导数压轴题精选

1、导数压轴题精选三、解答题：1210.已知函数f(x)=?x-2x、g(x)=logaX(a>0，且a1)，其中a为常数.如果函数h(x)二f(x)g(x)是(0,：)上的增函数，且函数h(x)存在零点(函数h(x)为函数h(x)的导函数).求实数a的值；设Agy)、B(x2,y2)(x：x2)是函数y=g(x)的图象上两点，又g(x0)=y2_y1(g(x)为g(x)的导函数)，证明：花：x0：x2.x2b10.已知函数f(x)=ax_2Inx，且f(1)=0.x若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,12且an1=f()-n

2、1，又已知印=4，求证：an_2n2；an_n+11112在的条件下，试比较-与一的大小，1+a11+a21+an5并说明你的理由.10定义：对于函数f(x)(xMR)，若f(x)：f(x)对于定义域M内的任意x恒成立，则称函数f(x)为M上的函数.判断函数f(x)=exlnx是否为其定义域上的函数，并证明你的结论；若函数F(x)为R上的函数，试比较F(a)与eaF(0)(aR)的大小；若函数F(x)为R上的函数，求证：对于定义域内的任意正数xi、x2、xn，均有Fln(XiX2川Xn)F(lnxi)F(lnX2)111F(lnXn)成立.10.对于函数f(x),若存在XoR，使f(Xo)=X

3、o成立，则称Xo为函数f(x)的不动点.X2+a1如果函数f(x)(b,cN)有且仅有两个不动点0、2，且f(-2):bxc2试求函数f(x)的单调区间；11n+11已知各项不为零的数列an满足4Snf()=1,求证：Inanan*nan1设bn,Tn为数列bn的前n项和，求证：T2008-仁：In2008：T2007.an10.设函数f(x)=Inx.若*三(0,1)，求函数g(x)二:f(x)(1：)f(1x)的最大值；已知正数:->:满足:-1，求证：f(xj：f(x2)岂fGx<:x2)；nnn已知x0，正数ai满足7ai=1，证明：7aiInxInaixii£i

4、)id(其中i二1、2、n).10.已知正实数a、b、c满足abc=1,求证：alog3a-blog3b-clog3c_-1；已知aia|-a3n=1，其中ai0(i=1,2,|山3n),求证：a1log3a1a2log3a211(a3nlog3a3n_-n.其中ai0(i=1,2J|,n)、p1、nN10已知函数f(x)=2pJL(xpap)-(xa)P(x_0、a0、p1).求函数f(x)的最小值；证明不等式：,abpapbp亠小,c()，其中a0、b0、p1；22证明不等式：(耳a?a.)p.a/a?pa.pnn'b10已知函数f(x)二ax-c(a0)的图象在点(1,f(1)处

5、的切线方程为y=x-1.x用a表示出-、c；(2010年湖北)若不等式f(x).1nx在(1厂：)上恒成立，求实数a的取值范围；111n证明不等式：1ln(n1)(nN)23n2(n+1)11.已知函数f(x)=lnx-x1(x(0,：)，求函数f(x)的最大值；设ak、bjk=12111,n)均为正数，证明： 若aQ-azdandDb2bn，则af日2山川-1；1 若b!bJirb1，则baib2aH'bna£b12-b22川-bn2.nr12.已知函数f(x)二rx_x-(1-r)(x0)，其中r为有理数，且0：r:1.求f(x)的最小值；试用的结果证明如下命题：设ai亠

6、0、a2亠0,bi、b2为正有理数.若0=1，则a1b|a<afy'a2b2；请将中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法.证明你所推广的命题.注：当二为正有理数时，有求导公式(x)-lx：'1.求函数证明：设x-令S二34、十.13.设n是正整数，r为正有理数.f(x)=(1+x)E(r+1)x-1(x>-1)的最小值；r1r1r1r1n-(n-1)r(n1)nn：r1r1R，记x为不小于x的最小整数，例如：2=2、381382383|i(3125，求S的值.14.已知函数f(x)=(1+x)E_o(x(xa1、0<ac1),求函数f(x)的最大值；证明:证明

