圆锥曲线经典题目含答案

1、圆锥曲线经典题型选择题（共10小题）1.直线y=x-1与双曲线x2-=1（b>0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（A.（1,72）+00)C.(1,+8)D.(1,近)U(近,+0°2.已知M（X0,y0）是双曲线C:=1上的一点，F1,F2是C的左、右两个焦点，若而而<0,则y°的取值范围是（C.3.设F1,F2分别是双曲线A.-1（a>0,b>0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在点p,使得（02+0卜2）可产;。，其中o为坐标原点而二3|可|,则该双曲线的离心率为（A.诉B.V10C.5垂足jJV24»-，bl从一小4.过双

2、曲线ft=1（a>0,b>0）的右焦点F作直线y=-x的垂线,为A,交双曲线左支于B点，若FB=2FA,则该双曲线的离心率为（）A.：B.2C.-D.-225.若双曲线93=1（a>0,b>0）的渐近线与圆（x-2）2+y2=2相交，则此”b2双曲线的离心率的取值范围是（）A.（2,+8）B,（1,2）C,（1,近）D.（衣，+8）226,已知双曲线C:上:尸1O0,b0）的右焦点为F,以F为圆心和双曲线ab的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A-B.RC.：'：D.2227.设点P是双曲线J=1（a>

3、0,b>0）上的一点，Fi、F2分别是双曲线的2i2ab左、右焦点，已知PF，PF且|PF1|二2|PFd,则双曲线的一条渐近线方程是（A.氏B.,，一C.y=2xD.y=4x228 .已知双曲线!三直的渐近线与圆x2+（y-2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（A.（Js,+00）B.（1,冷）C.（2.+oo）D.（1,2）9 .如果双曲线经过点P（2,瓯,且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是（A.x2一=1P是C上一点，且PF与x轴垂直,10 .已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,点A的坐标是（1,3）,则4APF的面积为（二.填空题（共2小题）211.过

4、双曲线/得-二1的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ=8,F2是双曲线的右焦点，则4P技Q的周长是2212.设F1,F2分别是双曲线-'广1缶）0,b0）的左、右焦点，若双曲线右ab支上存在一点P,使（而+而庭二。，O为坐标原点，且|南|二正|四|,则该双曲线的离心率为.解答题（共4小题）13.已知点Fi、E为双曲线C:x2-£_=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的|b2|直线，在x轴上方交双曲线C于点M,/MFiF2=30°.(1)求双曲线C的方程;Pi、(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为(a>0,b>

5、;0)和曲线C2:有相同的焦5点，曲线Ci的离心率是曲线C2的离心率的近倍.(I)求曲线C1的方程；(H)设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线G的右支于点B,彳BC垂直于定直线I:x-2,垂足为C,求证：直线AC恒过x轴JEM15.已知双曲线的离心率e*,双曲线F上任意点到其右焦点的最小距离为V3-1.(I)求双曲线F的方程;(H)过点P(1,1)是否存在直线I,使直线I与双曲线3于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线I存在，请求直线I的方程；若不存在，说明理由.216.已知双曲线C:三7勺1缶0,的离心率e=/3,且b=叵.(I)求双曲线C的方程；(H)若P为双曲线C

6、上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F,且PE?PF=0,求PEF勺面积.选择题(共10小题)1.直线y=x-1与双曲线x2=1(b>0)有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是()A.(1,V2)B.(g,+00)C.(1,+00)D.(1,V2)u(蠡，+°°【解答】解：二.直线y=x-1与双曲线x22yb2=1(b>0)有两个不同的交点,.1>b>0或b>1.e=E=J+b2>1且e丰.3.2.已知M(xo,yo)是双曲线C:-厂=1上的一点，F1,F2是C的左、右两个焦点，若叫广尸0,则yo的取值范围是(A.B:也.史66C.2

