考点43 独立性检验

1、考点43独立性检验统计案例了解独立性检验（只要求2X2列联表）的基本思想、方法及其简单应用，并能解决一些实际问题1.2x2列联表设X,Y为两个变量，它们的取值分别为X込和yi匕，其样本频数列联表（2x2列联表）如下:yiy2总计X1aba+bX2cdc+d总计a+cb+da+b+e+d2.独立性检验利用随机变量K2（也可表示为x2）n(ad一be)2(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)（其中n=a+b+e+d为样本容量）来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验3.独立性检验的一般步骤（1）根据样本数据列出2x2列联表；在犯错误的概率不超过八K2k）的前提下不能推断“X与Y有关系”（2）

2、计算随机变量K2的观测值k查下表确定临界值k0P(K2k)00.500.400.250.150.1000.0500.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828如果k工k，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过PW丫；否则，就认为【注意】（1）通常认为k5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为P（K2k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001K0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357

3、.87910.828A25%B75%C2.5%D97.5%【答案】D【解析】.5.024,而在规测值表中对应于5.024的罡0.025,1-0.025=0575=97.5%,二有9工3%的把握认为N和F有关系故选D.名师点睛】本题考查独立性检验的应用，属于基础题，根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，从而得到结果典例2有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果冷漢多看电视68少看电视20总计88不诒漠想计421105280163附表：P(K2k)0.050.0250.0100.0050.001K3.845.

4、0246.6357.87910.828则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为A99.9%B97.5%C95%D90%【答案】A解析】由题可得168x(68x38-20x42)388x80x110x58/1137710828,/.有的一魄的把握认为看电视与人变冷漠有关系一故答案为A.【名师点睛】本题主要考查独立性检验，意在考查学生对该知识的掌握水平和解决实际问题的能力.把所给的数据代入求独立性检验的观测值的公式，求出观测值，把观测值同独立性检验的临界值表进行比较，得到所求的值大于10.828，得到有99.9%的把握认为看电视与人变冷漠有关系变式拓展1为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，

5、某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀作文成绩一般总计课外阅读量较大221032课外阅读量一般82028总计303060由以上数据，计算得到K2的观测值k沁9.643，根据临界值表，以下说法正确的是附：P(K2k)00.500.400.250.150.100.050.050.0100.005k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879A. 在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”B. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关C. 在犯错误的概率不超过0

6、.05的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关D. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关考向二独立性检验与概率统计的综合独立性检验是一种统计案例，是高考命题的一个热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为中档题，高考中经常是将独立性检验与概率统计相综合进行命题，解题关键是根据独立性检验的一般步骤，作出判断，再根据概率统计的相关知识求解问题.典例引领典例3某中学对高三甲、乙两个同类班级进行“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率作用”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两

7、班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示：61-70号718fl分1-90*91-100甲顫人翔3111S12乙班人.数4131510现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.（1）试分别估计两个班级的优秀率;（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率”有帮助？优秀人数非优秀人数合计甲班乙班合计参考公式及数据：n(ad一be)2(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)P(K2k)00.400.250.150.1000.0500.0250.010k00.7

8、081.3232.0722.7063.8415.0246.635答案】（1）甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%；（2）列联表见解析，没有75%的把握认为“加强语文阅读理解训练对提高数学应用题得分率”有帮肋【解析】由題意知b甲、乙两班均有学i50A；甲班优秀人数为30人，优秀率为=60%?乙班优秀人数为25人，优秀率为|=50%;所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.（2）2x2列联表如下:优秀人数非述秀人数合计甲班302050乙班252550合计554510050x50x55x45K2=l0x(30x25-20x25)2=型1.010k)00.0500.0250.0100.001k0

9、3.8415.0246.63510.828论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的.下列说法中正确的是A. 100个心脏病患者中至少有99人打酣B1个人患心脏病，那么这个人有99%的概率打酣C. 在100个心脏病患者中一定有打酣的人D. 在100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有3.已知两个统计案例如下： 为了探究患肺炎与吸烟的关系，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表:患肺炎未患肺炎总计吸烟43162205不吸烟13121134总计56283339为了解某地母亲与女儿身高的关系，随机测得10对母女的身高如下表:母亲身高(cm)1591601601631591541591581

10、59157女儿身高(cm)158159160161161155162157162156则对这些数据的处理所应用的统计方法是A.回归分析，取平均值B.独立性检验，回归分析C.回归分析，独立性检验D.独立性检验，取平均值4某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示:每年体检每年未体检合计老年人a7c年轻人6bd合计ef50已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是A.a=18B.b=19C.c+d=50D.f-e=15. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表:喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生25103

