第一章章末测试题(B)

1、第一章章末测试题但）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在厶ABC中，已知a=.3,b=1,A=130°则此三角形解的情况为（）A.无解B.只有一解C.有两解D.解的个数不确定答案B解析因为a>b,A=130°所以A>B，角B为锐角.因此该三角形只有一解.2. 在ABC中，若B=120°贝卩a2+ac+c2b2的值（）A.大于0B.小于0D.不确定C.等于0答案C解析根据余弦定理，得a2+c2b2cos120=2ac12,13即a2+c2b2=ac.故a2+ac+c2b2=0.3

2、. 已知ABC中，sinA:sinB:sinC=1：1：3,则此三角形的最大内角的度数是（）B.90°A.60°C.120°D.135°答案C解析在ABC中，sinA:sinB：sinC=a:b:c,a:b:c=1:1:3.设a=b=k,c=3k(k>0),则cosC=掣爲2=2.故C=120°应选C.2xkxk24. 若厶ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2c2=4,且c=60°则ab的值为()A. 3C.1答案A解析由(a+b)2-c2=4,得(a2+b2-c2)+2ab=4ta2+b2-c2=2abco

3、sC,二方程可化为2ab(1+cosC)=4.24因此，ab=.又tC=60°ab=R.1+cosC'35. 设a,b,cABC的三边，且关于x的方程(a2+bc)x2+2b2+c2x+1=0有两个相等的实数根，则A的度数是()A.120°B.90°C.60°D.30°答案C解析t由题意可知题中方程的判别式=4(b2+c2)-4(a2+bc)=0,二b2+221c2a2=bc,cosA=2.又t0°A<180°,二A=60°6. 若ABC的三边分别为a,b,c,且满足b2=ac,2b=a+c,则此三角

4、形是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案D解析t2b=a+c,.4b2=(a+c)2.又tb2=ac,.(a-c)2=0.a=c.2b=a+c=2a.b=a,即卩a=b=c.故此三角形为等边三角形.7. 已知在厶ABC中，a=x,b=2,B=45°.若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A.x>2B.x<2C.2<x<22D.2<x<23答案C解析方法一要使三角形有两解，则a>b,且sinA<1.ab由正弦定理可得siOA=sibB，即sinA=asinB2xb=4，x>2,2<x<22

5、.花匕a方法二要使三角形有两解，则,b>asinB,2<x,-即二2<x<22.I2>xsin45,8某人站在山顶看见一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车和第二辆车之间的距离di与第二辆车和第三辆车之间的距离d2之间的关系为（）A.di>d2B.di=d2C.di<d2答案CD.不能确定大小解析设山顶为点pA,B,C,俯角差为dpbdi_PBsinasin/FAB，a,作出图像如右图，由题知/CPB=ZBFA=a，由正弦定理，得$吐pCB，即PBsina=d2sin/PCB=d1sin/P

6、AB,又vsin/PAB>sin/PCB,.d1<d2.9.已知锐角三角形的三边长分别为3,4,a,则a的取值范围为（）A.1<a<5B.1<a<7C.7<a<5D.7<a<7答案C解析由锐角三角形及余弦定理知：32+a242>0,a2>7,C32+42a2>0,?<a2<25,?V7<a<5.a>0a>010.（2013新课标全国I）已知锐角厶ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23co£a+cos2A=0,a=7,c=6,贝Ub=（）A.10B.9C.8D.

7、5答案D解析1由23co$A+cos2A=0,得cos2A=*25vA（0,n，二cosA=5.TcosA=36；f飾49=5二b=5或b=-书(舍)故选D项.11.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A.20(2+6)nmile/hB. 20(6-2)nmile/hC. 20(3+6)nmile/hD.20(6-3)nmile/h答案B解析在厶MNS中，/SMN=45°/MNS=105°/MSN=30

8、6;,于是MNsin3020sin105，解得MN=10(6-2)(nmile).故所求货轮的速度为10吧-即卩20(V6V2)(nmile/h)212.（2012天津）在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B，贝ScosC=（）A.1_25Z25c.±5D.2425答案A解析在厶ABC中，由正弦定理，得b_csinB_sinCsin2B8-4歸_5,COsB_5.cosC_cos2B_2co$B1725.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13.已知在厶ABC中,则C的度数为7_旦_13sinA_sinB

