课件分讲概率统计15

1、5:35:511 概率论与数理统计是研究随机现象统计概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象的法则，应该研究大量随机现象.第六章第六章 大数定律和大数定律和中心极限定理中心极限定理5:35:512 研究大量的随机现象，常常采用极限研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究形式，由此导致对极限定理进行研究. 极极限定理的内容很广

2、泛，其中最重要的有两限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种种:与与大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理下面我们先介绍大数定律下面我们先介绍大数定律5:35:513 大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率第一节第一节 大数定律大数定律5:35:514 在第一章中我们指出,随机事件的频率某种稳定性某种稳定性. nnAfAn)(.当当时时,nnnAfAn)(具有具有清楚清楚, 现在就来说清楚这个问题现在就来说清楚这个问题. 对

3、于这一点对于这一点, 大数定理将给于理论上的依据大数定理将给于理论上的依据.下面只介绍下面只介绍大数定理的几种基本情形大数定理的几种基本情形.它们的真正含义它们的真正含义,在当时无法说在当时无法说5:35:515几个常见的大数定律几个常见的大数定律定理定理1（契比雪夫大数定律契比雪夫大数定律）niniiinXEnXnP111| )(11|lim 设设 X1,X2, 是相互独立的随机是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即并且方差有共同的上界，即 D(Xi) C，i=1,2, ，契契比雪夫比雪夫则对任意的则对任意的0，5:35:526

4、证明证明契契比雪夫大数定律主要的数学比雪夫大数定律主要的数学工具是工具是契比雪夫不等式契比雪夫不等式. 设随机变量设随机变量X有期望有期望E(X)和方差和方差 ，则对于任给则对于任给 0,2 221| )(| XEXP5:35:527 切比雪夫大数定律表明，独立随机变切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列量序列Xn，如果方差有共同的上界，则，如果方差有共同的上界，则niiXn11与其数学期望与其数学期望niiXEn1)(1 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于1. niiXn11随机的了，取值接近于其数学期望的概率接随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于近于1.即当即当n充分大时，充

5、分大时，差不多不再是差不多不再是切比雪夫大数定律给出了切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述平均值稳定性的科学描述5:35:528 定义1 依次列出的可数无穷多个随机变量依次列出的可数无穷多个随机变量,简称随机简称随机(变量变量) ,21nXXX简记为简记为nX序列序列.nX 定义2 对于随机变量对于随机变量序列序列nX和随机变量和随机变量X(或常数或常数a),若对任意若对任意 0,有有 1|limXXPnn1|limaXPnn(或)则称随机变量序列则称随机变量序列nX依概率收敛于随机依概率收敛于随机变量变量X(或常数或常数a). )( ,nXXPn(或)( ,naXPn)简记为简记为5

6、:35:529 作为切比雪夫大数定律的特殊情况，作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理有下面的定理.1|1|lim1 niinXnP定理定理2（独立同分布下的大数定律独立同分布下的大数定律） 设设Xn是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量序列，且序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,则对任给则对任给 0,2 5:35:5210 下面给出的贝努里大数定律，下面给出的贝努里大数定律，是定理是定理2的一种特例的一种特例.贝努里贝努里 设设Sn是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发发生的次数，生的次数，p是事件是事件A发生的概率，发生的概率，否则，发生次试验如第，0

7、1AiXi引入引入i=1,2,n则则 niinXS1niinXnnS11是事件是事件A发生的频率发生的频率5:35:5211 于是有下面的定理：于是有下面的定理： 设设nA是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的发生的 次数，次数，p是事件是事件A发生的概率，则对任给的发生的概率，则对任给的 0，定理定理3（贝努里大数定律贝努里大数定律）1|limpnnPAn或或0|limpnnPAn贝努里贝努里5:35:5212贝努里大数定律表明贝努里大数定律表明:事件事件A发生的频率发生的频率nA/n依概率收敛于事件依概率收敛于事件A发生的概率发生的概率.这正是用频这正是用频率作为概率的估计值的

8、理论依据率作为概率的估计值的理论依据. 在实际应在实际应用中用中,通常做多次试验通常做多次试验,获得某事件发生的频获得某事件发生的频率率,作为该事件发生的概率的估计值作为该事件发生的概率的估计值. 当重复当重复试验次数试验次数n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率发生的频率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有较大偏差的概率很小有较大偏差的概率很小. 贝努里大数定律提供了通过试验来确贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法定事件概率的方法.5:35:5213蒲丰投针问题中解法的蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律理论依据就是大数定律 当投针次数当投针次数n很大时，用针与线相交的