7、:11abaPbq，其中a0、bO,且p1、qPqnn丄n1'ab乂ap)p('biq)q，其中a0、bi.0(ii4i4iA111、q1、1.pq111、1；pq=1,2,|,n)，导数压轴题精选三、解答题：1210.已知函数f(x)=?x-2x、g(x)=logaX(a>0，且a1)，其中a为常数.如果h(x)二f(x)g(x)是(0,：)上的增函数，且h(x)存在零点(h(x)为h(x)的导函数).求a的值；设AyJ、B(X2,y2)(捲：X2)是函数y二g(x)的图象上两点，9(x0)=(g(x)为g(x)的导函数)，证明：xxo：/.X2Xi1 2解：因为h(x

8、)x-2xlogax(x0),22所以(x0).”1xIna2xIna+1h(x)=x-2-xInaxlna因为h(x)在区间(0,：)上是增函数，2xIna-2xIna1所以0在区间(0,：)上恒成立.xIna若0:a:1，则Ina:0，于是x2Ina-2xIna-1咗0恒成立.又h(x)存在正零点，故厶=(2Ina)2-4Ina=0,得ha£或Ina=1与Ina0矛盾.所以a1.由x21na-2xIna，1_0恒成立，又h(x)存在正零点,故,；=(2Ina)2-4Ina=0，所以Ina=1，即a=e.由,g(X07，于是1y.xX2-为x0x2In2-Inr以下证明x1X2X1

9、.(八(探)等价于x11nx2-为In论一x2'论：0.Inx2-Inx令(x)=xInx2-xInx-x2x,:(x)=Inx2-Inx，在(0,x2上，:(x)0,所以(x)在(0,x2上为增函数.当X1：X2时，(xj：(X2)=0,即x-iInx2捲In为一x2+捲v0,从而X0"得到证明.对于X2生J同理可证，所以X1：x)：X2.InX2-InX1评讲建议：此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识.评讲时注意着重导数在研究函数中的应用.本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考

10、的热点.第二小题还可以这样证明：要证明x1竺冬一，只要证明Inx2Inx1下略.XiInX2Xi1，令二"，作函数Xih(t)=t-1-Int,10.已知函数f(x)=ax-一-21nx，且f(1)=0.x若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,12且an1=f()-n1，又已知，求证：an_2n2；an_n+11112在的条件下，试比较与一的大小，1+a11+a21+务5并说明你的理由.a.a2解：f(1)=a-b=0=a=b,.f(x)二ax2lnx,f(x)二a2xxx要使函数f(x)在定义域(0,：)内为单调函数，

11、则在(0,：)内f(x)恒大于0或恒小于0,2 当a=0时，f(x)0在(0,：)内恒成立；x1111当a0时，要使f(x)=a(-一)2a-一一0恒成立，则a-一一0,解得a一1,xaaaa2当a：0时，f(x)=a20恒成立，所以a的取值范围为(-：,0U1：).xx12根据题意得：f(1)=0很卩a，a-2=0,得a=1,f(x)=(-1)，x1于是an1=f()=(an-n)2-n21二a；-2na.1，an-n+1用数学归纳法证明如下：当n=1时，印212，不等式成立；假设当n二k时，不等式ak_2k2成立，即ak-2k一2也成立，当n-k1时，ak1=ak(ak-2k)1-(2k2

12、)21=4k52(k1)2，所以当n=k1，不等式也成立，综上得对所有nN*时，都有an_2n2.由得an=an/an4-2n2)1一an2(n-1)2-2n21=2an1，于是an1-2(an41)(n-2)，所以a2-2(a11),a31-2(a21)an1-2(anv1)，111累乘得：an2n4(a11),则h-(n-2)，1+an2n1+a1所以-1(11厶)=2(1-乙)上.1a11a21an1y2222n52n510定义：对于函数f(x)(xM5R)，若f(x)：f(x)对于定义域M内的任意x恒成立，则称函数f(x)为M上的函数.判断函数f(x)二exlnx是否为其定义域上的函数

