磁偏转问题圆心确定四法

1、(五)磁偏转问题圆心确定四法 带电粒子带电粒子( (不计重力不计重力) )垂直射入匀强磁场，粒子的运动轨迹垂直射入匀强磁场，粒子的运动轨迹是圆周或圆弧这类问题是常见的典型的力学、磁场知识结合是圆周或圆弧这类问题是常见的典型的力学、磁场知识结合的综合题，在高考中多次考查，是考试的难点的综合题，在高考中多次考查，是考试的难点 求解这类问题的关键是：定圆心画出轨迹求解这类问题的关键是：定圆心画出轨迹, ,求出半径求出半径, ,确定确定圆心角等其中解决带电粒子在有界磁场中的运动、确定圆心圆心角等其中解决带电粒子在有界磁场中的运动、确定圆心是解题的难点是解题的难点 下面介绍磁偏转问题圆心确定常用的四种方

2、法：下面介绍磁偏转问题圆心确定常用的四种方法： 一、半径法一、半径法 适用情况：如果已知带电粒子的适用情况：如果已知带电粒子的出射速度和入射速度方向，分别作出出射速度和入射速度方向，分别作出过入射点和出射点速度方向的垂线，过入射点和出射点速度方向的垂线，两垂线的交点便是圆心如图两垂线的交点便是圆心如图1 1所示所示【典例【典例1 1】电视机的显像管中，电】电视机的显像管中，电子束的偏转是使用磁偏转技术实子束的偏转是使用磁偏转技术实现的电子束经过电压为现的电子束经过电压为U U的加速的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示，磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为如图所

3、示，磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为O O，半径为，半径为r r当不加磁场时，电子束将通过当不加磁场时，电子束将通过O O点而达到屏幕的中心点而达到屏幕的中心M M点为点为了让电子束射到屏幕边缘了让电子束射到屏幕边缘P P，需要加磁场，使电子束偏转一已知，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度角度，此时磁场的磁感应强度为多大？，此时磁场的磁感应强度为多大？( (已知电子质量为已知电子质量为m m，电荷量为电荷量为e)e)【深度剖析】【深度剖析】分别作入射点和出射点速度方向的垂线，其交点分别作入射点和出射点速度方向的垂线，其交点为电子做匀速圆周运动的圆心为电子做匀速圆周运动的圆心C C，以，以v v

4、表示电子进入磁场时的速表示电子进入磁场时的速度，则度，则又有又有 由以上各式解得：由以上各式解得：221eUmv2mvevBRrtan2R12mUBtanre2 二、角平分线法二、角平分线法 适用情况：如果已知带电粒子的出适用情况：如果已知带电粒子的出射速度和入射速度方向，则入射速度方射速度和入射速度方向，则入射速度方向的延长线和出射速度方向的反向延长向的延长线和出射速度方向的反向延长线夹角的角平分线与入射速度垂线的交线夹角的角平分线与入射速度垂线的交点就是圆心点就是圆心. .如图如图2 2所示所示. .【典例【典例2 2】一质量为】一质量为m m、带电量为、带电量为q q的粒子，以速度的粒子

5、，以速度v v0 0从从O O点沿点沿y y轴轴正方向射入磁感应强度为正方向射入磁感应强度为B B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从直于纸面，粒子飞出磁场区域后，从b b处穿过处穿过x x轴，速度方向与轴，速度方向与x x轴正方向夹角为轴正方向夹角为3030，不计重力求：，不计重力求：(1)(1)圆形磁场区域的最小面积；圆形磁场区域的最小面积；(2)(2)粒子从粒子从O O点进入磁场区域到达点进入磁场区域到达b b点所经历的时间及点所经历的时间及b b点坐标点坐标 【深度剖析】【深度剖析】(1)(1)由于粒子沿由于粒子沿y y轴正方

