灰色理论系统预测

1、灰色系统预测重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测GM(1,1)模型，GM(1,N)模型，灰色系统模型的检验，应用举例。1灰色系统理论的产生和发展动态1982邓聚龙发表第一篇中文论文灰色控制系统标志着灰色系统这一学科诞生。1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。1989海洋出版社出版英文版灰色系统论文集，同年，英文版国际刊物灰色系统杂志正式创刊。目前，国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工

2、业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。2 灰色系统的基本原理2.1 灰色系统的基本概念我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。系统信息不完全的情况有以下四种1. 元素信息不完全2. 结构信息不完全3. 边界信息不完全4. 运行行为信息不完全2.2灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；研究对象内涵与外延的性质不同。灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象。“黑箱”方法着重

3、系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法。2.3灰色系统的基本原理公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。2.4灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过10多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基

4、础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（G,M）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。灰色关联分析灰色统计灰色聚类3 灰色系统预测模型灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值,从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。3.1 灰色系统理论的建模思想下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑4个数据，记为X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3),X(0

5、)(4)，其数据见下表:序号1234符号X(0)(1)X(0)(2)X(0)(3)X(4)数据1234图上图表明原始数据X(0)没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成，记第K个累加生成为X(1)(K),并且X(1)(1)二X(0)(1)二1X(1)(2)二X(0)(1)+X(0)(2)二1+2二3X(1)(3)二X(0)(1)+X(2)+X(0)(3)二1+2+1.5二4.5X(1)(4)二X(0)(1)+X(2)+X(0)(3)+X(0)(4)二1+2+1.5+3二7.5得到数据如下表所示序号1234符号X(1)(1)X(1)(2)X(1)X(1)(4)数据134.5

6、7.5im3.2 灰色系统预测模型建立1.数列预测GM(1,1)模型灰色系统理论的微分方程成为Gm模型，G表示gray(灰色)，m表示model(模型)，Gm(1，1)表示1阶的、1个变量的微分方程模型。Gm(1，1)建模过程和机理如下：记原始数据序列X(0)为非负序列X(o)=I(o)G)x(o)(2),x(ox(o)(n)其中，x(o)2,n其相应的生成数据序列为XXG)=(i)(1),x(i)(2)xG)(3x()(n)其中，x(i)(k)=£x(o)(i),k二1,2,n为X(i)的紧邻均值生成序寳Z二1(1)(1),z(叽2),z(D(n)i其中，Z(i)(k)=0.5x(

7、i)(k)+0.5x(i)(k-1),k=1,2,n称az(i)(k)=b为Gm(1,1)模型，其中，b是需要通过建模求解的参数，若。二,b)T为参数列，且x(0)(2)-z(1)(2)1_x(0)，B=一z(1)(3)1:一z(1)(4)1x(0)(n)_-z_Y=的最小二乘估计系数列，满x(o)(k)+az(k)=b的白化方则求微分方程x(o)(k)+az(i)(k)=b足a=(BtB)-iBtY称如+ax(i)=b为灰微分方程,dt程，也叫影子方程。如上所述，则有1白化方程如+ax=b的解或称时间响应函数为dtbbx(i)(t)=(x(0)e-at+aa2Gm(1,1)灰微分方程x(o)

8、(k)+az(i)(k)=b的时间响应序列为x(k+1)=(x(0)-)e-ak+,k=1,2,，naa3取x(1)(0)=x(0)(1)，则bbx(1)(k+1)=(x(0)(1)一)e-ak+,k=1,2,，naa4还原值x(0)(k+1)=x(1)(k+1)-x(1)(k),k=1,2,n2.系统综合预测GM(1,N)模型P1344 灰色系统模型的检验定义1.设原始序列yX(0)=b(0)(1),x(0)(2),x(0)(n)丿相应的模型模拟序列为X(0)=右(0)(1),x(0)(2),x(0)(n)残差序列8(0)念(1),8(2),(n)=%(0)(1)-x(0)(1),x(0)(

9、2)-x(0)(2),x(n)-x相对误差序列S(n)x(o)(1)'x(o)(2)''x(o)(n)nk11.对于kVn,称A=型为k点模拟相对误差，称x(0)(k)空丛为滤波相对误差，称A=1工A为平均模拟相对误差;x(0)(n)型。nkk=12称1A为平均相对精度，lA为滤波精度；3给定a,当A<«，且a<«成立时，称模型为残差合格模n定义2设X(0)为原始序列，X为相应的模拟误差序列，s为X(0)与X的绝对关联度，若对于给定的&>0,s>s，则称模型为关联合格模型。00定义3设X(0)为原始序列，X(0)为相应

10、的模拟误差序列's(0)为残差序列。x=1工x(0)(k)为X(0)的均值，nk=1s2=1工(x(k)一x)2为x(0)的方差，nk=1S=1£s(k)为残差均值,nk=1s2=1工(S(k)-s)2为残差方差，2nk=11称c=汇为均方差比值；对于给定的c>0，当c<c时，称s00模型为均方1差比合格模型。2称p=p(S(k)-S|<0.6745s)为小误差概率，对于给定的p>0,当p>p时，称模型为小误1差概率合格模型。0精度0检验等级参照表j指标临相对误差关联度均方差比小误差概芽性精度等级、值率一级0.010.900.350.95二级0.

