第4章随机变量的数字特征1-数学期望ppt课件

1、关键词：关键词：数学期望数学期望方差方差协方差协方差相关系数相关系数第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 问题的提出：问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变在一些实际问题中，我们需要了解随机变量量 的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。 例：例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量；是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的度的 偏离程度；

2、偏离程度； 考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异差异 水平；水平；1 数学期望数学期望 例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下： 评定他们的成绩好坏。8 109 80 10 1010801089109100100100100 甲次数1080108910乙次数20651589108 209 65 10 1520651589108.95100100100100 1080108910100100100对于甲来说,、分别是 环、环、 环的概率；206515

3、8910100100100对于乙来说,、分别是 环、环、 环的概率；数学若用期望它们相应的概率表示，就得到了，也称为均值(加权均值)。 解：计算甲的平均成绩： 计算乙的平均成绩： 所以甲的成绩好于乙的成绩。定义：定义：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p绝对收设离散型随机变量 的分布律为：若级数则称级数的和为随机变量的，数学期记望为即 敛， , ( )( )( )( )Xf xx fxf x dxE Xxfx dxxf x dxXE Xx dx设连续型随机变量 的概率概率为若积分(即)则称积分 的值为随机变量 的，记为 数学期望 即 绝对收敛

4、 数学期望简称期望，又称均值。数学期望简称期望，又称均值。 例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。 解：1,2 ,kXk 1 0( ) 00 0 xexf xx1 0 (1,2) ( )0 0 xkexXkF xx的分布函数221 0( )1 (1( )0 0 xminexFxF xx 22 0( )0 0 xminexfxx222000 |22xxxxeedxe 是指数分布的密度函数12,Nmin XXN串联情况下，故 的分布函数为：问题：将问题：将2个电子装置并联联接组成整机，

5、个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？整机的平均寿命又该如何计算？根据根据N N的概率密度的概率密度fmin(x),fmin(x),可得到可得到E(N).E(N).202 ()xE Nxedx()2E N从而 例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器 时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。4812()012545459E X 解：解：X的分布律为：的分布律为：01282 82 11010 910 9kXp0124 58 451 45kXp 例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停

6、工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？( )5.216E Y 于是 （万元）解：设解：设X X表示一周表示一周5 5天内机器发生故障天数，天内机器发生故障天数， (5, 0.2)Xb则设设Y Y表示一周内所获利润，那么表示一周内所获利润，那么5(10)(0)(1 0.2)0.328,P YP XY其余同理可得，于是 的分布率为：205100.0570.2050.4100.328kYp 例5：( ),()XE X 。设 求() 0,1, 0!keXP Xkkk解： 的分布律为：X的数

7、学期望为：0()!kkeE Xkk11(1)!kkekee ()E X即 例6：( , )()XU a bE X。设 ，求1 ( )0 axbbaXf x解： 的概率密度为： 其他X的数学期望为：()( )E Xxf x dxbaxdxba2ab( , )a b即数学期望位于区间的中点几种重要分布的数学期望几种重要分布的数学期望 15423212 )(,)(),()(),()(),()(),(XEXXENXbaXEbaUXXEXnpXEpnbX则则的指数分布的指数分布服从参数为服从参数为、设、设则则、设、设则则、设、设则则、设、设则则、设、设 (),YXYg Xg定理：设 是随机变量 的函数：

8、是连续函数(), 1,2,kkP Xxpk11()( ) ()()kkkkkkg xpE YE g Xg xp若绝对收敛，则有( )Xf x是连续型随机变量，它的概率密度为( )E YYX定理的在于我们求时，不必算出 的分布律重或概率密度，而只要利用 的分布律或概率密度就要意义可以了。( ) ( )g x f x dx若 绝对收敛( )( ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx则有X是离散型随机变量，它的分布律为：上述定理也可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。 ,X Y若二维离散型随机变量的分布律为：,(, ),ZX YZg X Yg定理：设 是随机变量的函数：是连续

9、函数(,), ,1,2,ijijP Xx Yypi j11( ) (, )( ,)ijijijE ZE g X Yg x yp则有这里设上式右边的级数绝对收敛，( )( (, )( , ) ( , )E ZE g X Yg x y f x y dxdy 则有这里设上式右边的积分绝对收敛,X Y若二维连续型随机变量的概率密度为：()( , )E Xxf x y dxdy 特别地， 例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进 行测量，其值在区间1，2上均匀分布，求横截 面面积S的数学期望。2( )( )4E Sx f x dx1, 12( )0, xXf x解： 的密度函数为：其他2214

10、xdx71224XS 例8：,X Y设二维随机变量的联合分布律为01200.10.250.1510.150.20.15XY()sin2XYZ求随机变量的数学期望。()(00)(1 0)( )sinsin0.1 sin0.15222(0 1)(1 1)(02)sin0.25sin0.2sin0.15222(12)sin0.150.252XYE ZE解： 例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为： 3231 ,12( , ) 0 1,yx xxx yf x yE YEXY其他求数学期望。X=11yxyx( )( , )E Yyf x y dydx 解：321323 0123( )( )( ) 12

