第五章测量误差基本知识

1、n误差误差-测量中被观测的对象，客观上存在一个测量中被观测的对象，客观上存在一个真真实值实值，称为真值；每次测量所得的数据为，称为真值；每次测量所得的数据为观测值观测值。两者的差值为两者的差值为真误差真误差。测量值。真实值；ilXiiXl第第五章五章 测量误差基本知识测量误差基本知识n产生产生测量测量误差的三大因素：误差的三大因素：仪器原因仪器原因-仪器精度的局限仪器精度的局限, ,轴系残余误差轴系残余误差, ,等。等。人的原因人的原因-判断力和分辨率的限制判断力和分辨率的限制, ,经验经验, ,等。等。外界影响外界影响-气象因素气象因素( (温度变化温度变化, ,风风, ,大气折光大气折光)

2、 )。 结论：结论：观测误差不可避免观测误差不可避免(粗差除外)。n观测条件观测条件-上述三大因素总称为上述三大因素总称为观测条件观测条件；n等精度观测等精度观测-在上述条件基本在上述条件基本相同相同的情况下进行的情况下进行的各次观测，称为的各次观测，称为等精度观测等精度观测。n系统误差系统误差-在相同的观测条件下，误差在相同的观测条件下，误差 出现在符号和数值相同，或按出现在符号和数值相同，或按一定的规律一定的规律变化。变化。例：例： 误差误差 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 D Dk k 钢尺温度误差钢尺温度误差 D Dt t 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差i i 经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴

3、误差C C 处理方法处理方法计算改正计算改正计算改正计算改正 操作时抵消操作时抵消( (前后视等距前后视等距) )操作时抵消操作时抵消( (盘左盘右取平均盘左盘右取平均) ) n偶然误差偶然误差-在相同的观测条件下，误在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值差出现的符号和数值是是随机的随机的，从表面，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律统计规律”。n粗差粗差-特别大的误差特别大的误差(错误错误)。例例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差导致观测值产生误差 。n偶然误差的特性偶然误差的特

4、性 例子：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i= 180 (i +i+ i ) 分析三角形内角和的误差i的规律。 在某一测区，在相同的观测条件下共观测了在某一测区，在相同的观测条件下共观测了358个三角个三角形的全部内角，由于每个三角形内角之和的真值（形的全部内角，由于每个三角形内角之和的真值（180）为已知，因此，可以上式计算每个三角形内角之和的真误为已知，因此，可以上式计算每个三角形内角之和的真误差差i，将它们分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到，将它们分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到大排列次序。以误差区间大排列次序。以误差区间d=3进行误差个

5、数进行误差个数k的统计，的统计，并计算其相对个数并计算其相对个数kn（n358），）， kn称为误差出现称为误差出现的频率。的频率。 误差区间误差区间 dd 负误差负误差正误差正误差误差绝对值误差绝对值K KK/nK/nK KK/nK/nK KK/nK/n0 03 345450.1260.12646460.1280.12891910.2540.2543 36 640400.1120.11241410.1150.11581810.2260.2266 69 933330.0920.09233330.0920.09266660.1840.1849 9121223230.0640.06421210.0

6、590.05944440.1230.1231212151517170.0470.04716160.0450.04533330.0920.0921515181813130.0360.03613130.0360.03626260.0730.073181821216 60.0170.0175 50.0140.01411110.0310.031212124244 40.0110.0112 20.0060.0066 60.0170.0172424以上以上0 00 00 00 00 00 01811810 05055051771770 04954953583581.0001.000有限性有限性：在有限次观

7、测：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。中，偶然误差应小于限值。渐降性渐降性：误差小的出现：误差小的出现的概率大的概率大对称性对称性：绝对值相等的：绝对值相等的正负误差概率相等正负误差概率相等抵偿性抵偿性：当观测次数无：当观测次数无限增大时，偶然误差的平限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。均数趋近于零。d = /dkn0+6+12+18+24-6-12-18-24( )yx=fn精度精度-对一个量的多次观测中，其误差分布对一个量的多次观测中，其误差分布的的密集或离散密集或离散程度。程度。 1、中误差中误差nnnm2lim2、平均误差平均误差nnnlim第一组观测 第二组观测 次序 观测值 l

8、2 观测值 l 2 1 1800003 -3 9 1800000 0 0 2 1800002 -2 4 1595959 +1 1 3 1795958 +2 4 1800007 -7 49 4 1795956 +4 16 1800002 -2 4 5 1800001 -1 1 1800001 -1 1 6 1800000 0 0 1795959 +1 1 7 1800004 -4 16 1795952 +8 64 8 1795957 +3 9 1800000 0 0 9 1795958 +2 4 1795957 +3 9 10 1800003 -3 9 1800001 -1 1 | 24 72

9、24 130 中误差 7.221nm 6.322nm 4.221 n3、容许误差容许误差 容许误差又称极限误差。容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证根据误差理论及实践证明，在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大明，在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差的偶然误差，其出现的可能性约为于两倍中误差的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差的偶然误差，其出现的可能；大于三倍中误差的偶然误差，其出现的可能性仅有性仅有3，且认为是不大可能出现的。因此一般，且认为是不大可能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误差。取三倍中误差作为偶然误差的极限误差。 容容 = 3m 有