11、5女生51015合计302050参考公式:K2n(ad一be)2(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)临界值表：P(K2k)00.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是A97.5%B99%C99.5%D99.9%6. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试统计得到成绩与专业的列联表：优秀非优秀总计A班14620B班71320总计211940附：参考公式及数据(1)统计量：K2n(ad一be

12、)2(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)(2)独立性检验的临界值表：P(K2k)00.0500.010k03.8416.635则下列说法正确的是A. 有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B. 有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C. 有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D. 有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关7. 假设有两个分类变量X和Y的2x2列联表为:X_Yy2总计x5b5+bx15d15+d总计204060对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为A.b=5,d=35B.b=15,d=25C.b=20,d=20D.b=30,d=10n

13、(ad一bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)8. 某学校为判断高三学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2x2列联表:根据表中数据得到K2=50x(13x20-10x71_23x27x20x30沁4.844已知P(K23.841L0.05,(K25.024)u0.025.现作出结论“选修文科与性别相关”，估计这种判断出错的可能性约为理科文科合计男131023女72027合计203050B.95%D.5%A.97.5%C.2.5%9. 某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查.根据从中随机抽取的50份调查问

14、卷，得到了如下的列联表:同意限定区域停车不同意限定区域停车合计男20525女101525合计302050则认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”的把握约为附：n(ad一bc匕(a+b)(c+d)(a+c)(b+d丿P(K2k)00.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P(K2k)00.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.82810已知下列命题：在线性回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1,表示回归效果越好； 两个变量相关性越强，则相关系数的

15、绝对值就越接近于1； 在回归直线方程y=0.5x+2中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y平均减少0.5个单位； 对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大其中正确命题的序号是11一则“清华大学要求从2017级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下2x2列联表:喜欢游泳不喜欢游泳合计男生40女生30合计3已知在这loo人中随机抽取1人，抽到喜欢游

16、泳的学生的概率为5.(1) 请将上述列联表2X2补充完整，并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢游泳与性别有关.2)已知在被调查的学生中有6名来自高一(1)班，其中4名喜欢游泳，现从这6名学生中随机抽取2人，求恰有1人喜欢游泳的概率.n(ad-be1附：=(a+b)(e+d)(a+e)(b+d)P(K2k)00.100.0500.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82812随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行

17、了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）经常使用偶尔或不用合计30岁及以下703010030岁以上6040100合计13070200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.n(ad-bc匕参考公式：K2，其中n一a+b+c+d.(a+b丿(c+d)(a+c)(b+d丿参考数据：P(K

18、2k)00.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635直通高考凶R敝r1. （2017年高考新课标II卷）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：旧养疽法新羔道法（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关箱产量50kg箱产量三50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.附：P（K些）0.0500

19、.0100.001k3.8416.63510.828n(ad一bc)22(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2. (2018年高考新课标III卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第种生产方式第二种主产方式86556899762701223斗56689K776543328144521100g0(1) 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2

20、) 求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3) 根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？丄n(ad-be匕附:尺2礼+b)(e+d)(a+e)(b+d)，P（K2三k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828底参考答案,变式拓展1.【答案】D【解析】因为根据临界值表，9.6437.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关故选D.【名师点睛】本题考查卡方含义，考查基本求解能力.根据临

21、界值表，确定犯错误的概率即可.12.【答案】（1）见解析；（2）2.解析】（1）由已知得：在家里最幸福在其他场所幸福合计中国咼中生223355美国高中生93645合计3169100100x11x331x234.6283.841,100x(22x36-9x33匕K2=31x69x55x45有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关.（2）用分层抽样的方法抽出*人苴中在匚：朋左聚焦的地方f感到幸福的有3人在*个人空间戸感到幸福的有1人分别设対备伽卫.T总的基本事件空间为】二总的基本事件个数=6-设生有在洽人空间愿到幸福的学生彷事件厶则X珂何叭（咚叭（码上爪二事件/的个m=3.故尸（/）二弓二|=*一

22、【思路点拨】（1）根据题意填写列联表，计算观测值K2，对照临界值表得出结论;2）用分层抽样方法抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“个人空间”感到幸福的有1人，分别设为a,a,a,b，再设“含有在个人空间感到幸福的学生”为事件A，求出基本123事件数，即可求得概率值.考点冲关1. 【答案】D【解析】在等高条形图中，x,x所占比例相差越大，分类变量x,y有关系的把握越大.12故答案为D【名师点睛】（1）本题主要考查通过等高条形图判断两个分类变量是否有关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.（2）在等高条形图中，如果两个分类变量所占的比例差距越大，则说明两个分类变量有