13、，并证明你的结论；若函数F(x)为R上的函数，试比较F(a)与eaF(0)(a，R)的大小；Fln(XiX2川Xn)F(lnxi)F(lnX2)IIIF(lnXn)成立.若函数F(X)为R上的函数，求证：对于定义域内的任意正数X1、X2、Xn,均有解：是.构造函数g(x)冲eF(a)>eaF(O)(a>0),F(a)=eaF(O)(a=0).F(a)<eaF(0)(a£0)g(x)二匸単为R上的增函数，因为捲X2丨1(XnX1,e所以ln(xX2|l(Xn厂lnX，得gln(为x?|l(Xn)g(lnxj,即Fln(人X2Xn)F(lnxjxlngx?Xn)即-7-

14、F(lnx1)，X2|lXnx-Fln(花X2IIIXn)>F(lnXn),构造函数ln(x1為卄块n)>lnx1eeX2Fl门任+X2+川+xn)>F(lnx2)、"Xi同理X1+X2+川+Xn将上述n个不等式相加即得所证结论.nX1X2丨11Xnn+11<ln<-；an1nan10.对于函数f(X),若存在X。R，使f(X。)成立，则称X0为函数f(x)的不动点.x2+a1如果函数f(x)(b,cN)有且仅有两个不动点0、2，且f(-2)：bxe2试求函数f(x)的单调区间；11已知各项不为零的数列an满足4Snf()=1,求证：-一1,Tn为数列b

15、n的前n项和，求证:anx2+a解：设=x=bxc201-b设bn-T2008-1'ln2008T2007.(1b)x2exa=0(b=1)201-b/.f(x)二2X(1e)xc2_21由f(-2)1：c：3,又b,cN*c=2,b=2,1+c2x2-f(x)(X").于是2(x1)由f(x).0得x：0或x2；故函数f(x)的单调递增区间为单调减区间为(0,1)和(1,2).由已知可得2Sn=a两式相减得x22x2(x-1)2由f(x)：0得0：x：1或1：x：2(-：,0)和(2,二),当n=1时,-ananfg/xPxfL24(x1)222nan，当n亠2时，2Sn=

16、an-an,(ana*二)(aan10,a*二-a*或aanj=-122印二印-印=印-1，若an=-anj，则a?=1这与an=1矛盾,1n+11待证不等式即为Inn+1nn3n=_n曰是，为此，我们考虑证明不等式<AxaOxx1令1t,x0,则t1,x二xt-11再令g(t)=t-1_lnt,g(t)=1-,当t(1j：)时，g(t)单调递增，1X+1由t(1,:)知g(t)0,即In,x0，令h(t)=Int-1xx由t(1,：)知h(t)0,当t(1,1h(t)h(1)=0,于是Int1,即Intx1x+11由、可知:In:,x0,xx1日"1In1，即1Inna*n1

17、11则Tn=11川一,23nx11n+1所以丄:In1n1n1由可知bnn1|n1在Inn1n1g(t)g(1)=o，于是t-1Int，1t)时，x1h(t)11t-1人二厂尹子，h(t)单调递增，-,x0x1an1：丄中，令n=1,2,3,)11,2007n1 11,2,32008InInIn2 32008122007即T2008T*In2008：:：T2007-:1并将各式相加得.11川._A_23200710.设函数f(x)=Inx若(0,1)，求函数g(x)",f(x)(1-)f(1-x)的最大值;已知正数_：八：满足:-=1，求证：:-f（Xj亠f（X2）ZfGXq亠、X2