6、轴正方向射入，所以圆心必在向射入，所以圆心必在x x轴上，反向轴上，反向延长延长b b处的速度方向与处的速度方向与y y轴相交于轴相交于C C点，点，作作OCAOCA的角平分线与的角平分线与x x轴相交于轴相交于OO点，过点，过OO点作点作bCbC的垂线，垂足为的垂线，垂足为A A点则点则OA=OO=R,OA=OO=R,所以，所以，以以OAOA为直径的圆的磁场区域面积最小设圆形磁场区域的半径为直径的圆的磁场区域面积最小设圆形磁场区域的半径为为r r由牛顿第二定律得：由牛顿第二定律得：由几何关系得：由几何关系得：200mvqv BR3rR22220min223 m vSr4B q (2)(2)粒

7、子从粒子从O O点沿圆弧到点沿圆弧到A A点，所经历的时间点，所经历的时间 所以粒子从所以粒子从O O点进入磁场区域到达点进入磁场区域到达b b点所经历的时间为点所经历的时间为b b点横坐标为点横坐标为故故b b点坐标为点坐标为AbOAAbAb0sT2 m3mtsRcot30t33qBvBqOAAbO bm2ttt( 3)Bq3Rs2Rsin300b3mvxR2R,Bq03mv(,0)Bq 三、垂直平分线法三、垂直平分线法 适用情况：如果已知带电粒子的入射速度方向和做圆周运适用情况：如果已知带电粒子的入射速度方向和做圆周运动轨迹的一条弦，先作出过入射点速度方向的垂线，然后作弦动轨迹的一条弦，先

8、作出过入射点速度方向的垂线，然后作弦的垂直平分线，两垂线的交点便是圆心的垂直平分线，两垂线的交点便是圆心【典例【典例3 3】如图】如图, ,虚线虚线MNMN是一垂直纸面的平面与纸面是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的空间存在磁感应强度为的交线，在平面右侧的空间存在磁感应强度为B B的的匀强磁场，方向垂直纸面向外，匀强磁场，方向垂直纸面向外，O O是是MNMN上的一点，上的一点，从从O O点可以向磁场区域发射电荷量为点可以向磁场区域发射电荷量为+q+q、质量为、质量为m m、速率为速率为v v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向已知先后射入的

9、两个粒子恰好在磁场内各个方向已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的中给定的P P点相遇，点相遇，P P到到O O点的距离为点的距离为L L，不计重力及粒子间的相，不计重力及粒子间的相互作用互作用(1)(1)求所考查的粒子在磁场中运动的轨道半径求所考查的粒子在磁场中运动的轨道半径; ;(2)(2)求这两个粒子从求这两个粒子从O O点射入磁场时的时间间隔点射入磁场时的时间间隔. .【深度剖析】【深度剖析】(1)(1)设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R R，洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律，有洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律，有解得：解得：(2)(2)如

10、图所示，为两粒子在匀强磁场中运动的如图所示，为两粒子在匀强磁场中运动的轨迹图轨迹图 作图方法是：作作图方法是：作OPOP的垂直平分线，分别过入射的垂直平分线，分别过入射点点O O作入射速度作入射速度1 1、2 2的垂线两垂线与垂直平分线的交点分别为的垂线两垂线与垂直平分线的交点分别为O O1 1、O O2 2，则，则O O1 1、O O2 2为圆心，粒子为圆心，粒子1 1转过的角度为转过的角度为OOOO1 1P=+P=+，粒子粒子2 2转过的角度为转过的角度为OOOO2 2P=-P=-2mvqvBRmvRBq两粒子在磁场中运动的周期均为两粒子在磁场中运动的周期均为粒子粒子1 1从从O O点运动

11、到点运动到P P点所用的时间为：点所用的时间为：粒子粒子2 2从从O O点运动到点运动到P P点所用的时间为：点所用的时间为：两粒子射入的时间间隔：两粒子射入的时间间隔：又因为：又因为： ，故，故2 mTqB1tT22tT212tttT 1O OP2Lcos22R124mqBLtttarccosqB2mv 四、直角直径法四、直角直径法 适用情况：如果已知带电粒子的入射适用情况：如果已知带电粒子的入射速度方向和过入射点的一条弦，先作出过速度方向和过入射点的一条弦，先作出过入射点速度方向的垂线，然后过弦的另一入射点速度方向的垂线，然后过弦的另一端点作弦的垂线，两垂线的交点和入射点端点作弦的垂线，两