7、V3v3，3)【解答】解：由题意，而“而F(芯X0,-y0)?(V3-X0,y。)=X023+y02=3y02-1<0,所以-李<y°F故选：A.223.设Fi,F2分别是双曲线一(a>0,b>0)的左、右焦点，若双曲线右a2b?支上存在一点P,使得;而+0F：).f工6二。，其中O为坐标原点，且|FF；|二3|PF；|,则该双曲线的离心率为()A.虚B.V10Cp-D./【解答】解：取PE的中点A,则K币+配)庭二o,匕，卜.O是FiF2的中点.OA/PF,.PFPE,.IPF|=3|PE|,-2a=|PR|TPE|=2|PF?|,.|PF|2+|PF2|2

8、=4*,10a2=4c2,故选C.4.过双曲线弓-，=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=-2x的垂线，垂足为A,交双曲线左支于B点，若丽=痘,则该双曲线的离心率为(A.；B.2C,-D.【解答】解：设F(c,0),则直线AB的方程为y=-(x-c)代入双曲线渐近线方程y=-'x得A由而=2FA,可得B（-把B点坐标代入双曲线方程即（”程日,21父_整理可得c=/5a,3ca9c即离心率e=/5-a故选：C.225.若双曲线NW=1（a>0,b>0）的渐近线与圆（x-2）2+y2=2相交，则此a2bZ双曲线的离心率的取值范围是（）A.（2,+8）B,（1,2

9、）C,（1,也）D,（V2,+8）【解答】解：二,双曲线渐近线为bx±ay=O,与圆（x-2）2+y2=2相交圆心到渐近线的距离小于半径，即':-十Vb2<a2,c?=a2+b2<2a2,e=<6;e>11<e<'：故选C.226.已知双曲线C:当今1Q>。，b>0）的右焦点为F,以F为圆心和双曲线ab的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A.'B,"C.：D.2【解答】解：设F（c,0）,渐近线方程为y=1-x,可得F到渐近线的距离为罗广b,即有圆F

10、的半径为b,x=c,可得y=±b-21-i=±,由题意可得：=b,即a=b,c=_卜ja,即离心率e二=/,a故选C.227.设点P是双曲线三上彳=1(a>0,b>0)上的一点，Fi、F2分别是双曲线的屋b2左、右焦点，已知PFLPE,且|PFi|二2|PE|,则双曲线的一条渐近线方程是(A.，-工B八C.y=2xD,y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF|-|PE|=2a,又|PR|二2|P冏，得|PF2|=2a,|PF1|=4a；在R3PRF2中，|FiF2|2二|PFi|2+|PE|2,-4c2=16a2+4a2,即c?=5a2,则b2=4a2.即b

11、=2a,22双曲线三二1一条渐近线方程：y=2x；ab故选：C.8 .已知双曲线0钎1的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(近，+8)B.(1,V3)C,(2.+8)D,(1,2)【解答】解：二,双曲线渐近线为bx±ay=O,与圆x2+(y-2)2=1相交圆心到渐近线的距离小于半径，即产<1VbW3a2<b2,c2=a2+b2>4a2,e=>2故选：C.9 .如果双曲线经过点P(2,V2),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是(【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x,=1D.2=1可设双曲线的方程为

12、x2-y2=(F0),代入点P(2,a),可得入=42=2,可得双曲线的方程为x2-y2=2,10.已知F是双曲线C:x21的右焦点，P是C上故选：B.点，且PF与x轴垂直,则4APF的面积为D.点A的坐标是(1,3),A.B.yC.篇WjJ【解答】解：由双曲线C:x2-=1的右焦点F(2,0),PF与x轴垂直，设(2,y),y>0,贝Uy=3,则P(2,3),AP)±PF,贝WAPI=1,IPFI=3,.APF的面积S=Lx|APIX|PFIEL,2回同理当y<0时，则APF的面积S=L,2故选D.二.填空题（共2小题）211.过双曲线6七-二1的左焦点Fi作一条l交双

13、曲线左支于P、Q两点，若|PQ=8,F2是双曲线的右焦点，则4PBQ的周长是20.【解答】解：.|PR|+|QFi|=|PQ=8双曲线x2-PQ=8PQ是双曲线的通径.PQ,F1F2,且PR=QR=PQ=4由题意，|P国TPR|=2,|QE|-|QF1|=2.|PE|+|QF2|=|PF|+|QF1|+4=4+4+4=12.PEQ的周长=|PE|+|QF2|+|PQ=12+8=20,故答案为20.2212.设Fi,F2分别是双曲线9b>0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P,使（而十也”有二口,。为坐标原点，且|可|二行|而|，则该双曲线的离心率为_V3+1_.【解答】解：PFPE的