18、）；nnn已知x0，正数ai满足7ai=1，证明：vaiInXi乞InaiXii47i（其中i=1、2、n）.解：在（0,：）上单调递增、（，1）上单调递减.构造函数h（x）=：f（xj亠f（x）-f（一：必亠x）,在（0,Xq）上单调递增、（XV）上单调递减.当n=1、2时结论显然成立；假设n二k（kN,k_2）时结论成立，那么当n1时，由于aia?|l（ak1=1血0,k=1,2,川，k1）,有生,1_ak11_ak11_ak1a1aIn为2Inx2kInxk_In(1-ak11-ak11-ak1a1X182X2I丨I'akXk即a11nXra21nx2111akInxk上(1ak

19、1)In-,1-ak舟所以ajnX!IIIakInx-ak11nx-1乞(1y-Jn竺毗'ak11nx-11-ak卅ax+j11+axa1In治IIIa-Inx-a-1Inx-1乞(1-a-Jn亠a-11nx-1得1-ak1a2akX1Xk),1-ak*a1x11-ak1-In(1-ak1)a±X1ak1Xk1-I门心必|lakXkak1Xk1).10.已知正实数a、b、c满足abc=1,求证：aIog3abIog3bcIog3c_-1；已知a1aHa3n=1，其中a：0(i=1,2川l,3n),求证：a1Iog3a1a2Iog3a2a3nIog3a3n，：_n.解：令f(x

20、)=xIog3xbIog3b(1_x_b)Iog3(1_x_b)(0：x<1),1-bf(x)=Iog3X_Iog3(1_x_b)，当x(0,)时，f(x)单调递减；21-b1-b1-b当x(,1)时，f(x)单调递增，所以f(x)f()=(1-b)Iog3bIog3b.2221xf1x令g(x)=(1x)Iog3xIog3X(0:x：1),g(x)二Iog3xIog3一22_1_1当x(0,)时，g(x)单调递减，当x(,1)时，g(x)单调递增，3 31所以g(x)-g(?=t.用数学归纳法证明，当n=1时，由上可知结论成立；假设当n二k时结论成立，那么当n=k1时，令t=令彳a3k

21、211|a3ki，则旦空岂i，1t1t1-t所以_|093旦竺|og3空3log3k，所以1-t31-t1-t31-t1-t31-tailog3a1a2log3a11a3klog3a3:一k(1-t)(a2Ula)Iog3(1-t)，所以a1log3aia2log3a2I|la3klog3a3k孑：k(1-t)(1-t)log3(1-t).令a?3k1a?3k.2|la3s，则a3kd-a3ka?3k二t一s,所以4壬.川.邑1胡，所以tststsa3k1a3k2丨丨Ia2誉一-k(t_s)(t-s)log3(t-s),同理a23k1-a23k2-a3k-ksslogsS，相加得结论.10.已

22、知函数求函数证明:证明:f(x)=2p'(xpap)-(xa)p(x_0、f(x)的最小值；zab、papbp()，其中a0、b0、22(a_al_an)p:a1pa2ranpnn其中ai0(i=1,2J|,n)、p1、nN.解：f(xp(2x)pJ-(xa)pJ，函数f(x)在(0,a)上单调递减、在(a,：)上单调递增，故f(x)_f(a)=0.由可知f(x)=2p'(xpap)-(xa)p-02pJ(xp-ap)-(xa)p_0p1p,p、px*a、x+ap=2(xa)_(xa)()，令x=b即可.22用数学归纳法.当n=1、2时，结论明显成立；假设当n二k（N）时，结论

23、成立，即（a1a厂川那么当n令g(x)二k=k1时，即要证(乳一akak1)pk+1aip'a2pakp'xpzaia2ak(k1k1p站akpk，-k+1ak)pa1亠x)P(x0),那么g(x)二亡一p(7乩)p丄k1k1k1pU(Z2)马(x.o)，k1Xk1函数g(x)在(0,冃比川何)上单调递减、在(印比-：)上单调递增,kakk故g(x)_g(a1a2Wak)ka1pa2p叶akp(tA)pk1a1p7川a/(a玉)paik1p厲川aj-k(色去，川ak)p川ak。月a2ak、p一(丿k1由归纳假设有玉)p乞弄,a1Pkk所以_(a1a?ak)p_a/a?PJUak