11、0 yYYydxyx yE Yyfy dyfydxyx y先求，这里 其他考虑：321132xxdydxx y 13131|2xxlnydxx313lnxdxx12313331|224lnxdxxx 11()( , )Ef x y dydxXYxy 431132xxdxdyx y142131|22xxdxxy621311()4dxxx331(1)455你算对了吗？哪个更容易呢?1000 , (, )500(X+Y), YYXZg X YYX若若解：设Z表示该种商品每周所得的利润，则 (, )1100,1020,1020( , )0,XYX Yxyf x y和 相互独立，因此的概率密度为其他20

12、2020101010( )( , ) ( , )10001 100500() 1 10014166.7(xxE Zg x y f x y dxdydxydydxxydy 元）10例 ：某商店经销某种商品，每周进货量X与需求量Y是相互独立的随机变量，且都在区间10,20上均匀分布。商店每售出一单位商品可获利1000元；若需求量超过进货量，商店可从它处调剂供应，这时每单位商品可获利500元；试计算此商店经销该种商品每周所获得利润的数学期望。数学期望的特性： ()()( )E aXbYcaE XbE Yc将上面三项合起来就是：这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况( )CE CC设 是常

13、数，则有1.()()XCE CXCE X设 是一个随机变量， 是常数，则有2.,()()( )X YE XYE XE Y设是两个随机变量，则有3.,()() ( )X YE XYE X E Y设是相互独立的随机变量，则有4.证明：1. ()1,()( )1CP XCE XE CCC 是常数，2. ()( )( )()E CXCxf x dxCxf x dxCE X下面仅对连续型随机变量给予证明： dydxyxfyxYXEyxfYX),()()(),(),()3(，则则密密度度为为的的概概率率二二维维随随机机变变量量：设设证证明明 dydxyxyfdydxyxxf),(),()()()()(YE

14、XEdyxyfdxxfxYX dydxyxfydxdyyxfx ),(),( dydxyxxyfXYEyxfYX),()(),(),()4(，则则密密度度为为的的概概率率二二维维随随机机变变量量：设设证证明明 dydxyfxxyfXYEYXYX)()()(独立独立与与)()()()(YEXEdyyyfdxxfxYX 例11：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以X表示停车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立)()E X。0 1,2,101 iiXii第 站没有人下车第 站有人下车121

15、0 XXXX易知：121020()()()()9 101 () 8.784()10E XE XE XE X次()(1)iiE XP X()Pi第 站有人下车2091 ()10 本题是将本题是将X X分解成数个随机变量之和，然后利用随机分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。 解：引入随机变量： 例12： (),1,2,3,4.iE Xi i解：12341234,(0, 2 ),( ).XXXXUiXXYXXE Yi设随机变量相互

16、独立，X求行列式的数学期望1423YX XX X14231423( )()()() ()() ()1 42 32E YE X XE X XE X E XE XE X 由条件，总结数学期望的计算方法总结数学期望的计算方法 数学期望的定义数学期望的定义 数学期望的性质数学期望的性质 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 例例11的方法：的方法：“X分解成数个随机变量之分解成数个随机变量之和，利用和，利用E(X)=E(X1 +X2+Xn)= E(X1)+ E(X2)+ +E(Xn)” 根据题型，以上方法可能独立使用，根据题型，以上方法可能独立使用，也可能结合使用。也可能结合使用。定义：定义：

17、111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p绝对收设离散型随机变量 的分布律为：若级数则称级数的和为随机变量的，数学期记望为即 敛， , ( )( )( )( )Xf xx fxf x dxE Xxfx dxxf x dxXE Xx dx设连续型随机变量 的概率概率为若积分(即)则称积分 的值为随机变量 的，记为 数学期望 即 绝对收敛 数学期望简称期望，又称均值。数学期望简称期望，又称均值。 (),YXYg Xg定理：设 是随机变量 的函数：是连续函数(), 1,2,kkP Xxpk11()( ) ()()kkkkkkg xpE YE g Xg x

18、p若绝对收敛，则有( )Xf x是连续型随机变量，它的概率密度为( )E YYX定理的在于我们求时，不必算出 的分布律重或概率密度，而只要利用 的分布律或概率密度就要意义可以了。( ) ( )g x f x dx若 绝对收敛( )( ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx则有X是离散型随机变量，它的分布律为：上述定理也可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。 ,X Y若二维离散型随机变量的分布律为：,(, ),ZX YZg X Yg定理：设 是随机变量的函数：是连续函数(,), ,1,2,ijijP Xx Yypi j11( ) (, )( ,)ijijijE ZE g X Yg x yp则有这里设上式右边的级数绝对收敛，( )( (, )( , ) ( , )E ZE g X Yg x y f x y dxdy 则有这里设上式右边的积分绝对收敛,X Y若二维连续型随机变量的概率密度为：()( , )E Xxf x y dxdy 特别地，几种重要分布的数学期望几种重要分布的数学期望 15423212 )(,)(),()(),()(),