23、关系的把握越大.2. 【答案】D【解析】利用独立性检殓的结论可得：若酣与患心脏病有关啲结论并且有99%以上的把握认対这个结论是成立的则在W0个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有一本题选择D选项.【名师点睛】独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释.3. 【答案】B【解析】常用独立性检验研究两个分类变量之间是否有关系，常用回归分析研究两个具有相关关系的变量的相关程度，综上可知选B.4. 【答案】D【解析因为a+7=c=25,6+b

24、=d=25,a+6=e,7+b=f,c+d=50,e+f=50，所以a=1&b=19,c+d=50,e=24,f=26,fe=2.故选D.【名师点睛】本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.先根据列联表列方程组，解得a,b,c,d,e,f再判断各选项.5. 【答案】An(ad-bc)2【解析】由已知可得K2=(b匚厂)(bd)=50篇兀驚5)26.3492,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)35x15x30x20由临界值表可知P(K25.024)二0.025，所以根据表中的数据可以认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是97.5%，故选A.6【答案】C【解析】因为K2=蔦瞋舄：J412，

25、所以3841K23.841，而P(K23.841L0.05，这种判断出错的可能性约为5%,故选D.9答案】99.5%【解析】因为K2=50x(20X15-5X10卫8.333,且P(K27.789)=0.005=0.5%.25x25x30x20所以，我们有99.5%的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关故答案为99.5%.【名师点睛】本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.利用公式求得K2,与临界值比较，即可得到结论.10. 【答案】【解析】相关指数应表示解釋变量盂对于预报变量卩的贡就率，卅越接近于表示回归效果迪匕是正确的； 两个变量相关性越

26、强，则相关系数的绝对值就越接近于1,是正确的】 在回归直线方程y=.5x+2中，当解释变量兀每増加一个里位时预报变量:平均减少0占个单位是正确的因为回归方程并不是祥本巨都落在方程上故只能是怙计值所以说是平均增长, 对分类夔量X与F,它们的随机娈量疋二的观测值氐来说氐越小与F有关系方的把握程度越ds故原命题错误一故答案为；一11. 【答案】（1）列联表见解析，可以；15.3【解析】（1）根据条件可知喜欢游泳的人数为1OOX5二60人完成2x2列联表:根据表中数据，计算K2二100(40x30-20x10匕60x40x50x50沁16.66710.828喜欢游泳不喜欢游泳合计男生401050女生2

27、03050合计6040100所以可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢游泳与性别有关.(2) 设“恰有一人喜欢游泳”为事件A,设4名喜欢游泳的学生为耳,a2,a3,a4,不喜欢游泳的学生为b1,b2，基本事件总数有15种:aa,aa,aa,ab,ab,aa,aa,ab,ab,aa,ab,ab,ab,ab,bb，121314111223242122343132414212其中恰有一人喜欢游泳的基本事件有8种:ab,ab,ab,ab,ab,ab,ab,ab，1112212231324142所以p(A)=15.【名师点睛】本题考查了独立性检验与运算求解能力，同时考查通过列举法求概率的应用

28、，属于中档题.(1) 根据题意计算喜欢游泳的学生人数，求出女生、男生多少人，完善列联表，再计算观测值K2,对照临界值表即可得出结论；(2) 设“恰有一人喜欢游泳”为事件A，设4名喜欢游泳的学生为仟a2,a3,a4，不喜欢游泳的学生为b1,b2，通过列举法即可得到答案.12. 【答案】(1)能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关；9(2)(i)经常使用共享单车的有3人，偶尔或不用共享单车的有2人；(ii)jo.【解析】门由列联表可知，.200x(70x40-60x30?K1=L2.198-130x70x100x100因为2.1982.072,所以能在犯错误的概率

29、不超过0-15的前提下认为/市使用共享单车情况与年龄有关60(2)(i)依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有5x而二3(人)，偶尔或不用共享单车的有5x100二2(人).(ii)设这5人中，经常使用共享单车的3人分别记为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别记为d，e.则从5人中选出2人的所有可能结果为：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为：(d，e)，共1种,故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率P二1-丄二.直通高考1.【答案】(1)0.62；(2)列联表见解析，有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3)新养殖法优于旧养殖法.【解析】(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012+0.014+0.0