14、中点A,则v版+而）庭二U，2?-E赢1亏，.OA是PF1F2的中位线，.PFPE,OA=PF.由双曲线的定义得|PFi|TPE|=2a,.,|PR|二西|PF?|,1PFF2中，由勾股定理得|PF|2+|PE|2二4d,；（TT）斗（?）2=4d，43T|V3-1e=75+l.故答案为：V3+1.解答题（共4小题）13.已知点Fi、F2为双曲线C:x2-弓二1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的bZ直线，在x轴上方交双曲线C于点M,/MFiF2=30°.（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为Pi、P2,求西?西的值.【解答】解：（1

15、）设F2,M的坐标分别为dm，0）,（而12不），2因为点M在双曲线C上，所以计庐乌二1，即4=±钎，所以慌后|二b?，在MF2F1中,/MFiF2=30,MF?I二b'，所以I=2b2（3分）由双曲线的定义可知:|MF11-kFj|=b2=2故双曲线C的方程为：乳之号_二仁分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为I1：孤式-k3兀*也3+产0（8分）设双曲线C上的点Q（xo,yo）,设两渐近线的夹角为9,则点Q到两条渐近线的距离分别为电等叱上当辿，分）因为Q（xo,yo）在双曲线C:所以=又cos8看,所以卜卜尸藤口7口I163VtlI口J-yJl12函”飞冲八一守9<

16、4分）222214.已知曲线G:%-J=1（a>0,b>0）和曲线C2:=1有相同的焦点，曲线G的离心率是曲线C2的离心率的诋倍.（I）求曲线C1的方程；（H）设点A是曲线G的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线G的右支于点B,彳BC垂直于定直线l:x牛,垂足为C,求证：直线AC恒过x轴上一定点.【解答】（I）解：由题知：a2+b2=2,曲线Q的离心率为万（2分）曲线Ci的离心率是曲线C2的离心率的炳倍,jb_=即a2=b2,（3分）直线AC过定点（乎,。）（7分）（9分）（11分）a=b=1,曲线Ci的方程为x2-y2=1;（4分）（H）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线A

17、B的方程为：x=ny版（5分）与双曲线方程x2-y2=1联立，可得（n2-1）y2+2/ny+1=0设A(X1,y1),B(x2,y2),贝1y1+y2=-p-,y1y2二,n2-ln由题可设点C(,y2),由点斜式得直线AC的方程：y-y2精力汽乌）品r弋两卜队令y=0,可得x=厂%-以一2北汽一2yL（l-n）I4(12分)2215.已知双曲线I?9丹=1Q>O,b>0）的离心率e=/3,双曲线F上任意一a2b2点到其右焦点的最小距离为V3-1.（I）求双曲线r的方程；（n）过点P（1,1）是否存在直线I,使直线i与双曲线3于R、t两点，且点P是线段RT的中点？若直线I存在，请

18、求直线I的方程；若不存在，说明理由.【解答】解：（I）由题意可得e=-=/3,a.当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c-a=石-1,解得a=1,c=/s,b=/_宜?=«,静可得双曲线的方程为x2-=1；（n）过点P（1,1）假设存在直线I,使直线I与双曲线于r、T两点,第12页（共14页）且点P是线段RT的中点.22设R(xi,yi),T(X2,y2),可得xi22=1,X22=1,22两式相减可得(xi-X2)(xi+X2)(yi-y2)(yi+y2),由中点坐标公式可得xi+x2=2,yi+y2=2,可得直线l的斜率为k二"丫2(町+")=2,町一”巧+y?即有直线l的方程为y-i=2(x-i),即为y=2x-i,代入双曲线的方程，可得2x2-4x+3=0,由判别式为i6-4X2X3=-8<0,可得二次方程无实数解.故这样的直线l不存在.