数量积坐标表示

1、平面向量的数量积平面向量的数量积的坐标表示的坐标表示一、复习练习一、复习练习: :）（则，夹角为与若。bababa60, 1| , 2|1.1.）（夹角为与则，若bababa,2| , 1|22.2.3.3.）（垂直，则与若baba4.4.5.5.|92|）（，则若；）（，则若aaaaaa).();();(,ijjijjiiyxji则相同的两个单位向量轴方向轴、分别为与，若cos|baba的夹角）与是（其中ba|cosbaba aaaaaa|2；0baba1 。450 4 3 1 1 0 二.创设教学情境 ( 1, 3),(1,1),.abab 已知与 的夹角为求cos我们学过两向量的和与差可

2、以转化我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算为它们相应的坐标来运算, ,那么怎样那么怎样用用cos|a ba b 根据以前的知识，.aba b 和 的坐标表示呢？三、新课学习三、新课学习1.1.平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示如图，如图， 是是x轴上的单位向量，轴上的单位向量， 是是y轴上的单位向量，轴上的单位向量，ijcosa bab 由于，所以x ijy o B(x2,y2) abA(x1,y1) ii jjijji . . . 1 1 0 下面研究怎样用下面研究怎样用. baba的坐标表示和设两个非零向量设两个非零向量 =(x1,y1), =(x2,y2),

3、则则ab1122,ax iy jbx iy j，112222121221121212.() ()a bx iy jx iy jx x ix y i jx y i jy y jx xy y 故故两个向量的数量积等于它们对应坐两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和标的乘积的和.即即ijx o B(x2,y2) A(x1,y1) aby .2121yyxxba 根据平面向量数量积的坐标表示，向根据平面向量数量积的坐标表示，向量的量的数量积的运算数量积的运算可可转化为转化为向量的向量的坐标运坐标运算算.；或aaaaaa2)1(1)向量的模2.向量的模和两点间的距离公式2（）两点间的距离公式2222

4、2( , ),ax yaxyaxy设则或.1122121222,)(,) .,A x yABxxyyB xy （设则（、0baba（1）垂直）垂直11221212,),(,),0.axybxyabx xy y设设（则则3.两向量垂直和平行的坐标表示0/),(),12212211yxyxbayxbyxa则（设（2）平行）平行四、基本技能的形成与巩固四、基本技能的形成与巩固1.(3,2),(1, 1),abab例 已知求向量 与 的夹角的余弦值.22223 1226cos.26321ab 解：设向量 与 的夹角为 ，则 （-1） （-1）2626ab即向量 与 夹角的余弦值为.例222222222

5、 , OABCOBCAOAOBCABC 证明:由得:222222, OABCOABCOBCAOCABOABC 已知 为所在平面内一点且满足：证明 为垂心。 +-=+- OA OBOA OBCA BCCA BC 即：（） （）（） （） +-OA OBBABA CA BC 所以：（）（） +-+=0 OA OB CA BCBA 所以：（） 0, OC BAOCBA 即：所以： OBCAOABC 同理可证：，OABC所以 为垂心得证。应用向量知识证明平面几何有关定理应用向量知识证明平面几何有关定理例例3、证明直径所对的圆周角是直角、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知 O，AB为直径，

6、C为 O上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证ACB=90，只须证向量 ，即 。CBAC 0CBAC2222baba022rr即 ，ACB=900CBAC思考：能否用向量坐标形式证明？思考：能否用向量坐标形式证明？ 解：设AO=a， OC=bACab 则， 由此可得： AC CB=(a+b)(a-b)? CBab CB应用向量知识证明平面几何有关定理应用向量知识证明平面几何有关定理例例4、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB ,解：解：设 ，则 baDB

7、baACaDAbBC;,分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。bADaAB ,)( 2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB应用向量知识证明三线共点、三点共线应用向量知识证明三线共点、三点共线例例5、已知：如图、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点FABCDEABCDEH分析：分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证CHAB，即高CF与CH重合，即CF过点H由此可设aBC bCApCH利用ADBC，B

