高中数学专题训练(八)——立体几何中求角与距离

1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学专题训练立体几何中求角与距离1. 四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD. （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°2 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.（1）求证：AB1平面CED；（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；（3）求二面角B1ACB的平面角.3. 已知al是120°的二面角，A，B两点在棱上，A

2、B=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，DAB=90°，C在内，ABC是等腰直角三角形ACB=（I） 求三棱锥DABC的体积；（2）求二面角DACB的大小； （3）求异面直线AB、CD所成的角.4. 已知三棱锥PABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DEAP于E （1）求证：AP平面BDE； （2）求证：平面BDE平面BDF；（3）若AEEP=12，求截面BEF分三棱锥PABC所成两部分的体积比5. 如图，几何体ABCDE中，ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.（1）求证：F

3、D平面ABC；（2）求证：AFBD； (3) 求二面角BFCG的正切值.7. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1PPA=DQQB=512.(1) 求证PQ平面CDD1C1；(2) 求证PQAD； (3) 求线段PQ的长. ABCDEA1B1C1D1xyz图48. 如图4，在长方体中，AD=1，AB=2，点E在棱AB上移动。 （）证明：； （）当E为AB的中点时，求点E到面的距离； （）AE等于何值时，二面角的大小为。9. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，D、E分别为AC1，BB1的中点。（1）求证：DE平面A1B1C1

4、；（2）求二面角A1DEB1的大小。10如图：已知直三棱柱ABCA1B1C1，ABAC，F为棱BB1上一点，BFFB121，BFBC2a。（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EFFC1；（II）试问：若AB2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，ADBC，ABC90°，且，又PA平面ABCD，AD3AB3PA3a。 （I）求二面角PCDA的正切值； （II）求点A到平面PBC的距离。 12.在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=CC1=2，ACB=90

5、6;，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1EG.（）确定点G的位置；（）求直线AC1与平面EFG所成角的大小. 13.已知四棱锥PABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点. （1）证明平面PED平面PAB； （2）求二面角PABF的平面角的余弦值14.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.·B1PACDA1C1D1BOH·()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；()设O点在平面D1AP上的射影是H

6、，求证：D1HAP；()求点P到平面ABD1的距离.15.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E是PC的中点，作交PB于点F。 (I)证明 平面； (II)证明平面EFD； (III)求二面角的大小。 16.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F；（II）当D1E平面AB1F时，求二面角C1EFA的大小（结果用反三角函数值表示）.17.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，ABCD，ADDC，CD=2，DD1=AB=1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点。

7、点P到直线AD1的距离为求证：AC平面BPQ求二面角B-PQ-D的大小18.已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=8，E、F分别为AD和CC1的中点，O1为下底面正方形的中心。 （）证明：AF平面FD1B1；（）求异面直线EB与O1F所成角的余弦值； 19. 图是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求MN和PQ所成角的大小；（2）求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角MNQP的大小。 20. 如图，已知四棱锥PABCD，PBAD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，

8、底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。答案：1. （1）正方形ABCD是四棱锥PABCD的底面, 其面积为从而只要算出四棱锥的高就行了.面ABCD,BA是PA在面ABCD上的射影.又DAAB， PADA， PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角， PAB=60°. 而PB是四棱锥PABCD的高，PB=AB·tg60°=a, .（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形. 作AEDP，垂足为E，连结EC，则ADECDE

9、， 是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角. 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EOAC， 在 故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.2. （1）D是AB中点，ABC为等腰直角三角形，ABC=900，CDAB又AA1平面ABC，CDAA1.CD平面A1B1BA CDAB1，又CEAB1， AB1平面CDE；（2）由CD平面A1B1BA CDDEAB1平面CDE DEAB1DE是异面直线AB1与CD的公垂线段CE=，AC=1 , CD=；（3）连结B1C，易证B1CAC，又BCAC , B1CB是二面角B1ACB的平面角.在RtCEA中，CE=，BC=AC=1,B1AC

10、=600， , , .3. (1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E. 为二面角al的平面角.是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO=（2）过O在内作OMAC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则ACDM.DMO 为二面角DACB的平面角. 又在DOA中，OA=2cos60°=1.且 （3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，DCF为异面直线AB、CD所成的角. 为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即ABC斜边上的高,异面直线AB,CD所成的角为arctg4. 设容器的高为x则容器底面正三角形的边长为, . 当且仅当 .故当容器的高为时，容器的