10、时对精度要求较严，也可采用有时对精度要求较严，也可采用D容容 = 2m作作为容许误差。为容许误差。 在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应观测值应舍去重测。则相应观测值应舍去重测。4、相对误差相对误差 绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某在某些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度，些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度，例如测量某两段距离，一段长例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长另一段长100m，它们的测量中误差均为它们的测量中误差均为0.2m，为此用观测值的中误为此用观测

11、值的中误差与观测值之比，并将其分子化为差与观测值之比，并将其分子化为1，即用，即用1/K表示，称表示，称为相对误差。为相对误差。 本例本例 前者为前者为 0.2/200 = 1/1 000， 后者为后者为 0.2/100 = 1/5 00， 明显明显前前者的精度高于后者。者的精度高于后者。 n算术平均值xnlnlniil1nnlXlXlX2211XnlnnnnlXnlim0lim根据偶然误差的特性n若被观测对象的真值不知，则取平均数若被观测对象的真值不知，则取平均数 为为最或然值最或然值。iiilxllvl改正值的特性改正值的特性： 0ivv定义改正值定义改正值：观测值中误差：观测值中误差：1

12、112nVVnvmnii算术平均值中误差：算术平均值中误差：) 1(nnVVnmM 将上列左右两式相减，得将上列左右两式相减，得nnlXlXlX2211nnlxvlxvlxv2211)()()(2211xXvxXvxXvnn分别取平方分别取平方222)()(2xXxXvviii 取和2)()(2xXnxXvvv2)(xXnvv )0(v2213121222221222)(2)()()()(nnnnxXnxXxXnxXnvnnn1)(22nvvnmnvvxXnvvn 一、已知真值X，则真误差n 一、真值不知，则iilXnmilxivnlx1nvvm二、中误差二、中误差mmnmMmmmnll413

13、. 1516. 316. 3232. 61540;452.123次序 观测值 l 改正数 v vv 1 123.457 -5 25 2 123.450 +2 4 3 123.453 -1 1 4 123.449 +3 9 5 123.451 +1 1 平均值 123.452 0 40 一、一、误差传播定律误差传播定律 测量工作中某些未知量需要由若干独立观测值测量工作中某些未知量需要由若干独立观测值按一定的函数关系间接计算出来的。按一定的函数关系间接计算出来的。 阐述观测值的中误差与观测值函数的中误差之阐述观测值的中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律称为间关系的定律称为误差传播定律误差传播定

14、律。 测量中，有些未知量不能直接观测测定， 需由直接观测量计算求出。 水准仪一站观测的高差h=a-b 三角高程测量初算高差h=Ssin 直接观测量的误差导致它们的函数也存在误差， 函数的误差由直接观测量的误差传播过来。 二二.一般函数的中误差一般函数的中误差令 的系数为 ， (c)式为：ixiixFf由于 和 是一个很小的量，可代替代替上式中的 和 ： ixidxdznnxxFxxFxxF2211(c)代入(b)得对(a)全微分：nndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)设有函数：),(21nxxxFZ为独立独立观测值ix设 有真误差 ，函数 也产生真误差ixixZ(a)()(22)(11

15、)()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1n且ij）jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(e)对K个(e)式取总和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,222222

16、212122由偶然误差的抵偿性知：0limnxxjin(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：则：前面各项KxfKxfKxfKnn22222221212即即22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)考虑考虑 ，代入上式，得中误差关系式：，代入上式，得中误差关系式：iixFf2222222121nnZmxFmxFmxFm(5-10)上式为上式为一般函数的中误差公式一般函数的中误差公式，也称为，也称为误差传播定律误差传播定律。 通过以上误差传播定律的推导，我们通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出可以总结出求观测值函数中

17、误差的步骤求观测值函数中误差的步骤： 1.列出函数式；列出函数式； 2.对函数式求全微分；对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。套用误差传播定律，写出中误差式。 1.倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为x的系数) 全微分 得中误差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22例：例：量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm, 计算该两点实地距离S及其中误差ms：l1000:1m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS解：解：列函数式 求全微分 中误差式三三 .几种常用函数的中误差几种常用函数

18、的中误差 2.线性函数的中误差线性函数的中误差 设有函数式 全微分 中误差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例：例：设有某线性函数设有某线性函数 其中其中 、 、 分别为独立观测值，它们的中误差分分别为独立观测值，它们的中误差分 别为别为 求Z的中误差 。 314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6 . 1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：解：对上式全微分：由中误差式得： 函数式 全微分 中误差式 nn

19、nnnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm3.算术平均值的中误差式算术平均值的中误差式 由于等精度观测时， ，代入上式： 得mmmmn21nmmnnmX221n 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了缩小了 倍。 对某观测量进行多次观测对某观测量进行多次观测(多余观测多余观测)取平均，取平均， 是提高观测成果精度最有效的方法。是提高观测成果精度最有效的方法。4.和或差函数的中误差和或差函数的中误差 函数式： 全微分： 中误差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm当等精度观测时： 上式可写成：mmmmmn321nmmZ例：例：测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中 误差 。 解：解： ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh观测值函数中误差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式函数式 函数的中误差函数的中误差一般函数一般函数倍数函数倍数函数 和差函数和差函数 线性函数线性函数 算术平均值算术平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZