北理工数值计算方法试题及答案

1、数值计算方法试题一一、填空题(每空 1 分，共 17 分)1、如果用二分法求方程x3+x4=0在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分()次。,22、迭代格式xT= =人人+ +二二( (人人-2) )局部收敛的充分条件是支取值在)。3_，X0Mx1S(x)=132八(x-1)a(x-1)b(x-1)c1MxM3口一、二工.七十小心3、已知 12是二次样条函数，则4、l0(x),l1(x),，ln(x)是以整数点x0,x1，xn为节点的 Lagrange 插值基函数，贝Unn二lk(x)=xklj(xk):kzQ(),kz0()，当n2时n、(x4x23)lk(x)=k=e()。5、设f(x)

2、=6x7+2x4+3x2+1和节点xk=k/2,k=0,1,2，则fR,x，=和&f0=。6、5 个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为,5 个节点的求积公式最高代数精度为。7、加加k(x)言是区间0,1上权函数畋)=*的最高项系数为 1 的正交多项XI-ax2=b1-8、给定方程组1axJx2=b2,a为实数，当 0c2 时，SOR 迭代法收敛。f(x,y)9、解初值问题1y(x0)=y0yn*=yn+hf(xn,yn)h=，0yn1=yn-f(xn,yn)f(xn1,yn1)L2是a=(),1式族，其中Q(x)=1,则Ix( (x)dx=a满足的改进欧阶方法。一10a1A=01a

3、10、设.aaL,当 aw(其中L为下三角阵，当其对角线元素l.(i=1,2,3)满足()条件时，这种分解是唯一的。二、二、选择题(每题 2 分)1、解方程组Ax=b的简单迭代格式x(s=Bx(k)+g收敛的充要条件是()。(1)P(A)1,(2)P(B)1,(4)P(B)1?_n_(n)_2、在牛顿-柯特斯求积公式：，一a，i中，当系数G是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。( 1 )n之8 ,( 2 )n之7 ,( 3 )n 10,( 4 )n 6,3、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插

4、值多项式的次数是()。( 1 ) 二 次 ；(2 ) 三 次 ；(3 ) 四 次 ；(4 ) 五 次hh.，4、若用二阶中点公式y(Xn2，yn4D求解初值问题y，=-2y,y(0)=1,试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为()。(1)0h2,(2)0h2,(3)0：h；2,(4)0三h：二2三、1、(8 分)用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式拟合以下数据：xi19253038V19.032.349.073.312、(15 分)用n=8的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算(edx时，(1)(1)试用余项估计其误差。(2)用门=8的复化梯形公式(或复化 Simpso

5、n 公式)计算出该积分的近似值。四、1、(15 分)方程x3-x-1=0在x=1.5附近有根，把方程写成三种-x=J1+不同的等价形式(1)x=3/x+1对应迭代格式xn由=3/Xn+1；(2)xx)时，必有分解式A=LLT,d1Xn1=1.3对应迭代格式；(3)X=X3-1对应迭代格式xn.=xn-1。判断迭代格式在=15的收敛性，选一种收敛格式计算X=1.5附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立 Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、(8 分)已知方程组AX=f,其中43-241A=34-1f=30:一-14-：-241(1)(1)列

6、出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seide 迭代法的分量形式。(2)(2)求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出 SOR 迭代法。dy4J=-y1dx五、1、(15 分)取步长h=0.1,求解初值问题Iy=1用改进的欧拉法求y(0.1)的值；用经典的四阶龙格一库塔法求y(0.1)的值。2、(8 分)求一次数不高于 4 次的多项式 p(x)使它满足p(x0)=f(x0),P(XI)=f(XI),p(x0)=f(x0),P(XI)=f(x1),P(X2)=f(X2)六、(下列 2 题任选一题，4 分)1、1、数值积分公式形如10 xf(x)dx七S(x)=Af(0)十Bf(1)+Cf(

7、0)+Df(1)(1)(1)试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；(2)1设f(x)wC40,1,推导余项公式R(x)=0 xf(x)dx-S(x),并估计误差。2、2、用二步法ynLAynynhf(xn,yn)(1-U)f(xn，yn)；y=f(x,y)求解常微分方程的初值问题Ly(x)=y0时，如何选择参数豆0户1,8 使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：(共 16 分，每小题2分)1、若A是nMn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U,使A=LU唯一成立。()2、当n之8时，Newtoncotes 型求积公式会产生数

8、值不稳定性。6、设AwRn：n,QwRn,且有QTQ=I(单位阵)，则有1A2=lQA2()7、区间a,b】上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且唯一。1、设f(x)=9x8+3x4+21x2+10,则均差018019.f2,2，,2=,f3,3，,3=?2、设函数f(x)于区间Q,b】上有足够阶连续导数，pwQ,b】为f(x)的f(xk)xk1-m-一个m重零点，Newton 迭代公式f(xk)的收敛阶至少是阶。3、区间a,b1上的三次样条插值函数S(x)在bb】上具有直到阶的连续导数。77-2)A=4、向量X=(12)T,矩阵31人则IIAXL=?cond(A)oo_?15、为使两点