24、_k，a1p代卩川貝卩-k(a1a2Vak)p所以二-k1a1p.a2MHakka矍k=0,k+1故当n=k1时，结论仍成立，由可知原命题正确.b10.已知函数f(xax-c(a0)的图象在点x用a表示出-、c；(2010年湖北)若不等式f(x)lnx在x(1：)上恒成立，111证明不等式：1一一|1一ln(n1)(1,f(1)处的切线方程为y=x-1.求实数a的取值范围;n(nN).23n2(n+1)本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同事考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想.hi、-f(1)=a+b+c=0解：f(x)=a-石，则有x2If(1)=a-b=11

25、-2a,，解得“和1lc=12a由知，f(x)=axx令g(x)二f(x)-InX=ax口1-2a-Inx,x1,：).x1-a2/八a(x1)(x)a-11ax-x-(a1)a则g(1)",g(x)=a222.xxxx1 1_a1_aaf(x)_lnx在1,二)上恒不成立. 当0：a时1，若1：x，则g(x):0,g(x)是减函数,2 a所以g(x):g(I)=0,f(x)Inx，故故当x_1时，f(x)_InX,1 1_a a时，1，若f(x)Inx,2 a综上所述，所求解法一：分析:J12ln(n1)i吕i1a的取值范围为,：).21nIn(n1)n2(n1)n:-+&

26、,2ii(i1)(nN)=2(n1)in11Inn2n(n+1)n1nij、1'Ini1ii1i成立.1猜想不等式一n1由知：当a_时，有f(x)-Inx(x_1).211f(x)(x)-Inx(x_1),2x亠n+11n+1n1有In(1一)-(1)，n2nn+12nn+1、1“11、2n12(n1)-111)(厂n2nn12n(n1)1n111亠、In成立，取nn2n(n1)n1nn个不等式一次相加得71.7Ini=1ii=11n.In(n1)n2(n1)令a=-，有2令x斗,nn1即In所以有将上述整理得11当x1时，一(x)Inx.2x11=二(1)-(1-一2n(n1)n2n

27、(n人k+1亠k+11k+1k111),令x，有In(1)-(1kk2kk+12kk+1111即In(k1)-1nk：r)(k=1,2,3|n),2kKT11111将上述n个不等式一次相加得ln(n十1)£+(+十一)+223n2(n+1)111n整理得1-.-In(n1)-23n2(n+1)解法三：用数学归纳法证明.1 当n=1时，左边=1，右边=In21，不等式成立.4111k 假设n=k时，不等式成立，就是111'1)In(kT)-23k2(k+1)1 111k1K+2那么1一一.-In(k1)-In(k1)2 3kk+12(k+1)k+12(k+1)1111由知：当a

28、时，有f(x)-Inx(x_1).令a，有f(x)(x)_Inx(x_1).222xk+21k+2k+1k+2令x二，得：-(-J)_In=In(k2)-In(k1).k+12k+1k+2k+1k+2k+1In(k1)In(k2)2(k+1)2(k+2)1111-1In(k2)23kk12(k1)就是说，当n=k1时，不等式也成立.根据和，可知不等式对任何nN都成立.11.已知函数f(x)=Inx-x，1(x，(0,：)，求函数f(x)的最大值；(2011湖北)设a-、b-(k=12川,n)均为正数，证明： 若a-b-a2丨1andDb2川b，则a*a?®TH咗1；1 若b311(b