11、050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.60一般情况下，最常用的是相对误差检1验指标。5应用举例例1设原始序列X(0)=(o)(l),x(o)(2),x(o)(3),x(4),x(o)=(2.874,3.27&3.337,3.390,3.679)建立Gm(1,1)模型，并进行检验。解：1)对x(0)作1-AGO,得D为X(0)的一次累加生成算子，记为1-AGO，AcumulatedGeneratingOperatorX(i)=(i)(1),x(i)(2),x(1)(3),x(i)(4),x(i)=(2.874,6.152,9.48

12、9,12.579,16.558)2)对x(i)作紧邻均值生成，令Z(i)(k)厂0.5x(i)(k)+0.5x(k一1)Z=,z,z,z,z=(2.874,4.513,7.820,11.84,14.718)于是，-4.51311-7.82011-11.841-14.71811一z(1)(2)一z(1)(3)一z(1)(4)一z(1)(5)x(0)(2)x(0)(3)x(0)(4)x(0)(5)3.2783.3373.3903.679BTB=一4.5131一7.820一11.184一14.718111一4.5131一7.8201一11.841一14.7181423.221-38.235-38.2

13、3541423.221x4-38.2352438.23538.235423.221230.969438.23538.235423.221a二(BtB)-1BtY0.0173180.165542"0.16655421.832371-4.513-7.820-11.184-14.71811110.0873860.030115-0.028143-0.0893441.0852800.537833-0.01905110.604076-0.0371563.0653183)确定模型dx(-0.037156x(1)=3.065318dt及时间响应式X(1)(k+1)=(x(0)(1)-)e-ak+ba

14、a=85.3728e0.037156k-82.49864)求X(1)的模拟值八<X(1)=X(1)(1),X(1)(2),X(1)(3),X(1)(4),X(1)3.2783.3373.3903.6793.2783.3373.3903.679-423.221-38.235"-1-0.0173180.165542"-38.23540.16655421.832371(BtB)-1=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538)5)还原出x(0)的模拟值，由X(0)(k+1)=X(1)(k+1)-X(1)(k)X(0)=4(0)(1),X(2)

15、,X(0)(3),X(0)(4),X=(2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128)6)误差检验'序号实际数据模拟数据残差相对误差x(0)(k)X(0)(k)£(k)=X(0)(k)一X(0)(k)A=k£(k)x(0)(k)23"2783.23180.04621.41%33.3373.3541-0.01710.51%43.3903.4811-0.09112.69%53"6793.61280.06621.80%残差平方和£s=£T£=(££££(5)&

16、#163;(3)£=b.O462-0.0171=0.0151085平均相对误差0.0462-0.09110.0662.-0.01710.066211A二-£A二一(1.41%+0.51%+2.69%+1.80%)=1.0625%4k4计算X与X的灰色关联度|S|=工(x(k)-x(1)+2(x(5)-x(1)2k=21=(3.2782.874)+(3.3372.874)+(3.3902.874)+-(3.6792.874)=|0.404+0.463+0.516+0.4025|=1.7855S|=工(X(k)-X(1)+一(X(5)-X(1)k=21=(3.23182.874

17、)+(3.3541-2.874)+(3.4811-2.874)+-(3.61282.874)=0.3578+0.4801+0.6071+0.3694|=1.8144S-S=£kx(k)-x(l)-(x(k)-x(1)+-kx(5)-x(l)-(x(5)-X(1)一2k=21=(0.35780.404)+(0.48010.463)+(0.60710.516)+(0.36940.4025)2=-0.0462+0.0171+0.091-0.01655|=0.045351+IS+7KS1+1.7855+1.8144=4.59991+s+S+S-S1+1.7855+1.8144+0.04535

