微积分吴传生版高等数学课件

1、第七章向量代数现空间解析几何第七章向量代数现空间解析几何第一节第一节 空间直角坐标系空间直角坐标系xyz由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o ,o 坐标面面xoy面yozzox面1. 1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念第一节第一节 空间直角坐标系空间直角坐标系xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限练习：在空间直角坐标系中，指出练习：在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？下列各点在哪个卦限？(1,2,3),A( 2, 3, 4),

2、C ( 2,3,4),B (2,3, 4),D( 1,3, 7),M (6, 9, 5),N( 1, 6,4),P (1, 6,4),Pxyzo在直角坐标系下 11坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组),(zyx)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;rM坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo例1 求点 关于(1) 面;(2) 轴; ),(cb

3、ayozx(3)坐标原点; (4)点 对称点的坐标.),(000zyx(1)(3)(4),(000zyx(2),(000zyx),(000zyx)2 ,2 ,2(000zcybxa101010000,222xxyyzzyz设对称点的坐标为设对称点的坐标为111( ,)x y z1010100,0,0222xxyyzzx101010,222xxyyzzabc设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 2. 2. 空间

4、两点间的距离空间两点间的距离,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M例例 1 1 求证以求证以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 21

5、3MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.例例 2 2 设设P在在x轴轴上上，它它到到)3 ,2, 0(1P的的距距离离为为到到点点)1, 1 , 0(2 P的的距距离离的的两两倍倍，求求点点P的的坐坐标标.解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因为因为P在在x轴上，轴上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 维实空间维实空间niRxxxxRinn, 2 , 1,| ),(21.2222211n

6、nxyxyxyPQ两点两点 和和),(21nxxxP),(21nyyyQ的距离的距离练习题练习题1.在空间直角坐标系中，指出下列在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？各点在哪个卦限？, )3 , 2, 1( A, )4, 3 , 2( B, )4, 3, 2( C. )1 , 3, 2( D解答解答 A:; B:; C:; D:;E：；F F：( 2,3,1).E ( 1,2, 3).F 2( 3 , 2 ,1)_,_pxoyyozzoxxyz、点关于平面的对称点是，关于平面的对称点是关于平面的对称点是，关于轴的对称点是，关于轴的对称点是，关于轴的对称点是； 2、(-3,2,1),(3,

7、2,-1),(-3,-2,-1), (-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)； 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的222)3()2() 1(zyx07262zyx化简得即说明说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例引例: :显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :设轨迹上的动点为, ),(zyxM,BMAM 则轨迹方程. 3. 3. 曲面方程的概念曲面方程的概念定义1. 0),(zyxF如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S

8、 上的任意点的坐标都满足此方程 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题 : :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程 求曲面方程.(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). SzyxO故所求方程为例1. 求动点到定点),(zyxM),(0000zyxM方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为解解: 设轨迹上动点为RMM0即依题意距离为 R 的轨迹MOxyz0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzy

9、yxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx例例2. 研究方程042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M可见此方程表示一个球面说明说明: :如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面. . 表示怎样半径为0)(222GFzEyDxzyxA球心为 一个球面球面, 或点点 , 或虚轨迹虚轨迹.5)2() 1(222zyx空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1OC24. 4. 空间曲线方程的概念空间曲线方程的概念又如,方程组表示上半球面与圆