11、容积最大，其最大容积为5. (1）PC底面ABC，BD平面ABC，PCBD由AB=BC，D为AC的中点，得BDAC又PCAC=C，BD平面PAC 又PA平面、PAC，BDPA由已知DEPA，DEBD=D，AP平面BDE （2）由BD平面PAC，DE平面PAC，得BDDE由D、F分别为AC、PC的中点，得DF/AP由已知，DEAP，DEDF. BDDF=D，DE平面BDF又DE平面BDE，平面BDE平面BDF （3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h1和h2则 h1h2=EPAP=23, 故截面BEF分三棱锥PABC所成两部分体积的比为12或216. F、G分别为EB、AB的中点，FG=EA

12、，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC， 四边形FGCD为平行四边形，FDGC，又GC面ABC， FD面ABC.（2）AB=EA，且F为EB中点，AFEB 又FGEA，EA面ABCFG面ABC G为等边ABC，AB边的中点，AGGC.AFGC又FDGC，AFFD 由、知AF面EBD，又BD面EBD，AFBD.（3）由（1）、（2）知FGGB，GCGB，GB面GCF.过G作GHFC，垂足为H，连HB，HBFC.GHB为二面角B-FC-G的平面角.易求.7. （1）在平面AD1内，作PP1AD与DD1交于点P1，在平面AC内，作QQ1BC交CD于点Q1，连结P1Q1. , PP1QQ1 .由

13、四边形PQQ1P1为平行四边形, 知PQP1Q1 而P1Q1平面CDD1C1， 所以PQ平面CDD1C1（2）AD平面D1DCC1， ADP1Q1，又PQP1Q1， ADPQ.（3）由（1）知P1Q1 PQ,，而棱长CD=1. DQ1=. 同理可求得 P1D=.在RtP1DQ1中，应用勾股定理, 立得P1Q1=.8. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，。 （）证明：由，有，于是。 （）E是AB的中点，得。，。 设平面的法向量为，单位法向量为，由，解得。 于是，有。设点E到平面的距离为，则。 所以点E到平面的距离为。 （）平面的法向量，设平面的法向量。又，。 由，得，解得，于是。 设所求

14、的二面角为，则。 有，得。解得，所以，当AE=时，二面角的大小为。9. （1）取A1C1中点F，连结B1F，DF，D1E分别为AC1和BB1的中点，DFAA1，DF=（1/2）AA1，B1EAA1，B1E=（1/2）AA1，DFB1E，DF=B1E，DEB1F为平行四边形，DEB1F，又B1F在平面A1B1C1内，DE不在平面A1B1C1，DE平面A1B1C1（2）连结A1D，A1E，在正棱柱ABCA1B1C1中，因为平面A1B1C1平面ACC1A1，A1C1是平面A1B1C1与平面ACC1A1的交线，又因为B1F在平面A1B1C1内，且B1FA1C1，所以B1F平面ACC1A1，又DEB1F

15、，所以DE平面ACC1A1所以FDA1为二面角A1DEB1的平面角。并且FDA1=（1/2）A1DC1，设正三棱柱的棱长为1，因为AA1C1=900，D是AC1的中点，所以即为所求的二面角的度数。10（I）连结DF，DC 三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC，平面BB1C1C平面ABCABAC，D为BC的中点，ADBC，AD平面BB1C1C 3DF为EF在平面BB1C1C上的射影，在DFC1中，DF2BF2BD25a2，DC210a2，B1F25a2，DF2，DFFC1FC1EF （II）AD平面BB1C1C，DFE是EF与平面BB1C1C所成的角 在EDF中，若EFD60&#

16、176;，则EDDFtg60°·，E在DA的延长线上，而不在线段AD上 故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角。 11. 解：（1）在底面ABCD内，过A作AECD，垂足为E，连结PE PA平面ABCD，由三垂线定理知：PECD PEA是二面角PCDA的平面角 在中， 在中，二面角PCDA的正切值为 （II）在平面APB中，过A作AHPB，垂足为HPA平面ABCD，PABC 又ABBC，BC平面PAB平面PBC平面PAB AH平面PBC 故AH的长即为点A到平面PBC的距离 在等腰直角三角形PAB中，所以点A到平面PBC的距离为12.解法一：（）

