . 所以原分式方程无解所以原分式方程无解. . 在将分式方程变形为整式方程时，方程在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为（或根），这种根通常称为增根增根. .因此，在解分式方程时必须进行因此，在解分式方程时必须进

7、行检验检验. .那么，可能产生那么，可能产生“增根增根”的原因在哪里呢？的原因在哪里呢？ 对于原分式方程的解来说，必须要求对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求变形后得到的整式方程则没有这个要求. .如果所得整式方程的某个根，使原分式方如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，简公分母）的值为零，它就不适合原方程，即是原分

8、式方程的增根即是原分式方程的增根. . 验根的方法验根的方法 解分式方程进行检验的关键是看所解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零的分式的分母为零. .有时为了简便起见，有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零母），看它的值是否为零. .如果为零，即如果为零，即为增根为增根. .1.1.代入原方程进行检验代入原方程进行检验2.2.代入最简公分母进行检验代入最简公分母进行检验例题讲解与练习例题讲解与练习307x2 100 x例例解解方方程程方程两边同

9、乘以方程两边同乘以x（x-7），约去分母，得，约去分母，得 100（x-7）=30 x解这个整式方程，得解这个整式方程，得 x=10 x=10 x（x-7），得），得10（10- -7）0所以，所以， 例题讲解与练习例题讲解与练习例例3 3解方程：解方程： 解：解：方方程两边同乘以程两边同乘以x- -4，得，得451xx检验：检验：把把 x = 5 代入代入 x - -4，得，得x- -40 x = 5= 5是原方程的解是原方程的解. . 解这个整式方程得解这个整式方程得x = 541451 ) 1 (xxx22162242xxxxx解：解：方程两边同乘以（方程两边同乘以（x-2)(x+2），

10、得得22(2)16(2)xx2244 1644xxxx检验：把检验：把x=-2代入代入 x2-4得得x2-4=0 x=-2是是增根，从而原方程无解增根，从而原方程无解. 解这个整式方程，得解这个整式方程，得x=-2例例3解方程：解方程： 例题讲解与练习例题讲解与练习(2)注意：注意：分分式方程的式方程的求根过程求根过程不一定是不一定是同解变形，同解变形，所以分式所以分式方程一定方程一定要验根！要验根！解下列分式方程：解下列分式方程： 01141xx 11122xxxx 21424563523xxxx 16234222xxxxx )5)(4(1)3)(2(15xxxx 1；1；2 2化为整式方程

11、得x化为整式方程得xx x2 21 12 22 2x xx x把分式方程把分式方程3 31；1；的解是x的解是x1 1x x1 11 1x xx x方程方程2 22；2；1的解是x1的解是xx x2 2x x1 1x x方程方程1 12 2 1、你学到了哪些知识？、你学到了哪些知识？要注意什么问题？要注意什么问题？2、在学习的过程、在学习的过程 中你中你有什么体会？有什么体会？ 课堂小结课堂小结验根的方法有：验根的方法有： 代入原方程检验法代入原方程检验法和和代入最简公分母检验法代入最简公分母检验法. . (1)(1)代入原方程检验代入原方程检验，看方程左，右两边的值，看方程左，右两边的值是否相等，如果值相等，则未知数的值是原方是否相等，如果值相等，则未知数的值是原方程的解，否则就是原方程的增根。程的解，否则就是原方程的增根。(2)(2)代入最简公分母检验时代入最简公分母检验时，看最简公分母的，看最简公分母的值是否为零，若值为零，则未知数的值是原方值是否为零，若值为零