第一章-中点模型的构造

1、中点模型的构造技巧提炼：很多几何题会给出“点X是线段XX的中点”这样的条件，那么看到“中点”我们应该想到什么呢？“中点”有哪些作用呢？1、已知任意三角形一边上的中点，可以考虑:(1) 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形。如图(2) 三角形中位线定理。2、已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线。3、已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。4、有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点,例出直角三角形中斜边中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加。典例精讲例1如图所示，在ABC中，AB=12,AC=20，求BC边上

2、的中线AD的取值范围。例2如图所示，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F,AF=EF,求证：AC=BE。变式练习：1、如图，已知在厶ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F,AF精品资料与EF相等吗，为什么?BI)C2、如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF/AD交CA的延长线交于点F，交AB于点G,若AD为ABC的角平分线，求证：BG=CF。4精品资料例3如图，在RtXBC中，/BAC=90。，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED_LFD，以线段BE、EF、FC为边能否

3、构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，还是直角三角形，或者是钝角三角形？变式练习：1、如图，已知M为ABC中BC边上的中点，/AMB、/AMC的平分线分别交AB、AC于点E、F，连接EF。求证：BE+CF>EF。12、如图，在ABC中，D是BC的中点，DMJDN，如果BM2CN2=DM2+DN2，求证：AD2=(AB2+AC2)。例4已知，如图，在ABC中，BE、CF分别为边AC、AB的高，D为BC的中点，DMJEF于点M，求证：FM=EM。精品资料例5XBD和ACE都是直角三角形，且/ABD=ZACE=90°，如图，连接DE，设M为DE的中点，连接MB、MC。求证：MB

4、=MC。例6问题一：如图（a）,在四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、AD的延长线交于点M、N,求证：/BME=ZCNE。问题二：如图（b）,在四边形ABCD中，AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断AOMN的形状，请直接写出结论。问题三：如图（c）,在ABC中，AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若/EFC=60°，连接GD，判断AGD的形状并证明。例7如图，已知在厶ABC中，AB=AC

5、,CE是AB边上的中线，延长AB至点D，使BD=AB，求证：CD=2CE。例8问题1:如图（a）,三角形ABC中，点D是AB边的中点，AEJBC,BF山C,垂足分别为点E、F,AE、BF交于点M，连接DE、DF，若DE=kDF，贝Uk的值为。问题2:如图（b）,三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且/MAC=/MBC，过点M分别作业ME_LBC,MF!AC,垂足分别为点E、F，连接DE、DF。求证DE=DF。问题3:如图（C）,若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为弋A:其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论。牛刀小试：*1、如图，

6、在等腰直角三角形ABC中，/ABC中，/ABC=90°,D为AC边上中点，过点D作DEJDF，交AB于点E,交BC于点F，若AE=4，FC=3。求EF长。*2、如图，在ABC中，D是BC延长线上一点，CD=BC，E是CA延长线上一点，AE=2AC，若AD=BE，求证：ABC是直角三角形。*3、如图，在正方形ABCD中，F是AB中点，连接CF，作DEJCF交BC于点E，交CF于点M,求证：AM=AD。D*4、如图，/BAC=ZDAE=90°,M是BE的中点，AB=AC,AD=AE，求证：AMJCD。*5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD,AD=BC,AC与BD交于点O,

7、JOB=60°,P、Q、R分别是OA、BC、OD的中点，求证：PQR是正三角形。*6、如图，在ABC中，若ZB=2ZC,AD_LBC,E为BC边的中点，求证：AB=2DE。*7、如图，分别以厶ABC的边AB,AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，点M为BC中(1)求证：AM_LEG;(2)求证：EG=2AM。*8、如图，在ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N,判断MNQ的形状并证明。*9、如图，在五边形ABCDE中，/ABC=ZAED=90。，启AC=ZEAD，点F为CD的中点，求证：BF=EF。眺望中考:数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：在等腰ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF丄AB于点F,EG丄AC于点G,M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是.（填序号即可）AF=AG=AB;MD=ME;四边形AFMG是菱形；整个图形是轴对称图形；MD丄ME.数学思考：在任意ABC中，分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，贝UMD和ME具有怎样的数量