微分方程竞赛模型(捕鱼模型)

1、21996年全国大学生数学建模竞赛试题分析年全国大学生数学建模竞赛试题分析A题题 最优捕鱼策略最优捕鱼策略利用微分、差分方程建立数学模型利用微分、差分方程建立数学模型为了保护人类赖以生存的自然环境为了保护人类赖以生存的自然环境, 可再生资源可再生资源(如渔业、如渔业、林业林业)的开发必须适度的开发必须适度. 一种合理、简化的策略是在实现一种合理、简化的策略是在实现可持续收获的前提下可持续收获的前提下, 追求最大产量或最佳效益追求最大产量或最佳效益.考虑对某种鱼考虑对某种鱼(鳀鱼鳀鱼)的最优捕捞策略：的最优捕捞策略：鳀鳀(t)鱼鱼 体长十余厘米体长十余厘米,银灰色银灰色,侧扁侧扁,生活在海中生活

2、在海中.亦称黑背鳀亦称黑背鳀. 幼鱼干制品称海蜒幼鱼干制品称海蜒(yn)3 假设这种鱼分假设这种鱼分4个年龄组个年龄组: 称称1龄组龄组, ,4龄组龄组. 各年龄组每条鱼的各年龄组每条鱼的平均重量平均重量分别为分别为5.07, 11.55, 17.86, 22.99(克克); 各年龄组鱼的各年龄组鱼的自然死亡率自然死亡率均为均为0.8(1/年年); 这种鱼为季节性集中产卵繁殖这种鱼为季节性集中产卵繁殖, 平均每条平均每条4龄鱼的产龄鱼的产卵量为卵量为1.109105(个个); 3龄鱼的产卵量为这个数的一龄鱼的产卵量为这个数的一半半, 2龄鱼和龄鱼和1龄鱼不产卵龄鱼不产卵, 产卵和孵化期为每年的

3、最产卵和孵化期为每年的最后后4个月个月; 卵孵化并成活为卵孵化并成活为1龄鱼龄鱼, 成活率成活率(1龄鱼条数龄鱼条数与产卵总量与产卵总量n之比之比)为为11111.22 10.1.22 10n 4每年只允许在产卵孵化期前的每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕个月内进行捕捞作业捞作业. 如果每年投入的捕捞能力如果每年投入的捕捞能力(如渔船数、下网如渔船数、下网次数等次数等)固定不变固定不变, 这时单位时间捕捞量将与各年龄这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比组鱼群条数成正比, 比例系数不妨称比例系数不妨称捕捞强度系数捕捞强度系数. 通常使用通常使用13mm网眼的拉网网眼的拉网, 这种网

4、只能捕捞这种网只能捕捞3龄鱼龄鱼和和4龄鱼龄鱼, 其两个捕捞强度系数之比为其两个捕捞强度系数之比为0.42:1. 渔业上渔业上称这种方式为固定努力量捕捞称这种方式为固定努力量捕捞.渔业管理部门规定渔业管理部门规定:51) 建立数学模型分析如何实现可持续捕获建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变), 并且在并且在此前提下得到最高的年收获量此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量捕捞总重量).2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年年, 合同要求合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏年

5、后鱼群的生产能力不能受到太大破坏. 已知承包时已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为各年龄组鱼群的数量分别为: 122, 29.7, 10.1, 3.29(109条条),如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高？样的策略才能使总收获量最高？ 6对该问题的几点说明对该问题的几点说明: 原问题实质上是明确或隐含地给出了各年龄组原问题实质上是明确或隐含地给出了各年龄组鱼群的转化规律鱼群的转化规律, 并给出了它们的自然死亡率及产并给出了它们的自然死亡率及产卵的时间分布卵的时间分布, 并固定每年投入的捕捞能力及并固定每年投入的捕捞能力及