8、ECA，对应向量垂直。00)(apabapbBCHA00)(bpabbpaCABH0)(0bapbpapBACHBACH0BACH 只须证明0p BA 如何证？应用向量知识证明三线共点、三点共线应用向量知识证明三线共点、三点共线例例6、如图已知、如图已知ABC两边两边AB、AC的中点分别为的中点分别为M、N，在在BN延长线上取点延长线上取点P，使，使NP=BN，在，在CM延长线上取点延长线上取点Q，使使MQ=CM。求证：求证：P、A、Q三点共线三点共线ABCNMQP解解：设bACaAB ,则aAMbAN21,21由此可得abNPBN21baMQCM21baabPANPANPA)(,baabAQ

9、MQAMAQ)(,AQPA 即 故有 ，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线AQPA /应用向量知识证明等式、求值应用向量知识证明等式、求值例例7、如图、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点，将正方形折起，的中点，将正方形折起， 使点使点A与与M重合，设折痕为重合，设折痕为EF，若正方形面积为若正方形面积为64， 求求AEM的面积的面积ABCDMNEF分析分析：如图建立坐标系，设E(e,0)，M(8,4),N是AM的中点，故N(4,2) (8,4)AM AEANEN=(4,2)-(e,0)=(4-e,2)(8,4) (4,2)0AMENe 解得：e=5故AEM的面积为10应用向量知

10、识证明等式、求值应用向量知识证明等式、求值例例8、如图、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点，将正方形折起，的中点，将正方形折起， 使点使点A与与M重合，设折痕为重合，设折痕为EF，若正方形面积为若正方形面积为64， 求求AEM的面积的面积ABCDMNEF解：解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由 正方形面积为64，可得边长为8 由题意可得M(8,4)，N是AM的 中点，故N(4,2) )4 , 8(AMAEANEN=(4,2)-(e,0)=(4-e,2)0)2 ,4()4 , 8(eENAM解得：e=5 即AE=51102AEMSAE BM应用向量知识证明等式、求值应用向量知识证明等

11、式、求值练习：练习：PQ过过OAB的重心的重心G，且，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：求证：311nm分析分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, 联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。OABGPQ由PO=mOA, QO=nOB可知：OBnQOOAmPO, O分 的比为 ，O分 的比为PAQB由此可设 由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而由向量 ，得到 m n 的关系。),()0 ,(221yxQxPGQPG/-m -n? ?应用向量知识证明等式、求值应用向量知识证明等式、求值练习：练习：PQ过过OAB的重心的重心G，且，且OP=mOA,OQ=n

12、OB 求证：求证：311nmOABGPQ证：证：如图建立坐标系， 设),(),0 ,(),()0 ,(221cbBaAyxQxP所以重心G的坐标为)3,3(cba 由PO=mOA, QO=nOB可知：OBnQOOAmPO,即O分 的比为-m，O分 的比为-n PAQB求得),()0 ,(ncnbQmaP由向量 可得：GQPG/)3,3(cmabaPG)3,3(cncbanbGQ0)3(3)3)(3(banbccncmaba化简得：311nm2222|cos31 124cos.23114mnm nm n 设向量 与 夹角为 ，因为，从而（-7）（）（-7）124545 .ll所以，即直线 和 的

13、夹角为练习1：2,.abab 已知（3，2）， （6，9）， 求证131.aba bab，已知（2，2-4）， （1， ）， 求： （1）； （2）与 的夹角 的大小本本 堂堂 小小 结结理解和应用向量的理解和应用向量的坐标表示坐标表示公式解决问题：公式解决问题：1.数量积的坐标表示数量积的坐标表示2121yyxxba2.向量坐标表示的求模公式向量坐标表示的求模公式22222,axyaxy或3.平面内两点间的距离公式平面内两点间的距离公式221221)yyxxAB（4.两向量夹角的余弦两向量夹角的余弦222221212121cosyxyxyyxx5.向量垂直的判定向量垂直的判定02121yyxxba 练习练习2：以原点和：以原点和A（5，2）为两）为两个顶点作等腰直角个顶点作等腰直角OAB， B=90 ，求点求点B的坐标的坐标.yB