9、很大时，用针与线相交的频率频率m/n近似针与线相交的近似针与线相交的概率概率p，从而求得，从而求得的的近似值近似值.针长针长L线距线距aamLn2 5:35:5214下面给出的独立同分布下的大数定下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在律，不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2, 独立同独立同分布，具有有限的数学期分布，具有有限的数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对任给则对任给 0 ，定理定理4（辛钦大数定律辛钦大数定律）1|1|lim1 niinXnP辛钦辛钦 辛钦大数定律为寻找随机变量的期辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可

10、行的途径望值提供了一条实际可行的途径.5:35:5215niiXnX11记记,则定理则定理2和定理和定理4即是说即是说1|limXPn也即X依概率收敛于常数.这个结论这个结论将在第八章中用到将在第八章中用到,是用样本均值作为总体是用样本均值作为总体均值的点估计的理论依据均值的点估计的理论依据.5:35:5216 例如要估计某地区的平均亩产量，要例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如收割某些有代表性的地块，例如n 块块. 计计算其平均亩产量，则当算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计作为整个地区平均亩产量的一个估计.5:35:5

11、217 下面我们再举一例说明大数定律的下面我们再举一例说明大数定律的应用应用.定积分的概率计算法定积分的概率计算法求求的值的值10)(dxxgI5:35:5218 我们介绍我们介绍均值法，均值法，步骤是步骤是1) 产生在产生在(0,1)上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数rn,2) 计算计算g(rn)， n=1,2,Nn=1,2,N即即IrgNINnn1)(13) 用平均值近似积分值用平均值近似积分值求求的值的值10)(dxxgI5:35:5219因此，当因此，当N充分大时，充分大时， 原理是什么呢？原理是什么呢？设设XU(0, 1)由大数定律由大数定律1|)()(1|lim101dxxgrg

12、NPNnnNIrgNINnn1)(1其它, 010, 1)(xxfX101)()(1dxxgrgNNnn, 0 10)(dxxgdxxfxgXgE)()()(5:35:5220应如何近似计算？请思考应如何近似计算？请思考. 思考思考 若求若求的值的值badxxgI)(5:35:5221这一讲我们介绍了大数定律这一讲我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：机现象最根本的性质之一：它是随机现象统计规律的具体表现它是随机现象统计规律的具体表现.大数定律在理论和实际中都有广泛的应用大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.平均结果的稳定性

13、平均结果的稳定性5:35:5222休息片刻继续下一讲休息片刻继续下一讲5:35:5223 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响着许多随机因素的影响.第二节第二节 中心极限定理中心极限定理5:35:5224 空气阻力所产生的误差，空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些随机因素的总影响随机因素的总影响.如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等炮

14、弹或炮身结构所引起的误差等等.5:35:5225 观察表明，如果一个量是由大量相互独观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一则这种量一般都服从或近似服从正态分布般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见在自然界中极为常见.5:35:5226 现在我们就来研究独立随机变量之和所现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题特有的规律性问题.

15、当当n无限增大时，这个和的极限分布是无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？5:35:5227 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量它的标准化的随机变量nkknknkkknXDXEXZ111)()(的分布函数的极限的分布函数的极限.5:35:5228 可以证明，满足一定的条件，上述极可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布限分布是标准正态分布. 中心极限定理中心极限定理这就是下面要介这就是下

16、面要介绍的绍的5:35:5229 在概率论中，习惯于把和的分布在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做收敛于正态分布这一类定理都叫做中心中心极限定理极限定理.我们只讨论几种简单情形我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立同分布随机变量序列下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称的中心极限定理，也称列维一林德伯格列维一林德伯格（LevyLindberg）定理）定理.5:35:5230lim1xnnXPniin定理定理1（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理）x-2t -dte212 它表明，当它表明，当n充分大时，充分大时，n个具有期望和方差个具有期

17、望和方差的独立同分布的的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布之和近似服从正态分布.由由此可见此可见,正态分布在概率论中占有重要的地位正态分布在概率论中占有重要的地位. 设设X1,X2, 是独立同分布的随机是独立同分布的随机变量序列，且变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,，则，则2 5:35:5231 虽然在一般情况下，我们很难求出虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+ +Xn 的分布的确切形式，但当的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布很大时，可以求出近似分布.5:35:5232定理定理2( (棣莫佛拉普拉斯棣莫佛拉普拉斯( (De Moivre-Lapla