6、3 、 4 龄鱼捕捞能力的比值龄鱼捕捞能力的比值, 要求选择一定的捕捞能力系要求选择一定的捕捞能力系数数, 使得各年龄组鱼量在各年开始捕捞前条数不变使得各年龄组鱼量在各年开始捕捞前条数不变, 或或 5 年后鱼群的生产能力不会有太大的破坏年后鱼群的生产能力不会有太大的破坏, 并在并在此条件下此条件下, 得到以重量计的最大捕获量得到以重量计的最大捕获量.7必须首先明确以下三个概念的含义：必须首先明确以下三个概念的含义： (1)捕捞强度系数捕捞强度系数. 如果用数学语言来表达就是如果用数学语言来表达就是: 只考虑只考虑捕捞对种群变化的影响捕捞对种群变化的影响, 则在则在t, t+t这段时间内鱼类种这

7、段时间内鱼类种群由捕捞产生的变化量为群由捕捞产生的变化量为N(t) N(t+ t), 单位时间的捕捞量是单位时间的捕捞量是: N(t) N(t+ t)/ t , 当它与鱼群的大小成正比时应该有关系当它与鱼群的大小成正比时应该有关系N(t) N(t+ t)/ t qN(t) 这个关系应该对任何时间间隔这个关系应该对任何时间间隔t都成立。都成立。8(2)“季节性集中繁殖季节性集中繁殖”. 题目中说产卵孵化期是每年题目中说产卵孵化期是每年的最后四个月的最后四个月, 而且是集中繁殖而且是集中繁殖, 那末假设时间服从均那末假设时间服从均匀分布是不合适的匀分布是不合适的(这时鱼类个体每这时鱼类个体每1.2

8、分钟产一个卵分钟产一个卵).在不失生物学的真实的前提下在不失生物学的真实的前提下, 使模型分析尽量简单使模型分析尽量简单的假设应该是假设的假设应该是假设: 鱼群的个体在后四个月的第一天鱼群的个体在后四个月的第一天集中一次产卵集中一次产卵.于是于是, 令令t0就得到方程就得到方程 dN/dt qN, 捕捞系数应该理解为满足这个关系的量捕捞系数应该理解为满足这个关系的量q. 如果直接把如果直接把它理解为捕捞的百分率是不恰当的它理解为捕捞的百分率是不恰当的. 9(3) “自然死亡率自然死亡率(1/年年) ”. 注意注意, 这是一个有这是一个有量纲量纲的的量量, 它既不是简单的百分率又不是简单的变化速

9、率它既不是简单的百分率又不是简单的变化速率. 实际上它是百分比率的变化率实际上它是百分比率的变化率. 它应该理解为以每年它应该理解为以每年死亡死亡80%的速率减少的速率减少, 并不是在一年内恰好死亡并不是在一年内恰好死亡80%. 另外另外, 题目中没有说明四龄以上的鱼如何处理题目中没有说明四龄以上的鱼如何处理. 我们我们可以假设这种鱼只活到四龄可以假设这种鱼只活到四龄, 以后它就死掉了以后它就死掉了. 也可也可以假设四龄以后的鱼仍然活着以假设四龄以后的鱼仍然活着. 这对模型没有太大的这对模型没有太大的差别差别, 只是后者的分析计算稍复杂只是后者的分析计算稍复杂, 计算结果也只是计算结果也只是稍

10、有差别稍有差别.0.80.8 1250.456.7710ee10摘要摘要 本问题是典型的可再生资源开发问题本问题是典型的可再生资源开发问题, 因此我们以因此我们以成熟的成熟的Scheafer模型为基础求解模型为基础求解. 在建模过程中在建模过程中, 我们我们对各年龄组鱼在一年的数量变化规律应用微分方程进对各年龄组鱼在一年的数量变化规律应用微分方程进行分析行分析, 建立捕捞期和产卵期各组鱼群的数量随时间变建立捕捞期和产卵期各组鱼群的数量随时间变化的指数型方程化的指数型方程. 此后我们又对各组鱼群之间的数量关此后我们又对各组鱼群之间的数量关系建立按年份变化的离散型方程系建立按年份变化的离散型方程,