9、的数值求积公式：f-1f(x)dx&f(x0)f(x1)具有最高的代f(x)dx，Aif(xi)3、形如ai=i的高斯数精确度的次数为2n+1。(Gauss)型求积公式具有最高代2A=14、矩阵02aaA=0a5、设00101114的2范数情2=9。()0、0aA则对任意实数a#0,方程组Ax=b都是病态的8、对矩阵22A=4724(:、填空题:A 作如下的 Doolittle 分解:3)(17=25JJ00丫223、I10|0b1a1人006J,则a,b的值分别为a=2,b=2。(共 20 分,每小题 2 分)数精确度，则其求积基点应为X1=?X2=o6、设AwRn：n,AT=A,则

10、P（A）（谱半径）IA2O（此处填小于、大于、等于）7、设 22 一，则kmA=。三、简答题：（9 分）1、 1、方程x=42X在区间口内有唯一根X*,若用迭代公式：xz=ln（4Xk）/ln2（k=0,12），则其产生的序列科是否收敛于x*?说明理由。2、 2、使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？f（x）=-3、 3、设X=0.001,试选择较好的算法计算函数值X2四、（10 分）已知数值积分公式为：0f（X）dX&2f（0）+f（h）hf（0）-f（h）,试确定积分公式中的参数九，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、（8 分）已知求ja（aA

11、。）的迭代公式为：Xk14Xk里）X00k=0,1,22Xk证明：对一切k=1,2,，Xk2va,且序列xj是单调递减的，从而迭代过程收敛。33六、（9 分）数值求积公式10f3dx9f+2）是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、（9 分）设线性代数方程组AX=b中系数矩阵 A 非奇异，X 为精确解，b=0,若向量X是AX=b的一个近似解，残向量r=b-AX,X-XWcond（A）1n蚪（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。八、（10 分）设函数f（x）在区间0,3】上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过 3 的插值多项式H（x）,并导出1一cosx其余项i012

12、xi012f(x。-113_f(xi)3九、（9 分）设如（x）是区间a,b上关于权函数w（x）的直交多项式序歹ij,Xi（i=12:，。为例书（x）的零点，li（x）（i=12，是以为基点的拉格朗日（Lagrange 海值基f(x)w(x)dxAkf(xk)、ay为图斯型求积公式，证明:n/Aik(xi)j(xi)=0(1)当0Ek,jEn,k*j时，ybalk(x)lj(x)w(x)dx=0(kj)n1b2blk(x)w(x)dx=w(x)dx(3)kJaa十、(选做题 8 分)若f(x)=Q由(x)=(xx0)(xXI)(x4),X（i=0,1，n）互异，求fx0,x1，xp的值，其中p

13、En+1函数,(1)(2)数值计算方法试题三一、（24 分）填空题（1）（2 分）改变函数f（x）（x1）的形式，使计算结果较精确（2）（2）（2 分）若用二分法求方程f（x）=。在区间1,2内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分次(3)(3)fx=(2 分)设2.2x1x2x1x2%贝Ufx二a=,b=,c=。1x,(5)(5)(3 分)若用复化梯形公式计算1edx，要求误差不超过10，利用余项公式估计，至少用个求积节点。x1+1.6x2=1-(6)(6)(6 分)写出求解方程组0.4X1+X2=2的 Gauss-Seidel 迭代公式迭代矩阵此迭代法是否收敛。54)A=:II1(7)

14、(7)(4 分)设达3,则,Cond以A尸。(8)(2 分)若用 Euler 法求解初值问题y=-10y，y0)=1,为保证算法的绝对稳定，则步长 h 的取值范围为二(64 分)(1)(1)(6 分)写出求方程4x=cos(x)十1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(2)(12 分)以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算加5的近似值，并利用余项估计误差。(3)(3)(10 分)求f(x)=ex在区间0,1上的 1 次最佳平方逼近多项(4)(4)(3 分)设S(x)=*2x3,0 x132.x+ax+bx+c,1wx*是3次样条函数,（10 分）用 Gauss 列主

15、元消去法解方程组:x1+4x2+2x3=243x1+x2+5x3=342XI+6x2+x3=27J（7）（8 分）已知常微分方程的初值问题:用改进的 Euler 方法计算y（12）的近似值，取步长h=0.2。.（12 分，在下列 5 个题中至多选做 3 个题）（1）（6 分）求一次数不超过 4 次的多项式 p（x）满足:p(1)=15,p(1)=20,p=30,p(2)=57,p(2)=72（2）（6 分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度:0 xfxdx:AOf_2AIf1相应的单位特征向量， 迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于 0.05,取特征向量的初始近似值为（