9、_sinC，答案120°解析由聶_sibB_彘及盒_盏_sinC，得a：b：c_7:8:13.设a_7k,b_8k,c_13k(k>0),则有cosC_7k2+8k213k22'2x7kx8k又T0°<C<180°,aC_120°.14. 在厶ABC中，已知D为BC边上一点，BC_3BD,AD_2,/ADB_135°若AC_V2AB，贝SBD.答案2+.5解析如图，设AB_k,贝卩AC_2k.再设BD_x,贝SDC_2x.在厶ABD中，由余弦定理，得k2=x2+2-22（寻=x2+2+2x.®在厶ADC中，由

10、余弦定理，得2k2=4x2+222x2七=4X2+24x,即k2=2x2+12x.由得x24x1=0,解得x=2+5（负值舍去）.故BD=2+5.15. 在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=2,b=2,sinB+cosB=j2，则A的大小为.答案n解析tsinB+cosB=2sin（n+B）=2,sin（4+B）=1.又T0<B<n,二B=：由正弦定理，得sinA=厂止asinB2XT2'n又ta<b,.A<B.A=.616. 在ABC中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,给出下列结论: 由已知条件，这个三角形被唯一确定；

11、 厶ABC一定是钝角三角形； sinA:sinB:sinC=7:5:3; 若b+c=8,则厶ABC的面积是53.其中正确结论的序号是.答案解析由(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,可设a=7k,b=5k,c=3k(k>0),a,b,c随着k的变化而变化，可知结论错误./cosA=<0,5k2+3k27k22x5kx3k结论正确.tsinA:sinB:sinC=a:b:c=7:5:3,二结论正确.TcosA=2,sinA-23，若b+c=8,不妨设b=5,c=3,a=7,贝SSABC=罟，二结论不正确.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或

12、演算步骤)17. (10分)解答下列各题：(1) 在厶ABC中，已知C=45°A=60°b=2,求此三角形最小边的长及a与B的值；(2) 在厶ABC中，已知A=30°B=120°b=5,求C及a与c的值.解析(1)tA=60°,C=45°,二B=180°(A+C)=75°C<AvB.c<a<b,即c边最小.bsinA2sin60°-由正弦疋理可得a=丽=不污=326，c=bsinCsinB2sin45sin75°232.综上可知，最小边c的长为232,a=32.6,B=75&#

13、176;(2)tA=30°,B=120°,二C=180°(A+B)=30°.A=C.二a=c.由正弦定理可得a=bsinA=5sin30=sinB=sin120=3综上可知，C=30°°a=c=533.18. (12分)在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2C14.(1)求sinC的值；当a=2,2sinA=sinC时，求b及c的长.1解析(1)tcos2C=12sin2C=-4,0<C<n,sinC=#°当a=2,2sinA=sinC时，由正弦定理聶二益C得c=4.t21由cos2C=

14、2cos2C1=4及0<C<n,得cosC=±46.由余弦定理c2=a2+b22abcosC，得b2±6b12=0(b>0)，解得b=6或b=26.故b=&,c=419. (12分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinA+csinC2asinC=bsinB.(1)求B；(2)若A=75°,b=2,求a,c.解析(1)由题意结合正弦定理，得a2+c22ac=b2.由余弦定理，得b2=a2+c22accosB,故cosB=又B为三角形的内角，因此B=45°.=sin30cos45°+cos30

15、6;in45°2+：6=4(2)由于sinA=sin(30亠45°故a=搭笃Lc=bsinCsinB2Xsin60sin4520. （12分）在锐角ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知3a=2csinA.（1）求角C的值；（2）若c=,7,且Sabc=3,求a+b的值.解析（1）由/%=2csinA及正弦定理，得a=2黑人=tsinAz0,又ABC是锐角三角形，二C=n（2）方法一c=7,C=3,由面积公式，得*absinn=3-23即ab=6.由余弦定理，得a2+b22abcos3=7,即a2+b2ab=7.由变形得（a+b）2=3ab+7.将代入得（a

16、+b）2=25,故a+b=5.方法二前同方法一，联立得a2+b2ab=7,a2+b2=13,$?5ab=6ab=6,消去b并整理得a413a2+36=0,解得a2=4或a2=9,a=2，a=3,即或故a+b=5.b=3b=2.21. (12分)已知ABC的面积是30,其内角A,B,C所对边长分别为a,b,12c,且cosA=13.(1)求ABC;若c-b=1,求a的值.解析由cosA=13,得si门人二寸丄石22=寻.1又t2bcsinA=30,二bc=156.T(1)ABTAC=bccosA=156x1213144.1213)=25.2222(2)a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc(1cosA)=1+2x156x(1又ta>0,.a=5.22. (12