11、 最终获得既简单又比最终获得既简单又比较精确的离散型迭代方程组较精确的离散型迭代方程组.11在模型求解过程中在模型求解过程中 , 我们结合计算机分析求解的技术我们结合计算机分析求解的技术 ,应用应用 Mathematical 软件和软件和 Wtcom C/C+ 编辑器编辑器 , 通通过编程求出了问题的解过编程求出了问题的解 , 并以作图的方式给出了模型并以作图的方式给出了模型的直观表示的直观表示 . 我们我们 . 得出如下结论得出如下结论 : ( 略略 ) 所涉及的知识：所涉及的知识：微分方程微分方程 ，差分方程，差分方程 12该模型讨论的主要内容该模型讨论的主要内容 问题的分析问题的分析模型

12、的假设与符号说明模型的假设与符号说明 模型的建立模型的建立 模型结果及检验模型结果及检验模型的评价及应用模型的评价及应用 对鱼的捕捞的进一步讨论对鱼的捕捞的进一步讨论 13一一 . 问题的分析问题的分析 说明你对该问题的总体思路说明你对该问题的总体思路 , 及其对关键概念及术语及其对关键概念及术语的理解的理解 .( 略略 ) 二二 . 模型的假设与符号说明模型的假设与符号说明a. 模型的假设模型的假设 ( 一一 ) 关于鱼的分类关于鱼的分类 1. 鱼分为鱼分为 1,2,3,4 龄鱼龄鱼 ; 2. 4 龄鱼存活一年后仍为龄鱼存活一年后仍为 4 龄鱼龄鱼 . 14( 二二 ) 关于鱼的生长过程关于

13、鱼的生长过程 (1) 3,4 龄鱼在一年的后龄鱼在一年的后 4 个月集中产卵个月集中产卵 , 且在该且在该 4 个个月的开始时刻进行月的开始时刻进行 ;(2) 各年龄组鱼的自然死亡率为各年龄组鱼的自然死亡率为 0.8/ 年年 , 且死亡是一个且死亡是一个连续过程连续过程 , 不是在某一时刻的突发不是在某一时刻的突发 ; (3) 3 龄鱼产卵量为龄鱼产卵量为 0.5 1.109 105 个个 / 条，条，4 龄鱼龄鱼产卵量为产卵量为1.109 105个个 / 条条 ; (4) 卵孵化成活率为卵孵化成活率为 1.22 1011 /(1.22 1011+n). 15( 三三 ) 关于鱼的捕捞关于鱼的

14、捕捞 (1) 捕捞在产卵前捕捞在产卵前 8 个月进行个月进行 , 且捕捞是一连续过程且捕捞是一连续过程 , 不是在某一时刻发生；不是在某一时刻发生； (2) 捕捞强度系数固定捕捞强度系数固定 , 只能捕捞只能捕捞 3,4 龄鱼龄鱼 , 它们的捕捞它们的捕捞强度系数之比为强度系数之比为 0.42:1 ; ( 四四 ) 关于经济效益关于经济效益 经济效益以捕捞总量来衡量经济效益以捕捞总量来衡量 16b. 符号说明符号说明 参数参数 定义定义 值值 域域 单位单位 T 年份年份0,1,2 年年 t时间时间R+年年 t 间隔时间间隔时间 0,1 年年 Nii 龄鱼数量龄鱼数量 R+条条 r 自然死亡率

15、自然死亡率 0.81/年年n年产卵数量年产卵数量R+个个E33龄鱼捕捞强度系数龄鱼捕捞强度系数 R+1/年年E44 龄鱼捕捞强度系数龄鱼捕捞强度系数 R+1/年年3 3 龄鱼年产卵量龄鱼年产卵量 0.5 1.109 105 个个 / 条条 4 4 龄鱼年产卵量龄鱼年产卵量 1.109 105 个个 / 条条 为计算方便而引入为计算方便而引入 R+条条17三三 . 模型的建立模型的建立 考察考察 1,2 龄鱼的生长过程龄鱼的生长过程 , 可得到可得到 ,1,2iidNrNidt 得得0( )rtiN tN e T 年的年的 i 龄鱼在龄鱼在 T+1 年变为年变为 i+1 龄鱼龄鱼 , 所以所以