16、1,0）T。式。（10 分）用复化 Simpson 公式计算积分11sinx.=dxL0 x的近似值, 要求误差限为0.5M10。(6)（6）（8 分）求方程组2的最小二乘解dy/dx=x/y,1J(1)=2x1,2A二（3）（6 分）用哥法求矩阵101J*的模最大的特征值及其解得:C_0.9255577110.0501025所以a=0.9255577,b=0.0501025（4）（4）（6 分）推导求解常微分方程初值问题yx=fx,yx,a_x_b,ya=v。的形式为Vi+=Vi+h(Pofi+PifiJ),i=1,2，,N的公式，使其精度尽量高，其中fi=f(xi，Vi),X=a+ih,i

17、=0,1Nh=b-aN（5）（5）（6 分）求出用差分方法求解常微分方程的边值问题y+p(xy+q(xy+r(x)=0,axb:y(a)=0,y(b)=。所得到的三对角线性方程数值计算方法试题一答案一、填空题（每空 1 分，共 17 分）1、( (10)(1)2、（、（3、a=(3),b=(3),4、（1）、）、（）、（）、（x4x23）5、69_7、08、a0）二、二、选择题（每题 2 分）1、（2）2、（1）3、（1）三、1、（8 分）解：G=span1,x2等=9454=236.252、.210、( (2,24、（、（）6、T1111A|192252312382解方程组ATAC=ATyy

18、T=19.032.349.073.31其中T43391AA=|33913529603T173.6Ay=|什79980.7-h7T(8)=-f(a)2-f(xjf(b)2k41=112(0.88249690.77880080.606530660.53526140.472366550.41686207)0.36787947u0.6329434叫、四、1、(15 分)解：(1)()3(，任。=0.181,故收敛;1叫x)=之(2)2XW 晨，卜。5)、。“口故收敛；(3)叫x)=3x2,(1.5)1:3.52A1,故发散。选择(1):x0=1.5,x1=1.3572?x2=1.3309?x3=1.3

19、259,x4=1.3249,x5=1.32476,x6=1.32472(Xk)-Xk)2xk1-xk一Steffensen 迭代：(4)-2乂)xk(3xk1-xk)2-xk-33xk11-23xk11计算结果：x0=1.5,x1=1.324899,x2=1.324718有加速效果。x1(k+)=1(24-3x2k)4Jx2k*)=：(30-3x1(k)+x3(k)x3k*)=1(-24+x2k)42、(8分)解：Jacobi 迭代法：、k=0，1,2,3，,x1(k+)=1(24-3x2k)4x2k=1(30-3x11)x3k)乂尸=工(-24+乂尸)4Gauss-Seidel 迭代法：、及

20、二0，1,2,3，0-340BJ=-D“(L+U)=-%0%.034。一2、（15 分）解:RTf=b-a2hfii0,-e128210.001302768P(BJ)=瓦(或.)=0.790569k4f(Xnh,ynhk3)匕=k2=k3=k4=0,所以y(0.1)=y1=10H3(Xi)=f(Xi)2、(8 分分) )解：设H3(X)为满足条件1H3Txi)=fa)i=01的 Hermite插值多项式，22则p(x)=H3(X)k(x-X0)(X-X1)代入条件m%)=9)得:Lf(x2)-H3(X2)k一/、2/、2(X2-X0)(X2-X1)六、(下列 2 题任选一题，4 分)1、解：将

21、f(x)=1,x,x2,x3分布代入公式得:371A=，B=，B=,D=202030120构造 Hermite 插值多项式%=0,XI=1H3(X)=f(Xi)H3(X)满足lH3r(X)=fr(X)i=0,1其中1则有：0XH3(x)dx=S(x)f(4)()22，一小)R(X)=0Xf(X)-S(X)dX=of(4)()132X(X-1)dx=4!04!f(4)()4!602(X-1)dxf(4)()1440(k判0、(k)(k)X1=(1co)X1+(243X2)4Xy=(1f)x2k)咛(30.3X产十x3k)x/=(1f)x3k)+N(-24+x2，4SOR 迭代法：、k=01,2,

22、3,五、1、(15 分)解：改进的欧拉法：yn01=ynhf(Xn,Yn)=0.9丫口0.1h(0),yn1=n2【f(Xn,yn)f(Xn1,yn1)=0.905yn0.095所以y(0.1)=y1=1；经典的四阶龙格一库塔法:Yn+=yn+hki+2k2+6ki=f(Xn,yn)Jk2=f(Xn+2，yn+k3=f(Xn+yn+22k3kJ2、解、解: :卜2h3=y(Xn.1)-Yn1=y(Xn)hy(Xn)万y(Xn)句丫(Xn)h2h3小hy(Xn)(1-与(y(Xn)hy(Xn)y(Xn)-目y(Xn)二(1-二0-二iW(Xn)h(1-11I)Y(Xn)21：1.31：11-U4