18、4.64525=09902>090精度为一级，可以用x(1)(k+1)=85.3728e0.037156k-82.4986x(0)(k+1)=x(1)(k+1)x(1)(k)预测。例2某大型企业1997-2000年四年产值资料年份199719981992000产值(万元)27260295473241135388试建立Gm(1,1)模型的白化方程及时间响应式，并对Gm(1,1)模型进行检验，预测该企业2001-2005年产值。解：设时间序列为1X(0)=(0)(1),x(2),x(0)(3),x(4)1=(27260，29547，62411，35388)X(1)=(1)(1),x(1)(2

19、),x(1)(3),x(d(4)=(27260,56807,89218,124606)2)对x(1)作紧邻均值生成，令Z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)Z(1)=(1)(1),z(1)(2),z(1)(3),z(1)(4)于是，-z(2)- z(1)(3)- z(1)(4)x(0)(2)，Y=x(0)(3)x(0)(4)- 42033.5- 73012.5106912111295473241135388a=(BtB)-iBtY=-0.08999525790.28对参数列&=a,bT作最小二乘估计，得设如一ax(1)=bdt由于a=-0.089995,b=25

20、790.28可得Gm(1,1)模型的白化方程-0.089995x(1)=25790.28dt其时间响应式为286574bbx(1)(k+1)=(x(0)(1)-)e-ak+=313834e0.089995k-jaax(0)(k+1)=x(1)(k+1)一x(k)由此得模拟序列X=右(0)(1),x(0)(2),x(3),x(0)(4)=(27260，29553，32336，35381)检验：残差序列为8(0)=(8(0)(1),8(0)(2),8(0)(3),8(0)(4)=(0，-6，75，7)8(0)(1)8(0)(2)8(0)(3)8(0)11x(0)(1)'x(0)(2)

21、9;x(0)(3)'x(0)(4)J=(00.00020.002310.0002)=A(AAAA)平均相对误差A=丄£A=0.00068=0.068%<0.014k模拟误差A=0.0002=0.02%<0.01，精度一级4计算X(0)与X(0)的灰色关联度£工(x(0)(k)x(0)(1)+(x(0)(4)x(0)(1)2k=2|S|二=11502S=工(x(k)x(1)+1(xx(1)2k=2=11429.5工x(0)(k)x(0)(1)(x(0)(k)x(0)(1)Lx(0)(4)x(0)(1)(x(0)(4)x(0)(1)-2k=2=72.51+|

22、S+Ks1+IS+S亍+SS£=1+=0.997>0.90精度为一级计算均方差比x=工x(0)(k)=31151.54k=1S2=1£(x(0)(k)x)2=9313116.25,S=3051.74141k=1£=(K)=194K=1S2=32.66242k=1所以，c=S2=空竺=0.011<0.35，均方差比值为一级S3051.74计算小误差1概率0.6745S=2058.401£(1)£|=19,£(2)司=25££|=56,£(4)£|=12所以，p=P(£(k)&

23、#163;|<0.6745S)=1>0.95小误差概率为一级，故可用Ix(k+1)二313834e0.039995k286574|x(0)(k+1)二x(k+1)x(k)进行预测，2001-2005年预测值为X=4(o)(5),x(o)(6),x(o)(7),x(8),x(o)(=(38713，42359，46318，50712，55488)值。解：X(0)(0)(1),x(2),x(0)(3),x(o)(4),x=6.67,1.51,1.03,2.14,1.99)X(1)=%(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),x(1)(4),x(1)=(1.67,3.18,4.21,6

24、.35,8.43)对x(1)作紧邻均值生成，令Z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(k一1)Z=(d(1),z(d(2),z(d(3),zd)(4),z=(1.67,2.425,3.695,5.28,7.345)于是，BTB=1-2.42511-3.69511-5.281-7.34511一z(1)(2)一z(1)(3)一z(1)(4)一z(1)(5)Y一2.4251一3.6951一5.281x(0)(2)x(0)(3)x(0)(4)x(0)(5)一7.34511.511.032.141.99一2.4251一3.6951一5.281一7.3451例3预测实例，已知某企业2001-200

25、5年的工业总产值年份20012002200320042005总产值1.671.511.032.141.99建立Gm(1,1)模型的白化方程，预测2006-2015工业总产101.361一18.745一18.7454(BtB)-1=0.073980.346690.346691.8747BTY=一2.4251一3.6951一5.281一7.34511.511.032.141.99一33.383356.67(BTB)-1BtY0.0379800.346690.346691.8747一33.383356.67-0.1570.931方程为如-ax（1）=bdtdx（1）0.157x=0.931dt及时间响应式X(k+1)=(x(o)(1)-)e-ak+baa二(1.67+5.93)e0.157k-5.93=7.6e0.157k-5.93x（1）的模拟值X（1）二i（1）（1）,X（1）（2）,X（1