16、1(1)( )riiNTeN T 考察考察 3,4 龄鱼的生长过程龄鱼的生长过程 , 在前八个月在前八个月 , 由于捕捞与存由于捕捞与存活均起作用活均起作用 , 因而微分方程为因而微分方程为 : (),3,4iiidNrE Nidt 得得()0( )irEtiN tN e N0为每年年初的为每年年初的 i 龄鱼总数。龄鱼总数。18由此可得由此可得 , 每时刻每时刻 t的捕捞速率为的捕捞速率为Ei Ni (t), 则年捕捞量为则年捕捞量为 2233()00( )1,3,4iirEiiiiEhE N t dtNeirE (1)在后四个月，只有存活率起作用，因而微分方程为在后四个月，只有存活率起作用

17、，因而微分方程为 ,iidNrNdt 得得0( )rtiN tNe (2)N0为第八个月末的为第八个月末的 i 龄鱼总数。龄鱼总数。计算得计算得T年第八个月末年第八个月末 i 龄鱼数为龄鱼数为 23()( )irEiN Te (3)T 年末存活数年末存活数 22333()()( )( )riirErEiiN TeeeN T19根据以上的分析，我们可以整理得到鱼的生存过程满足根据以上的分析，我们可以整理得到鱼的生存过程满足以下公式：以下公式： 223433223433()()3344111112132()()43434(1)( )( )1.22 10(1)(1)1.22 10(1)(1)( )(

18、3)(1)( )(1)( )( )0.42rErErrrErEn TN TeN TeN Tn Tn TN TeN TN TeN TN TN TeN TeEE 233()( )rEiN Te 其中其中为捕捞结束后在产卵点出的第为捕捞结束后在产卵点出的第i种种鱼的数目鱼的数目.20四四 . 模型的求解模型的求解1. 在可持续捕捞情况下在可持续捕捞情况下 Ni 与与T无关无关 , 可得以下方程组可得以下方程组 : 223433223433()()3344111112132()()434341.22 101.22 10(4)0.42rErErrrErEnNeNeNnnNeNNeNNNeNeEE 21其

19、中其中Ni为第为第i种鱼的平衡数量种鱼的平衡数量 . 解得解得 : 2332431111121111(3)11113411()111.22 101.22 10,1.22 101.22 101.22 101.22 10,1.22 10(1.22 10)(1rErEnenNNnnenn eNNnne 由由(4)的第一式得的第一式得11,1.22 10nnn 其中其中32383112234333243()113()114()1.22 101.22 101rErEErEeee 注意注意, 捕捞强度捕捞强度Ei越大越大, 越小越小.22结果讨论结果讨论由于由于111.22 10nnn 所以当所以当111

20、1111.22 10,1.22 100.1.22 10,0.nnn 时时或或时时事实上事实上 , 当鱼群还未达到平衡状态时当鱼群还未达到平衡状态时 , 由方程组由方程组 (3) 得得 : 11( )(3)1.22 10( )n Tn Tn T 于是于是11111.22 10( )(3)( )( )1.22 10( )n Tn Tn Tn Tn T 23所以所以1111111.22 10,( )1.22 10,;( )1.22 10,n TnTn TnT (1)(1) 当当时时若若时时关关于于 单单调调递递增增若若时时关关于于 单单调调递递减减. .这表明无论这表明无论 n(T) 初值如何初值如