18、ce)1 (limxpnpnpYPnn 设随机变量设随机变量 服从参数服从参数n, p( (0p1) )的的二项分布，则对任意二项分布，则对任意x，有，有nYdtext2221 定理表明，当定理表明，当n很大，很大，0p1920)5:35:5235由于由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)4001600YP(Y1920)=1-P(Y 1920) =1- (0.8)40016001920( 1-=1-0.7881=0.21195:35:5236稍事休息稍事休息5:35:5237例例2 (供电问题供电问题)某车间有某车间有200台车床台车床

19、,在生产期在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车换工件等常需停车. 设开工率为设开工率为0.6, 并设每并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦千瓦.问应供应多少瓦电力就能以问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产率保证该车间不会因供电不足而影响生产?5:35:5238用用X表示在某时刻工作着的车床数，表示在某时刻工作着的车床数，解：解：对每台车床的观察作为一次试验，对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，每次试验观察该

20、台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为工作的概率为0.6，共进行，共进行200次试验次试验.依题意，依题意，XB(200,0.6),现在的问题是：现在的问题是：P(XN)0.999的最小的的最小的N.求满足求满足设需设需N台车床工作，台车床工作，（由于每台车床在开工时需电力（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，千瓦，N台工作所需电力即台工作所需电力即N千瓦千瓦.）5:35:5239由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理)1 (pnpnpX近似近似N(0,1),于是于是 P(XN)= P(0XN)这里这里 np=120, np(1-p)=48)48120()48120(N由由3准则，准

21、则，此项为此项为0。)48120N(5:35:5240查正态分布函数表得查正态分布函数表得由由 0.999，)48120(N从中解得从中解得N141.5,即所求即所求N=142. 也就是说也就是说, 应供应应供应142 千瓦电力就能以千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产足而影响生产.999. 0)01. 3(48120N 3.01,故故5:35:5241例例3 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个编号为个编号为0-9的同的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码抽一个，并记下号码

22、.问对序列问对序列Xk,能否应用大数定律？能否应用大数定律？ 诸诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律使用大数定律.解解: ,9 . 01 . 001kXk=1,2, E(Xk)=0.1, 否则次取到号码第001kXk(1) 设设，k=1,2, 5:35:5242 nkknXnP11| 1 . 01|lim 即对任意的即对任意的0,解解: ,9 . 01 . 001kXk=1,2, E(Xk)=0.1, 诸诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律使用大数定律.5:35:5243(2) 至少应取球多少次才能使至少应取球多少

23、次才能使“0”出现的频出现的频率在率在0.09-0.11之间的概率至少是之间的概率至少是0.95?解：设应取球解：设应取球n次，次，0出现频率为出现频率为nkkXn11, 1 . 0)1(1nkkXnEnXnDnkk09. 0)1(1由中心极限定理由中心极限定理近似近似N(0,1)nnXnkk3 . 01 . 01nXnnkk3 . 01 . 0115:35:524411. 0109. 01nkkXnP01. 0|1 . 01|1nkkXnP30|3 . 01 . 01|1nnXnPnkk1)30(2n nXnnkk3 . 01 . 011近似近似N(0,1)5:35:524595. 01)3

24、0(2n 欲使欲使975. 0)30(n 即即96. 130n查表得查表得从中解得从中解得3458n即至少应取球即至少应取球3458次次才能使才能使“0”出现的出现的频率在频率在0.09-0.11之间之间的概率至少是的概率至少是0.95.5:35:5246(3) 用中心极限定理计算在用中心极限定理计算在100次抽取中次抽取中,数码数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之间的概率之间的概率.解：在解：在100次抽取中次抽取中, 数码数码“0”出现次数为出现次数为1001kkX由中心极限定理由中心极限定理,100110011001)()(kkkkkkXDXEX近似近似N(0,1)3101001kkX即即近似近似N(0,1)E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.095:35:5247即在即在100次抽取中，数码次抽取中，数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之间的概率为之间的概率为0.6826.1001)137(kkXP=0.68263101001kkX近似近似N(0,1) 13101(1001kkXP) 1() 1 (1