23、h2(-1-)Y(Xn)h3(-)Y(Xn)O(h4)226620=1=三、三、简答题：（15 分）1、1、解：、解：迭代函数为p（X）=ln（4-X）/ln2-1111X父4-XIn24-2In22、答：Gauss 消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素 ak?全不为 0,如果在消元过程中发现某个主元素为 0,即使det（A）#。，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为 0,但若主元素 a 黑的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免（k）（k）主元素akk=0 或akk很小的情况发

24、生，从而不会使计算中断或因误差Rn,hh2.、-二0y(Xn)-二l(y(Xn)-hy(Xn)3y(Xn)-h33!y(Xn).)所以、工1=0:1-1-1-02主项:Q3y(Xn)该方法是二阶的数值计算方法试题二答案(X)2、扩大太大而使计算不稳定。四四、五、3、3、x2cosx=1-一解：2!2x1一cosx=1f(x)二2!2!2x42nxnx-(-1)4!(2n!)4x,、_(-1)4!(-1)4!2nn1x.丽2nNn_1x+(2n!)四、解：f(x)=1显然精确成立;hxdx=f(x)=x时，0h2h2万二/hh-；f(x)f(x)f(x)=x2时,=x4时,hx2dx;里h3ox

25、dxdx二3h44h55所以，其代数精确度为五、证明:h22h30h2h20-2h=-2h-22h_312_2=a0+hFh0-3h；h4123二0hh0-4h=2123。axk1=-(xk)2xk-22xk二axkh56；k=0,1,2Xk_1又xk故对一切k=1,2，Xka(1卫)”(11)=12xk2所以人*人，即序列人是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。八、八、八、八、p(x)=1-23是。因为f(x)在基点 1、2x-1f(1)-f(2)2-1处的插值多项式为七、0p(x)dx=3f(1)+f(2。其代数精度为七、证明：由题意知：AX=b,AXA(X-X)=1二X-XX-X1。A-1

26、AX=b=b=AX又A|XiuiAA|X11IIXFIM十、所以lk(x)lj(x)w(x)dx-Alk(xi)lj(xi)=0ai=13)2,、.一取f(x)=li(x)，代入求积公式：因为n1bli(x)w(x)dx=Ajli(xj)=A所以aj1n1n1b2b二ilk(x)w(x)dx=A=w(x)dxaa(kj),2，、li(x)是 2n 次多项式,kJ故结论成立。十、解：八、解：设H(x)=N2(x)ax(x-1)(x-2)，1N2(x)=f(0)f0,1(x-0)f0,1,2(x-0)(x-1)=1-2x(x-0)(x-1)21H(x)=1-2xx(x-1)ax(x-1)(x-2)

27、所以21a二4-5x23x-14aR(x)=f(x)-H(x),作辅助函数g(t)=f(t)-H(t)-k(x)t2(t-1)(t-2)则g在。上也具有 4 阶连续导数且至少有 4 个零点：t=xQ，1,2f(4)()小反复利用罗尔定理可得：k(x)=4!,(g(4)()=0)r2f(4)()2R(x)=f(x)-H(x)=k(x)x2(x-1)(x-2)=()x2(x-1)(x-2)所以4!X-X所以XAA卿|A旷8nd网。、,.由H(0)=3得：H(x)=-x所以4九、九、证明：形如积公式具有最高代数精度次的多项式均精确成立f(x)w(x)dx；Z：Akf(Xk)ak=1的高斯(Gaus型

28、求2n+1 次，它对f(x)取所有次数不超过 2n+11)、Ai(xi)j(xi)=：k(x)j(x)w(x)dx=0i1a2)li(xj)=，因为爪刈是门次多项式，且有jpf(Xi)fx0,X1,Xp=0pni卫一卫一I1(Xi-xj).(24 分)二.（64 分）11八xn1=xn=-1cosxn(6 分)n4n,n=0,1,2,（12 分）用 Newton 插值方法：差分表:1001211410110.04761900.0434783-0.000094113611510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.72275553fXo,Xi,必必1（n1）!数值计算方法试题三答案fX=(1) (2 分)(2) (2 分)10(3) (2 分)2XI2X2、02XI/(3 分)3-31(5)(3 分)477(6)(6 分)xr*)=11.6xf)x尸尸)=2+0.4XIWJ-0-1.6、2-0.64J收敛(7)(4 分)991(8)(2 分)h0.21.JL1/sin(xJ2/12112,2=Qxdx=3,f,1=011/2丫&“21/3八C2e-111.1.1( (电电21)=j0d