21、何 , 最后必将趋于最后必将趋于 111.22 10 , 即即, 达到达到(N1, N2, N3, N4)平衡状态平衡状态.111.22 10,( ),0,.nTn Tn (2)(2) 当当时时随随 单单调调递递减减, ,说说明明无无论论初初值值如如何何最最终终必必趋趋于于即即无无鱼鱼状状态态111.22 10 (0).n 总总之之为为稳稳定定解解24下面求获得最大年产量时的下面求获得最大年产量时的E3和和E4利用利用(1)式得年捕捞量式得年捕捞量:233243()3433()444Weight()max 17.86122.991,0rErEEENerEENerE 求得最大鱼量为求得最大鱼量为

22、 3.88707 1011克克 , 对应得对应得4317.3629,7.292.EE此时的鱼群分布此时的鱼群分布:111012107321.19599 10 ,5.37394 10 ,2.4146710 ,8.39538 10 .NNNN252. 对于渔业公司的五年计划对于渔业公司的五年计划 我们利用已得到的迭代方程我们利用已得到的迭代方程 (4), 在已知各个年龄组鱼在已知各个年龄组鱼的初始值的初始值 (N10 , N20 , N30 , N40 ) 的条件下的条件下 , 可迭代地求可迭代地求出第出第 i 年的鱼量分布年的鱼量分布 (N1i , N2i , N3i , N4i ) 关于关于E

23、4 的函的函数其中数其中 Nji 为为 j 龄鱼第龄鱼第 i 年的条数年的条数 . 根据根据 (1) 式可求出式可求出 5 年的捕捞总量年的捕捞总量 : 2332434()343034()44404Weight()() 17.861() 22.991rEiirEiiEENerEENNerE 26编程计算得计算结果编程计算得计算结果 : 最大捕捞总量最大捕捞总量 Weightmax =1.60571012克克 , 对应地对应地 E3 = 7.3836, E4 =17.58 每年的捕鱼量分别为每年的捕鱼量分别为 :W1 = 2.344011011克克 , W2 = 2.148521011克克 W3

24、 = 2.462761011克克 , W4 = 3.778251011克克W5 = 3.822161011 克克 . 27对鱼群生产能力破坏程度的分析对鱼群生产能力破坏程度的分析在天然情况下鱼的生态系数总能趋于平衡在天然情况下鱼的生态系数总能趋于平衡 , 而对鱼的捕而对鱼的捕捞捞 , 使鱼的数量偏离平衡点使鱼的数量偏离平衡点 . 因而我们人为所谓的对鱼因而我们人为所谓的对鱼的生产能力的破坏实际上就是指的生产能力的破坏实际上就是指 , 5 年捕捞后鱼数量恢年捕捞后鱼数量恢复所需的年数的分析复所需的年数的分析 .首先我们求天然平衡点首先我们求天然平衡点, 在在 E4 = 0( 即不捕捞即不捕捞 )

25、 的情况下，的情况下，代入方程代入方程 (4) 得得N1 = 1.219811011, N2 = 5.480981011N3 = 2.462761011, N4 = 2.009531011此即为无捕捞时的平衡点。此即为无捕捞时的平衡点。 28在捕捞的情况下在捕捞的情况下 . 由方程组由方程组 (4), 知知Ni(T)呈指数分布呈指数分布 , 故可认为当故可认为当Ni(T) 0.7010Ni. 又鱼恢复的越快又鱼恢复的越快 , 说明对鱼的生产能力破坏的越小说明对鱼的生产能力破坏的越小 , 因因此可以认为如果在此可以认为如果在 5 年捕捞后的年捕捞后的 4 年年 ( 鱼的一个生产周鱼的一个生产周期期 ) 内恢复生产能力内恢复生产能力 , 那末捕捞就对生产能力没有太大那末捕捞就对生产能力没有太大的破坏的破坏 .29编制程序并绘图来观察当经过编制程序并绘图来观察当经过 5 年捕捞及停止捕捞后年捕捞及停止捕捞后鱼的数量的恢复过程鱼的数量的恢复过程 .( 略略 ) 经过验证经过验证 , 停止捕捞两年鱼的生产能力就得到恢复停止捕捞两年鱼的生产能力就得到恢复 , 故故认为没有破坏鱼的生产能力认为没有破坏鱼的生