机械动力学第二章——两自由度振动

1、两自由度系统振动姓名: 何江波学院: 机械工程学院邮箱：2022-5-6两自由度系统的振动2kcm要求：对轿车的上下振动进行动力学建模分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼优点：模型简单缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响 大量振动系统需要简化成多自由度系统才能反映实际问题的物理本质。例如，汽车行驶在路面上会产生上下振动两自由度系统的振动3k2c2m车m人k1c1建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地

2、面之间的相互影响两自由度系统的振动4m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车m轮m轮建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确两自由度系统的振动5 与单自由度系统比较，多自由度系统具有一些本质上的新概念，需要新的分析方法。 二自由度系统是多自由度系统最简单的特例。从二自由度系统到多自由度系统，主要是量的扩充，在问题的表述、求解方法、振动性态上没有本质区别。 数学工具：线性代数、矩阵理论教学内容两自由度系统的振动微分方程 两自由度系统的自由振动 两自由度系统的强迫振动6两自由度系统的振动微分方程

3、7先看两个例子 例1：质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的振动微分方程m1m2k3k1k2 F1(t) F2(t)c3c1c2两自由度系统的振动微分方程8建立坐标：x1，x2的原点分别取在m1，m 2的静平衡位置受力分析：m1m2k3k1k2 F1(t) F2(t)c3c1c2k1x1x2k3x2F1(t)k1x1k2(x2-x1)1 1c x m1221()c xxF2(t)k2(x2-x1)m2221()c xx3 2c x 两自由度系统的振动微分方程9建立方程：1 1121221212212221232212322()()()()m xcc xc xkk

4、xk xFm xc xcc xk xkk xF整理得：F1(t)k1x1k2(x2-x1)1 1c x m1221()c xxF2(t)k2(x2-x1)m2221()c xx32c x k3x21 11 12211 12211()()m xc xc xxk xk xxF 2232221322212()()m xc xcxxk xkxxF 两自由度系统的振动微分方程 mxcxkxF10振动方程：1 1121221212212221232212322()()()()m xccxc xkkxk xFm xc xcc xk xkkxF可写成矩阵形式：其中，质量矩阵：12 0 0 mmm阻尼矩阵：12

5、2223+ - ccccccc刚度矩阵：122223+ - kkkkkkk 位移向量：12 xxx 激励向量：12 FFF两自由度系统的无阻尼自由振动11例2：转动振动两圆盘转动惯量 21,II轴的三个段的扭转刚度 321,kkk试建立系统的振动微分方程 1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM1)(),(21tMtM外力矩 两自由度系统的无阻尼自由振动)(2tM12建立坐标： 角位移21,角加速度21, 受力分析：1k1I22I2k3k)(1tM111k)(1tM)(212k)(2tM33k212()k两自由度系统的无阻尼自由振动13建立方程：1 11 1212122212332()( )

6、()( )IkkM tIkkMt 矩阵形式：221211112322220( )0( )kkIM tkkIMkkt 坐标间的耦合项 11k)(1tM)(212k)(2tM33k212()k教学内容两自由度系统的振动微分方程 两自由度系统的无阻尼自由振动 两自由度系统的强迫振动14两自由度系统的无阻尼自由振动1 1121222223221()0()0m xkkxk xm xkk xk x15图示两自由度系统，无阻尼，无激励振动微分方程为：m1m2k3k1k2令：121kkam21kbm22kdm232kkcm两自由度系统的无阻尼自由振动11222100 xaxbxxcxdx16振动微分方程可表示

7、为：2012021020sin0sin0aXbXtdXcXt假设其解：110220( )sin,( )sinx tXtx tXt将解代入振动方程：振幅X1、 X2，频率 0 和相位?为未知量，2012210200aXbXdXcX两自由度系统的无阻尼自由振动17202020 ()0 abdc 称为特征行列式。20()2012210200aXbXdXcX2102200XabXdc 若存在振动，则X1、 X2 不能等于零，即方程组有非零解，则必须满足行列式等于零：两自由度系统的无阻尼自由振动18202020 ()0 abcd（1）01和 02唯一的决定于系统固有参数（a、b、c、d），称为系统的固有

8、频率（自然频率）。较小的 01 叫基频。两自由度系统有两个自然频率。由可得到：220102,2222acacacacbdbd两自由度系统的无阻尼自由振动19由：22010222121112,aaXXXbXb2012210200aXbXdXcX可得X1和 X2的比值 ：（3）带入01和 02可以验证 1 大于零，而 2 小于零。第一振型振动是两个质量块振动方向相同的振动，第二振型振动是两个质量块振动方向相反的振动。（2）两个频率对应的振动不相同，以01进行的振动称为第一振型或者低振型振动， 以02进行的振动称为第二振型或者高振型振动。两自由度系统的无阻尼自由振动20 11101121011( )

9、sin,( )sinxttxtt22010222121112,aaXXXbXb由：令X1=1，则可得振动微分方程组的两个特解 ：特解 1： 22102222022( )sin,( )sinxttxtt特解 2：由特解线性叠加可以得到通解：01102201112211221022( )( )sinsinsinsintttx tCCCtx tC教学内容两自由度系统的振动微分方程 两自由度系统的无阻尼自由振动 两自由度系统的强迫振动21两自由度系统的强迫振动22 装在梁上或者板上的的转动电机，由于转子的不平衡，或者说转子质量不均匀，在电机高速转动下，梁或者板将发生上下振动。试问如何减小振动。（1）提

10、高电机质量（2）增加阻尼（3）动力吸振器两自由度系统的强迫振动 质量块m在正弦扰力F=F0sin t的作用下进行强迫振动。取在无扰力作用时的静平衡位置为原点，向下为正。由牛顿定律，可得到： F1(t)m1makka x1 x21120122sin0aaaaamxk kxk xFtk xm xk x（）1122sin,sinxXt xXt代入振动微分方程，得到2120212()()0aaaaak kmXk XFk XkmX23动力吸振器2102011(),aaaXF kmXF k0aaak mkm在无ka与ma时，k-m系统的固有频率ka-ma系统的固有频率记：两自由度系统的强迫振动22222(

11、)()aaaaaaaaakk kmkkmk kmkmk求解代数方程组可以得到：2422001222222222001,(1)(1)(1)(1)aaaaaaaFkFkXXkkkkkkkk经过变换可以得到：当= a时，X1=0， X2=-F0/ka 此时，弹簧ka作用于质量块m的力kax2=-F0sint，刚好抵消扰力F=F0sin t。这样只须附加一个弹簧ka与质量块ma，就可以使原来k-m系统在交变扰力作用下进行的强迫振动完全消失。这就是动力吸振的基本原理，附加的ka-ma系统成为动力吸振器。两自由度系统的强迫振动25当= a时，X1=0， X2=-F0/ka。那么可以得到振动微分方程的解：0120,sinaFxxtk 两自由度系统的强迫振动26主振系的振幅与激励频率关系 频率比 /0归一化振幅 X1k/F0 阴影线部分为吸振器的设计范围，在此范围内，吸振效果是满意的。 只有在动力吸振器固