17、以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），设G（0，2，h），则1×0+1×（2）+2h=0. h=1，即G是AA1的中点. （）设是平面EFG的法向量，则所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）， 即AC1与平面EFG所成角为 解法二：（）取AC的中点D，连结DE、DG，则ED/BC BCAC，EDAC.又CC1平面ABC，而ED平面ABC，CC1ED.CC1AC=C，ED平面A1ACC1. 又AC1EG，AC1DG.连结A1C，AC1A1C，A1C/DG.D是

18、AC的中点，G是AA1的中点. （）取CC1的中点M，连结GM、FM，则EF/GM， E、F、M、G共面.作C1HFM，交FM的延长线于H，AC平面BB1C1C，C1H平面BB1C1C，ACG1H，又AC/GM，GMC1H. GMFM=M，C1H平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以C1NH为直线AC1与平面EFG所成角.因为 13 （1）证明：连接BD.为等边三角形.是AB中点，面ABCD，AB面ABCD，面PED，PD面PED，面PED.面PAB，面PAB. （2）解：平面PED，PE面PED，连接EF，PED，为二面角PABF的平面角. 设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.在即二

19、面角PABF的平面角的余弦值为14、解（1） （2）略（3） 15.方法一： (I)证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。 底面ABCD是正方形，点O是AC的中点 在中，EO是中位线，。 而平面EDB且平面EDB， 所以，平面EDB。 (II)证明：底在ABCD且底面ABCD， 同样由底面ABCD，得 底面ABCD是正方形，有平面PDC 而平面PDC， 6分 由和推得平面PBC 而平面PBC， 又且，所以平面EFD (III)解：由(II)知，故是二面角的平面角 由(II)知， 设正方形ABCD的边长为，则 在中， 在中， 所以，二面角 的大小为 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐

20、标原点。设 (I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。 依题意得 底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 故点G的坐标为且 。这表明。 而平面EDB且平面EDB，平面EDB。 (II)证明：依题意得。又故 由已知，且所以平面EFD。 (III)解：设点F的坐标为则 从而所以 由条件知，即 解得 。 点F的坐标为且 即，故是二面角的平面角。 且 16本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分.解法一：（I）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影 AB1A1B，D1EAB1，于是D1E平面AB1FD1EAF.连结DE，则DE是D1E

21、在底面ABCD内的射影.D1EAFDEAF.ABCD是正方形，E是BC的中点.当且仅当F是CD的中点时，DEAF，即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.6分（II）当D1E平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点.又已知点E是BC的中点，连结EF，则EFBD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则CHEF，连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.C1HEF，即C1HC是二面角C1EFC的平面角.在RtC1CH中，C1C=1，CH=AC=，tanC1HC=.C1HC=arctan，从而AHC1=.故二面角C1EFA的大小为.解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（1

22、）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）（1）当D1E平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EFBD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则AHEF. 连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.C1HEF，即AHC1是二面角C1EFA的平面角.17、连接CD1 P、Q分别是CC1、C1D1的 中点。CD1PQ 故CD1平面BPQ又D1Q=AB=1，D1QAB，得平行四边形ABQD1，故AD1平面BPQ 平面ACD1平面BPQ AC平面BPQ （4分）设DD1

23、中点为E，连EF，则PECDCDAD，CDDD1 CD平面ADD1PE平面ADD1过E作EFAD1于F，连PF。则PFAD1，PF为点P到直线AD1的距离PF=，PE=2 EF= 又D1E=，D1D=1，AD=1 取CD中点G，连BG，由ABDG，AB=DG得GBAD。ADDC，ADDD1AD平面DCC1D1，则BG平面DCC1D1 过G作GHPQ于H，连BH，则BHPQ，故BHG是二面角B-PQ-D的平面角。 由GHQQC1P得GH=，又BG=1，得tanBHG=二面角B-PQ-D大小为arctan 18、解 本题考查空间的线面关系，向量法及其运算。（）证法一：如图建立空间直角坐标系。则D1（0，0，0）、O1（2，2，0）B1（4，4，0）、E（2，0，8）、A（4，0，8）、B（4，4，8）、F（0，4，4）。 =（-4，4，-4），=（0，4，4），=（-4，0，4） =0+