12、垂线的交点和入射点的连线便是该圆的直径，作直径的中点便的连线便是该圆的直径，作直径的中点便是圆心是圆心 【典例【典例4 4】在直角坐标系】在直角坐标系xOyxOy中，有一半径为中，有一半径为R R的圆形匀强磁场区的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为域，磁感应强度为B B，磁场方向垂直，磁场方向垂直xOyxOy平面指向纸面内，该区平面指向纸面内，该区域的圆心坐标为域的圆心坐标为(R,0)(R,0)，有一个质量为，有一个质量为m m，带电量为，带电量为-q-q的粒子，的粒子，由静止经电场加速后从点由静止经电场加速后从点 沿沿x x轴正方向射入磁场，粒子从轴正方向射入磁场，粒子从射入到射出磁场通过了该磁

13、场的最大距离，不计重力影响试射入到射出磁场通过了该磁场的最大距离，不计重力影响试求：求：(1)(1)粒子在磁场区域经历的时间粒子在磁场区域经历的时间; ;(2)(2)加速电场的电压加速电场的电压. .R(0)2，【深度剖析】【深度剖析】(1)(1)因为粒子从射入到射出磁场通过了该磁场的最因为粒子从射入到射出磁场通过了该磁场的最大距离，即大距离，即MPMP应是圆形磁场区域的直径，同时也是粒子做圆周应是圆形磁场区域的直径，同时也是粒子做圆周运动的一条弦过运动的一条弦过P P点作直线点作直线NPMP,NPMP,与竖直线交于与竖直线交于N N点作点作MNMN的的中点即是粒子做圆周运动的圆心中点即是粒子

14、做圆周运动的圆心( (直角直径法直角直径法) )设从设从M M点射入磁点射入磁场的速度方向与半径场的速度方向与半径MCMC夹角为夹角为，故故 , ,即即=30=30在磁场中偏转的角度为在磁场中偏转的角度为=2=60=2=60, ,有有带电粒子在磁场中运动的周期为带电粒子在磁场中运动的周期为所以粒子在磁场区域经历的时间所以粒子在磁场区域经历的时间R12sinR2 tT22 mTBqmt3Bq(2)(2)设粒子在磁场中做圆周运动的半径为设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r,r,由洛伦兹力提供向心由洛伦兹力提供向心力得：力得： r=2R r=2R 带电粒子在加速电场加速过程中，由功能关系得：带电粒子在

15、加速电场加速过程中，由功能关系得： 联立以上各式解得：联立以上各式解得：以上四种方法是确定圆心极为有效的办法，在解题过程中要灵以上四种方法是确定圆心极为有效的办法，在解题过程中要灵活选择使用，突破圆心的确定这一难点，就会使此类问题变得活选择使用，突破圆心的确定这一难点，就会使此类问题变得迎刃而解迎刃而解2mvqvBr21qUmv2222B R qUm在真空中在真空中, ,半径为半径为r=3r=31010-2-2 m m的圆形区域内的圆形区域内, ,有一匀强磁场有一匀强磁场, ,磁场的磁感应强度为磁场的磁感应强度为B=0.2 T,B=0.2 T,方向如图所示方向如图所示, ,一带正电粒子一带正电

16、粒子, ,以初速度以初速度v v0 0=10=106 6 m/s m/s的速度从磁场边界上直径的速度从磁场边界上直径abab一端一端a a点处射入磁场点处射入磁场, ,已已知该粒子荷质比为知该粒子荷质比为q/m=10q/m=108 8 C/kg, C/kg,不计粒子重力不计粒子重力, ,则则: :(1)(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径是多少粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径是多少? ?(2)(2)若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角, ,其入射时粒子的方其入射时粒子的方向应如何向应如何? ?最大偏转角多大最大偏转角多大? ?【解析】【解析】(1)(1)设粒子做圆周运动的半径为设粒子做圆周运动的半径为R,R,则则得得(2)(2)由分析知由分析知, ,弦弦abab是粒子轨迹上的弦是粒子轨迹上的弦, ,也是也是圆形磁场的弦圆形磁场的弦, ,如图所示如图所示. .粒子在磁场中运粒子在磁场中运动的最长弦就是动的最长弦就是ab