29、n=1,则-<biaib/2IIIbnanEbjb22IIIbn2.n2L本主要尊童褐辱如不H査的诙罰再蓦础*0识胸聘*誉偉合运博戴学知识进斤推理论谨的能力.iUJUt归与WttlMBa.(満井忖分H.(1)/何的建义域为(0.+附r(x)-i-l=O,KSi-L当0<jf<lH./*<X)>O./Ce*CX1)A临增甫It当JCA|»hfa)<0./何庄内址"韵故：故在直1AtWtffi*All/(1)O.<u>a)由(I如.当“(afr/(x>s/(i)=o即iftjsi-i.*：a、>0+从而InaStf*-

30、L尅毎In%3也一力(出工12-+)*Jftfliff£lnaj££玛如*£岛t-k*>lft«tKliM（2）it证V*丄*ifg士n*扣茁T*HJtIdIf再证特住s止却寸図记$£辭专爲*M】Z用期£诂亠曲"«.iS1«|Si.|Tftfti【1)得户"叫半户幻即粗皆“H“冷访j时咗閉*览if出煤合.(2)得砥救学【理工类)试第6页(M6M)12.(本小题满分14分)(2012湖北)已知函数f(x)=rx-xr(1-r)(x0)，其中r为有理数，且0：r:1.求f(x)的最小

31、值；试用的结果证明如下命题：设a“_0、a2_0,b1、b>为正有理数.若b|b2=1，则a*a?®乞'a?b2；请将中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式(x)-：xA.解：f(x)=r-rxr1=r(1xr丄)，令f(x)=0,解得x=1.当0:xd时，f(x)：0，所以f(x)在(0,1)内是减函数；当x1时，f(x).0，所以f(x)在(1,：)内是增函数.故函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0.由知，当x(0,二)时，有f(x)_f(1)=0，即xr<rx(1-r).若a1,a2中有一个为0，则昇

32、匕2“岂dba2b2成立；若a1,a2均不为0，又b1b2=1，可得b?=1，于是在中令x旦,r，可得(別)6汕a-(1-0),a?a?a2即afar3_a1ba2(1-bj，亦即a1b1a2b2_a1ba2b2.综上，对a0,a0,b,b2为正有理数且g=1，总有兰+氏匕2.中命题的推广形式为：设a1,a2JU,an为非负实数，b,b2,11|,bn为正有理数.若b2bn1，则a?a2|l|ab2：aib1-a?b2|l-anbn.用数学归纳法证明如下：(1) 当n=1时，b=1，有aa1，成立.(2) 假设当n=k时，成立，即若a1,a2,|l|,ak为非负实数，b1,b2,|l|,bk为

33、正有理数，且b1bbk1，则a：a；2|a：raQa?b2|lab.当n=k1时，已知q®,ak,ak1为非负实数，匕,鸟，,bk,bk1为正有理数，且b1Jllbkbk1=1，此时0<bk1：1，即bk10,b鸟bk于是a：a営忒3加七阳汀曲归加=佝可匕严川a严严冷加.因一匕理J=1，由归纳假设可得1弋11-bk11-bk1b6bk.aa严川akg.亠玄亠Fla亠哑,1-bk十1一bk十1-bk*1_bk+从而aJaMHaka?扌兰心柑+比6+山+比6丰.<1_bk+丿又因(1bk1)bk1=1，由得zbk十'aQ*2b2+11)*kbk扌学印+込4+川十玄血们

34、_b十)+比也十I1bk十丿1bk+'a11)1a2b2akbk'ak1bk1，从而a1"a2?II丨aa1一比|I|akbk'ak1bk-1故当n=k1时，成立.由(1)(2)可知，对一切正整数n,所推广的命题成立.说明：中如果推广形式中指出式对n_2成立，则后续证明中不需讨论n=1的情况.13.设n是正整数，r为正有理数.(2013湖北)r_1求函数f(x)=(1x)-(r1)x-1(x兮一1)的最小值;证明：1r1r1r1n(n-1)r(n1)nn：r1r13设R，记X为不小于x的最小整数，例如：2=2、=4、-=-12令s=12544S-'k3_k_134心181-3823.83|i(3125，求S的值.4444(参考数据:803344.7、8133