新人教版数学八下小专题(二)二次根式运算规律的探究

1、小专题（二）二次根式运算规律的探究以二次根式运算为载体的规律探究题是近年来中考热点题型之一这类问题新颖、独特、综合性强解决此类问题先要通过观察题目中所给出的若干个与二次根式有关的算式，从中寻找它们的共性，进而归纳、猜想出一般的结论，再利用探究的结论解决新的问题推导：Vio+=v121=11V121212，11(3)5丙=(n+1*3观察下列各式及验证过程wV2-3=2V3,验证：v2-1iX3=V22=23送（4-5）=1吩,/2x3x4/4验证:喩1-=V43V8;验证：V3(4-5)=V353X4X5=4V15;111（1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想V1（-）的变形结果

2、，并进行验证；（2）按照上述各式反映的规律，写出用n（n为任意的自然数，且n2）表示的等式，并给出证明解：（1）V1（1-1）=5（2）按照上面各等式反映的规律试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数），不用验证解:（1）观察可得21+12+12=11.425220,111（2）21+?+（?+1）2=1?（?+1）.2观察下列各式： 21+3=221； 22+J321;4 4， 23+丄=421；V511（1）请你猜想：v4+6=2s一；（2）请你写出第10个式子，并写出推导的过程（3）根据你观察到的规律，写出第n个式子解:（2）210+1=1121.456丿524验证:V14V6=Vdb2

3、4(21v?+1?+1V?(?+2).证明:?+1=V?(?+1)(?+2)V?(?+1)2(?+2)1?+1?+1V?(?+2).L类型2二次根式数列规律探究类观察数列中的数式所含的二次根式，得出它们的循环规律，再根据一般性解决问题4.（改编）将1，v2,V3三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8,2）与（2020,2020）表示的两个数的积是（C）1第1排/3/2第2排3/21第3排1/3/21第4排A.3B.v6C.V3D.v25下面是一个按某种规律排列的数阵1(2第1行7/5第2行/72/?3/?/TT2你第3行/13/14/154/T73(2/192/5_

4、第4行根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n3)行从左向右数第n-2个数是?-2_.(用含n的代数式表示)6.(改编)现有一组有规律的数:1,-1,v2,-v2,v3,-v3,1,-1,v2,-v2,v3,-二3,其中1,-1,v2,-v2,v3,-v3这六个数按此规律重复出现.(1)第50个数是什么数？(2)把从第1个数开始的前2020个数相加，结果是多少？(3)从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？解:(1)这列数每6个数是一个循环：1,-1,辺,-辺,v3,-v3,T50书=82,第50个数是-1.(2)2020=3364,且1+(-

5、1)+v2+(-v2)+v3+(-v3)=0,1+(-1)+v2+(-v2)=0,从第1个数开始的前2020个数的和是336X0+0=0.(3)12+(-1)2+(辺)2+(-)2+(V3)2+(-)2=12,520-12=434,而且12+(-1)2+(込)2=4,43冷+3=261,即一共是261个数的平方相加类型3有理化因式化简类将原式乘以分母的有理化因式或将二次根式的被开方数配成完全平方的形式进行化简7.(合肥瑶海区期中)阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如:5；云=(迈J)+1)=(v2)2-12=v2+1等运算都是分母有理化.根据=2V5=2V5介11x(+1)V2

6、+1V5V上述材料,1(1)化简:V31V2；v3+v2解:()计算:亠+丄+亠+次v2+1v3+v2v4+v3vTQ+v91)原式=(u,)(+化.)原式=v2-1+v3-V2+V10-v9=V10-1.8先阅读下面的解答过程，然后作答.形如V?土2V?勺化简,只要我们找到两个数a,b使a+b=m,ab=n，这样(V?)2+(V?)2=m,V?-V?=V?那么便有V?2V?=讥v?V?)2=V?+V?ab)例如：化简V7+4V3.解:首先把V7+4V3化为V7+2V2,这里m=7,n=12,由于4+3=7,4X3=12,即(V4)2+(v3)2=7,V4Xv3=V2,所以v7+4V3=v7+2V12=V(v4+V3)2=2+V3.由上述例题的方法化简：(1)V13-2V42;(2)V7-V40；(3)V2-v3.解：(1)V13-2v42=V(v7-V)2=v7-v6.(2)V7-V40=V7-2V10=V(v5-V)2=v5-V2.(3)V2-V3=十V6J.类型1二次根式性质化简类探究一列等式中二次根式的排列规律，可以根据二次根式的性质把等式左边的二次